鼓楼区中考数学一模试卷含答案

鼓楼区中考数学一模试卷含答案

‎2010—2011第二学期初三调研测试卷 数 学 注意事项：‎ 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答卷纸上）‎ ‎1．的计算结果是 A．－2 B．‎2 ‎ C．±2 D．4‎ ‎2．下列各式计算结果中正确的是 A．a2＋a2＝a4 B．(a3)2＝a5 ‎ C．(a＋1)2＝a2＋1 D．a·a＝a2‎ ‎3．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图一定相同的是 A．圆柱体 B．长方体 C．球体 D．圆锥体 ‎4．近年来我国在环境保护方面的资金投入有很大增长，2010年总投入远超原计划的15000亿水平，将15000用科学记数法表示为 A．1.5×103 B．1.5×‎104 C．0.15×105 D．15×104 ‎ ‎5．在平面直角坐标系中，把点P（－2，1）向右平移一个单位，得到的对应点P′的坐标是 ‎ A．（－1，1） B．（－2，2） C．（－3，1） D．（－2，0）‎ ‎6．若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是 A．3＜m＜4 B．3≤m＜‎4 ‎ C．3＜m≤4 D．3≤m≤4‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎2‎ ‎1‎ F E D C B A ‎7． －的相反数是 ▲ ．‎ ‎8．使有意义的x的取值范围是 ▲ ．‎ ‎9．一次函数的图像经过点（1，0），且y随x的增大而减小，这个一次函数的关系式可以是 ▲ ．‎ ‎10．如图，若AB∥CD，∠1=80°，则∠2= ▲ o． ‎ ‎11．若反比例函数y＝的图象经过点（－2，2），则的值为 ▲ ．‎ ‎12．已知a＋b＝3，ab＝－1，则a2b＋ab2= ▲ ．‎ ‎13．我市5月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数是 ▲ °C．‎ A′‎ D C B A ‎14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ ▲ °．‎ B A O B A O ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎15．如图（1），水平地面上有一面积为7.5πcm2的灰色扇形AOB，其中OA的长度为‎3cm，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（1）的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图（2）所示，则点O移动的距离为 ▲ cm．‎ ‎16．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x＋4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有 ▲ 个． ‎ 三、解答题（本大题共12小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算： (－3)－(cos30°－1) 0－82×0.1252．‎ ‎18．（6分）解方程组：－＝1．‎ ‎19．（6分）为了了解某区初中学生上学的交通方式，从中随机调查了3000名学生的上学交通方式，统计结果如图所示． ‎ 被调查学生上学的交通方式情况统计图 ‎30%‎ 采用交通工具 步行 被调查学生采用交通工具的情况统计图 ‎700‎ ‎400‎ ‎200‎ ‎0‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎800‎ 公共汽车 自行车 私家车接送 其他 ‎ ▲ ‎ ‎（1）补全以上两幅统计图并标注相应数值；‎ ‎（2）该区共有初中学生15000名，请估计其中骑自行上学的人数．‎ ‎20．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．‎ 求证：（1）∠A＝90°；‎ A B C D O E F ‎（2）四边形ABCD是矩形．‎ ‎21．（7分）在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．‎ ‎（1）搅匀后从中任意摸出2个球，请通过列表或树状图求摸出2个球都是白球的概率； ‎ ‎（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，则2次摸出的球都是白色的概率为 ▲ ；‎ ‎（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为 ▲ ．‎ ‎22．（7分）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝‎30cm． ‎ ‎（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；‎ ‎（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）‎ ‎（参考数据： sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46， sin12°≈0.20）‎ 图1‎ C B A D C B A D 图2‎ 图3‎ C B A x y A B C ‎23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝－x2＋bx＋c的图像经过点A(2，5)，B(0，2)，‎ C(4，2)．‎ ‎ （1）求这个二次函数关系式；‎ ‎ （2）若在平面直角坐标系中存在一点D，使得四边形 ‎ ABDC是菱形，请直接写出图象过B、C、D三 点的二次函数的关系式；‎ ‎24．（8分）如图，△ABC中,∠B＝45°,∠C＝30°,AC＝2，以A为圆心，1为半径画⊙A．‎ ‎（1）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求图中阴影部分面积（结果保留根号）．‎ C B A ‎25．（8分）已知线段AB，分别按下列要求画图（或作图），并保留痕迹．‎ ‎（1）如图1，线段AB与A′B′关于某条直线对称，点A的对称点是A′，只用三角尺画出点B的对称点B′；‎ ‎（2）如图2，平移线段AB，使点A移到点A′的位置，用直尺和圆规作出点B的对应点B′； ‎ ‎（3）如图3，线段AB绕点O顺时针方向旋转，其中OB＝OA，点A旋转到点A′的位置，只用圆规画出点B的对应点B′，并写出画法； ‎ A B A′‎ O A B A′‎ 图1‎ A B A′‎ 图2‎ 图3‎ ‎26．（8分）如图1，某商场有一双向运行的自动扶梯，扶梯上行和下行的速度保持不变且相同，甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以‎0.8 m/s的速度往上跑，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，两人在途中相遇，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯，同时以‎0.8 m/s的速度往下跑，而乙到达底端后则在原地等候甲．图2中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，离扶梯底端的路程y（m）与所用时间x（s）之间的部分函数关系，结合图象解答下列问题：‎ （1） 点B的坐标是 ▲ ；‎ （2） 求AB所在直线的函数关系式；‎ （3） 乙到达扶梯底端后，还需等待多长时间，甲才到达扶梯底端？‎ y x A B O ‎7.5‎ ‎30‎ 图2‎ 图1‎ ‎27．（8分）小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽‎4 m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．‎ ‎（1）小平认为长‎8m，宽‎3m的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；‎ ‎（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（和是以O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），长‎8m，宽‎3m的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM⊥OM′，你能帮小平算出，ON至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子，？‎ ①‎ ②‎ ③‎ M′‎ N M O N′‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ D C B A E F G ‎28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4．点M是AC上动点（与点A不重合），设AM＝x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．‎ ‎（1）当△AND的面积为时，求x的值；‎ ‎（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．‎ A B C D MD N 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题2分，共12分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 B D C B A C 二、填空题（每小题2分，共20分）‎ ‎7． 8．x≥2 9．答案不惟一，如：y＝－x＋1 10．100 11．－4 ‎ ‎12．－3 13．21 14．10 15．5π 16．6‎ 三、解答题（本大题共12小题，共88分）‎ ‎17．（本题6分）‎ 解：原式＝－1－1……………………………4分 ‎ ＝－1 ……………………………6分 ‎18．（本题6分）‎ 解：x2－(x＋1)＝x(x＋1) ……………………………2分 ‎ x2－x－1＝ x2＋x ‎ x＝－． ……………………………4分 经检验，x＝－是原方程的解．……………………………6分 ‎19．（本题6分）‎ 解：（1）画图及数值各1分…………………………2分；‎ ‎（2）800÷3000×15000‎ ‎＝4000（人）． ……………………………5分 答：估计该区骑自行车上学的学生约4000人．……………………………6分 ‎20．（本题7分）‎ 证明：（1）∵△DAF≌△CBE，∴∠A＝∠B． ……………………………1分 ‎∵AD//BC，∴∠A＋∠B＝180°．……………………………2分 ‎∴2∠A ＝180°．‎ 即∠A ＝90°．………………………………………………3分 ‎（2）∵△DAF≌△CBE，∴AD＝BC．……………………………4分 ‎ 又∵AD//BC，‎ ‎ ∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………6分 ‎ ∵∠A ＝90°，‎ ‎ ∴四边形ABCD是矩形．……………………………7分 ‎21．（本题7分）‎ ‎（1）分别用白1、白2、红表示这3个球．从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果如下：‎ 一个球 另一个球 结果 白1‎ 白2‎ ‎(白1，白1)‎ 白1‎ 红 ‎（白1，红）‎ 白2‎ 白1‎ ‎（白2，白1）‎ 白2‎ 红 ‎（白2，红）‎ 红 白1‎ ‎（红，白1）‎ 红 白2‎ ‎（红，白2）‎ 共有6种结果，它们出现的可能性相同．…………………………3分 所有的结果中，摸到的2个球都是白球的结果有2种，‎ 所以P（摸出2个白球）＝ ． …………………………4分 ‎（2）…………………………6分 ‎⑶ …………………………7分 ‎22．（本题7分）‎ 解：（1）在Rt△ADC中，AC＝30，∠DAC＝24°，sin∠DAC＝，‎ ‎∴DC＝AC·sin∠DAC ≈30×0.40＝12．…………………………3分 答：支撑臂DC的长为‎12 cm．‎ ‎（2）本题分两种情况，‎ 过点C作CE⊥AB，垂足为E．‎ 在Rt△ACE中，AC＝30，∠EAC＝12°，sin∠EAC＝，‎ ‎∴CE＝AC·sin∠EAC ≈30×0.20＝6．…………………………4分 AE＝ ＝＝12．……5分 在Rt△CDE中，CD＝12，CE＝6，DE＝ ＝＝6．……6分 ‎∴AD＝12±6．‎ 答：AD的长为(12＋6) cm．…………………………7分 ‎23．（本题7分）‎ 解：（1）将A(2，5)，B(0，2)代入y＝－x2＋bx＋c得 解得： 这个二次函数的关系式为y＝－x2＋3x＋2. …………………………4分 ‎（2）y＝(x－2)2－1.（或 y＝x2－3x＋2 ） …………………………7分 ‎24．（本题8分）‎ 解：（1）直线BC与⊙A相切． ‎ 理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，…………………………1分 在Rt△ADC，∠C＝30°，AC＝2，‎ ‎∴AD＝AC＝1．…………………………3分 又∵⊙A半径为1，‎ ‎∴直线BC与⊙A相切．…………………………5分 ‎（2）∵AD⊥BC，∠B＝45°，AD＝1，∠C＝30°，‎ ‎∴BD＝1．CD＝,∴BC＝BD＋CD＝1＋.‎ ‎∴S△ABC＝BC×AD＝×（1＋）×1＝．………………………6分 图中阴影部分的面积等于 S△ABC－S扇形＝－＝－．…………………………8分 ‎25．（本题8分）‎ ‎（1）图略； …………………………2分 ‎（2）图略； …………………………5分 ‎（3）图略． …………………………7分 画法：1．以O为圆心，OB为半径画；‎ ‎2．在上截取BB′＝AA′；‎ 则点B′即为所求． …………………………8分 ‎（方法不唯一，以上画法仅供参考．）‎ ‎26．（本题8分）‎ 解：（1）（7.5，18） ……………………2分 ‎ （2）设AB所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，‎ ‎ 将点A(0，30)，B(7.5，18)代入y＝kx＋b得：‎ ‎ 解得 …………………………4分 ‎∴AB所在直线的函数关系式为y＝－1.6x＋30 …………………………6分 ‎ 答：AB所在直线的函数关系式为y＝－1.6x＋30.‎ ‎（3）甲到达扶梯底端所需时间为60÷2.4＝25 s，乙到达扶梯底端所需时间是18.75 s，所以，还需等待的时间为6.25s． …………………………8分 D C B A E F G H ‎27．（本题8分）‎ 解：（1）作FH⊥EC，垂足为H，‎ ‎∵FH＝EH＝4， ‎ ‎∴EF＝4．且∠GEC＝45°，‎ ‎∵GC＝4， ‎ ‎∴GE＝GC＝4．‎ ‎∴GF＝4－4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，‎ ‎∴消防车不能通过该直角转弯． ………………………3分 ‎（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形.‎ ‎∴OG＝4，OM＝4,‎ ‎∴OF＝ON＝OM－MN＝4－4.‎ ‎∴FG＝8－4＜3．∴C、D在上．‎ ‎（以上未说明不扣分） ‎ 设ON＝ x ，连接OC．在Rt△OCG中，‎ OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4，由勾股定理得 O D C B A E M M′‎ N′‎ N GG F OG2＋CG2＝OC2，即（x＋3）2＋42＝（x＋4）2．‎ ‎…………………………6分 解得 x＝4.5 …………………………7分 答：ON至少为‎4.5米…………………………8分 ‎28．（本题10分）‎ 解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝＝．‎ ‎∴tan∠BAC＝．∵∠BAC是锐角，∴∠BAC＝30°．‎ 在Rt△AMN中，AM＝x，∠AMN＝90°，‎ ‎∴MN＝AM·tan∠BAC＝x，AN＝＝．………………………2分 ‎∴S△ADN＝·AD·AN＝·4·＝．∴x＝2． ………………………3分 ‎（2）设DN交AC于点E．‎ 当点E、M重合时，x＝AM=×4=2 ………………………4分 ‎①当0＜x＜2时，点M在△ADN的内部．‎ 过D作DF⊥AC，垂足为F．‎ ‎∴DF＝AD·sin60°＝4×＝2．‎ ‎∵S△AMN＝×x×x＝x2，S△ADN＝×4×x＝x，‎ S△ADM＝× x×2＝x，‎ ‎∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝x－x2－x＝x－x2．‎ 设S△DMN＝S矩形ABCD，x－x2＝×4×4＝2，2x－x2＝12．‎ ‎∴x2－2x＋12＝0．∵ (－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ………6分 ‎②当2＜x≤8时，点M在△ADN的外部．‎ ‎∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM －S△ADN＝x2＋x－x＝x2－x．‎ 设S△DMN＝S矩形ABCD，x2－x＝2， x2－2x＝12．‎ ‎∴x2－2x－12＝0．∴x1＝1－＜0，舍去，x2＝1＋．‎ ‎∵3＜＜4，∴4＜1＋＜5．‎ ‎∴x＝1＋满足条件．‎ ‎∴当S△DMN＝S矩形ABCD时，x＝1＋．…………………………………10分