人教数学九上实际问题与一元二次方程学案

人教数学九上实际问题与一元二次方程学案

‎22.3实际问题与一元二次方程 学习目标、重点、难点 ‎【学习目标】‎ 1、 掌握列一元二次方程的一般步骤；‎ 2、 能利用一元二次方程解决实际问题；‎ ‎【重点难点】‎ ‎1、掌握列一元二次方程的一般步骤；‎ 2、 能利用一元二次方程解决实际问题；‎ 知识概览图 ‎①数字问题 ‎②利润问题 ‎③增长率问题 ‎④与几何有关的面积、体积问题 ‎①审题 ‎②设未知数 ‎③列代数式 ‎④列方程 ‎⑤解方程 ‎⑥检验 ‎⑦写出答案 ‎ ‎ ‎ 列一元二次方程的一般步骤 ‎ ‎ ‎ 列一元二次方程 ‎ 解实际问题 ‎ ‎ ‎ ‎ 列一元二次方程解应用题的类型 ‎ ‎ ‎ 新课导引 根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h(m)与时间t(s)的关系式为h＝v0t－gt2，其中v0(m/s)是初速度的大小，g是重力加速度的大小，一般情况下，g＝9.8m/s2.如果v0＝9.8m/s，那么经过多长时间竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m呢？‎ ‎【问题探究】 由于题目中所给公式涉及字母较多，欲求t的值，应寻找含有t的方程， 对于其他字母v0,g,h应如何处理呢？t值又如何去求呢？‎ ‎【解答】 已知h与t的关系式为h＝v0t－,所以将v0＝9.8m/s，g＝9.8m/s2及h＝4.9m代入公式，得4.9＝9.8t－,即t2－2t＋1＝0，解这个方程可得t1＝t2＝1,问题得以解决.‎ 教材精华 知识点 列一元二次方程解应用题 列一元二次方程解实际应用题的一般步骤：（1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数及它们之间的关系.（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x；另一种方法是设与所求量有关系的，且具有关键作用的未知量为x，即所求量可以用x表示出来.（3）列代数式：用含有未知数x的代数式表示出有关的未知量.（4）‎ 列方程：根据题中已知量和未知量的关系列出方程.（5）解方程：利用配方法、公式法、因式分解法等求出未知量的值.（6）检验：应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列出的方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义.（7）写出答案：根据题意选择合理的答案.‎ 几种常见的应用题类型.‎ ‎1.平均增长率方面的应用题.‎ 平均增长率公式：a(1＋x) n＝b(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率).类似地，还有降低率问题,a(1－x)n＝b（a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）.‎ ‎2.利润方面的应用题.‎ 当今社会，经济发展迅猛，各种营销手段层出不穷，为了获得最大的利润，商品经营者时刻都在考虑如何赚更多的钱，其实，道理并不难，常用的关系式有：（1）总利润＝总销售额－总成本；（2）总利润＝单个利润×总销售量.‎ ‎3.与几何图形有关的一元二次方程的应用题.‎ 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、正方体（以后还有圆），涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等.‎ 规律方法小结 （1）解答此类问题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何知识来寻找它们之间的关系，进而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决.‎ ‎（2）在解题时，常用几何定理、面积和体积公式作为等量关系列方程，有时也用不同的表达方式表示同一个量来列方程.‎ ‎4.行程方面的应用题.‎ 行程问题中常涉及的公式有路程＝速度×时间及其变形，一般难度不大，注意运算过程中的单位要统一.‎ 规律方法小结 在运用方程及方程组解决实际问题时，一般都根据实际问题中数量之间的关系建立方程（组）的模型表达这个等量关系，进而通过解方程（组）来解决实际问题.‎ 课堂检测 基础知识应用题 ‎1、旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，已使用3年，如果第一年的折旧率为20%，后其折旧率有所变化，现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率.‎ ‎2、 郑州百货商店服装柜台在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈 利，减少库存，市场调查发现，如果每件童装了降价4元，那么平均每天就可多销售8件，要想平均每天在销售这种销售童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？‎ 综合应用题 ‎3、已知竖直上抛的物体离地面的高度h（m）和抛出时间t（s）的关系是是竖直上抛时的瞬时速度，常数g取10 m/s2，设=30 m/s，求：‎ ‎（1）隔多长时间物体的高度是25 m；‎ ‎（2）多长时间以后物体回到原处；‎ ‎（3）隔多长时间物体达到最大高度，最大高度是多少.‎ 探索创新题 ‎4、据测算某种轿车的速度为‎108 km/h，刹车后要滑行‎30 m停下，现某司机驾驶该车行驶在南北路段距十字路口‎20 m时，司机立即刹车，与此同时在东西路段有一速度为‎72 km/h的卡车距十字路口‎20 m，正向路口驶来，两车是否有相撞的危险？‎ 体验中考 ‎1、在国家政策的宏观调整下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14000元/m2下降到5月分的12600元/m2.‎ ‎（1）那么4，5两月平均每月降价的百分率约是多少？（参考数据：）‎ ‎（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由.‎ ‎2、2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署.为此我市抓住机遇，加快发展，决定了今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元.‎ ‎（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；‎ ‎（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元.‎ 学后反思 ‎ 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 ‎1、分析 本题是生活中常见的折旧率问题，其计算公式是：原来价格×（1－折旧率）n＝n次折旧后的价格，经过第一年的折旧后，轿车值12×（1－20%）万元，然后以这个价格求出后两年的平均折旧率.‎ 解：设这辆轿车第二年、第三年平均每年的折旧率为x,‎ 依据题意，得12（1－20%）（1－x）2＝7.776，‎ 整理，得（1－x）2＝0.81,解得x1＝0.1,x2＝1.9，‎ 因为折旧率不能大于1，所以x＝1.9不符合题意，舍去，所以x＝0.1＝10%.‎ 答这辆轿车第二年、第三年平均每年的折旧率为10%.‎ ‎2、分析 此题属于经济问题，考查一元二次方程在实际问题中的应用.可设每件童装降价x元，则每件所得利润为（40－x）元，每天可多售出2x件，因此每天盈利为（40－x）（20＋2x）元，列出方程求解即可 解：设每件童装降价x元，依据题意，得（40－x）(20＋2x)＝1200，‎ 整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10,x2＝20，‎ 因为要尽量减少库存，故x应取20，舍去x＝10.‎ 答：每件应降价20元.‎ ‎【注意】 当降价20元和10元时，每天都盈利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，解答时应认真审题，不能漏掉任何一个条件.‎ ‎3、分析 本题主要考查一元二次方程与物理学科之间的综合，根据公式及各个字母的实际意义可知物体的高度为25 m，即h=25 m，而物体回到原处，即h=0 m，对于竖直上抛的物体，达到最大高度的时间即为物体回到原处的时间的一半.‎ 解：（1）依题可知h=25 m，g=10 m/s2，=30 m/s，‎ 所以即t2－6t+5=0，‎ 解得：t1=1，t2=5.‎ ‎（2）当h=0 m时，，‎ 解得t1=0（舍），t2=6.‎ ‎（3）因为物体回到原处用时为6 s，‎ 所以当t=3 s时，物体达到最大高度，‎ 此时（m）.‎ 答：（1）抛出1 s或5 s时物体的高度为25 m.（2）6 s时物体回到原处.（3）3 s时物体达到最大高度，最大高度是45 m.‎ ‎【规律方法】 一般地，解学科间的综合题时，往往难度不大，只需将各个量代入已知公式即可，但要明确公式中各个字母的含义.‎ ‎ 4、分析 两车是否相撞，只需看轿车滑行20 m所用的时间与卡车行驶20 m的时间是否一样，一样就相撞，否则不相撞.‎ 解：轿车速度108 km/h= 30m/s，卡车速度72 km/h=20m/s.‎ ‎ 轿车从刹车到停下来这段时间的平均速度为m/s，‎ ‎ 所以轿车从刹车到停下来所用量间为=2（s）.‎ 轿车平均每秒减速15 m/s.‎ 设轿车滑行20 m的时间为x s，则滑行到20 m时的速度为30－15x，‎ 滑行这段路程的平均速度为，‎ 依题意得方程，解得（舍去）.‎ 即轿车滑行到20 m处约需0.85 s.‎ 而卡车到达路口的时间为（s）.‎ 因为0.85≠1，所以两车没有相撞的危险.‎ ‎【规律方法】 在匀变速（匀回头或匀减速）运动中，每个时间段内的平均速度=.在这里利用每秒速度的减少量表示末速度是难点，末速度=初速度－每秒速度的减少量×时间.‎ 体验中考 ‎1、分析 本题考查降低率问题，利用降低率公式即可解题.7月份成交均价是否会跌破10000元/m2，只需根据降低率计算就可得结论.‎ 解：（1）设4，5两月平均每月降价的百分率为x，根据题意，‎ 得14000（1－x）2=12600.‎ 化简，得（1－x）2=0.9.‎ 解得x1≈0.05，x2≈1.95（不合题意，舍去）.‎ ‎（2）如果按此降低的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为 由此可知7月份该市的商品房成交均价不会跌落10000元/m2.‎ ‎2、分析 本题考查平均增长率问题，用含有增长率的公式列方程即可.‎ 解：（1）设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，由题意得.‎ 解得，=－2.3（不合题意，舍去）.‎ 所以从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%.‎ ‎（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45=5+5(1+0.3)+8.45=19.95(亿元)‎ 所以预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元.‎ ‎【规律方法】 对于增长率问题，如果初始值为a，平均增长率为x，那么增长n次之后的值为.对于降低率问题，如果初始值为a，平均降低率为x，那么降低n次之后的值为a(1-x)n.‎