2019届二轮复习数列求和，极限和数学归纳法学案（全国通用）

2019届二轮复习数列求和，极限和数学归纳法学案（全国通用）

第八讲 数列求和，极限和数学归纳法 一、知识方法拓展 ‎1.常见的幂和公式 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 注：的一个推导方法：利用组合数的性质，如，=等 ‎2.数学归纳法的几种形式 ‎(1)第一数学归纳法：如果①当n取第一个值时，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。‎ ‎(2) 第二数学归纳法：如果①当时，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。‎ ‎(3) 跳跃数学归纳法：如果①当时，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。‎ ‎(4) 反向数学归纳法：如果①对无穷多个，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。‎ ‎3.分式型数列极限的运算规则 ‎(1) ‎ ‎(2)假设 ‎4.常见极限 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5),, ‎ 二、热身练习 ‎1.(2011复旦)设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列。其和为9，且公差非零，对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（ ）‎ A.12>27 B.12<27 C.12=27 D.其他条件 分析与解：由已知易得，设，则，由 因为满足条件的数列个数大于1，选A ‎2. (2000交大)若一项数为偶数的等比数列的中间两项正好是方程的两个根，则此数列各项的积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 分析与解：类比等差数列的各项和公式，得等比数列各项积，选C ‎3. (2003复旦)__________________‎ 分析与解：比较底数绝对值最大项，得 演变：_________________‎ 分析与解：比较底数绝对值最大项，可忽略，‎ 三、真题精讲 例1. (2012华约)已知，其前项和为，求 分析与解：‎ 例2. (2001复旦)设数列满足，其前项乘积，其中是大于1的常数 ‎(1)求证：是等比数列 ‎(2)求中所有不同两项的乘积之和 分析与解：(1)由已知，‎ ‎，即是等比数列 ‎(2) 中所有不同两项的乘积之和即 又 当即时，‎ 当即时，‎ 例3. (2010南开)求证：(1)‎ ‎(2)‎ 分析与解：观察题型，显然用数学归纳法解题 ‎(1)当时，显然成立 假设当时，不等式成立，即 当时，‎ 因为 得证 ‎(2) 当时，显然成立 假设当时，不等式成立，即 当时，‎ 因为 所以 得证 例4. (2008北大)数列定义如下：‎ ‎(1)给定自然数，求使的的范围 ‎(2)令，求 分析与解：(1)显然，使得的共有个 使得的共有个 故，即 ‎(2)故 易得 例5. (2009交大)为等比数列，求的最大值 分析与解：‎ 显然，当时，‎ 当时，‎ 又 易得，当时，，当时，‎ 故中最大项必然是中的一项 易得，‎ 故最大项为 例6. (2009华南理工)已知，设，‎ ‎(1)证明：数列是等比数列 ‎(2)求数列的通项 ‎(3)设，证明：当时，有 分析与解：(1)针对数列的递推公式，可以根据特征根法求出的通项公式 但此方法较繁琐，观察题干，可以根据提示直接将原递推公式凑成等比数列的形式 由已知 故是以为公比的等比数列 ‎(2)此题可以先求的通项公式，再利用待定系数法求的通项公式，但同样较繁琐 观察发现，‎ 故猜测并用数学归纳法证明 当时，显然成立 假设当时成立，即 则当时，‎ 得证 ‎(3)观察到要证的式子中是相隔两项之间的关系，故肯定需要用第二数学归纳法来证明 由已知，是方程的两根 易得 当时，‎ 当时，‎ 故当时均成立 假设当时成立，‎ 即，‎ 则当时， ‎ 得证 四、重点总结 ‎1.掌握常见的几种数学归纳法，能运用数学归纳法解题 ‎2.掌握极限的基本判断法则及常见的几种极限 ‎3.掌握常见的求和方法 五、强化训练 A组 ‎1. (2001复旦)______________‎ 分析与解：原式 ‎2. (2005复旦)________________‎ 分析与解：原式 ‎3. (2007复旦)设，则（ ）‎ A.2 B. C. D.64‎ 分析与解：原式，选A ‎4. (2008复旦)设是的展开式中项的系数，则极限（ ）‎ A.15 B.6 C.17 D.8‎ 分析与解：‎ 原式 ‎5. (模拟题)试证明 分析与解：用数学归纳法证明：‎ 当时，显然成立 假设当时，‎ 则，当时，‎ 得证 ‎6. (2006交大)已知，则数列的前100项和为___________‎ 分析与解：‎ ‎7. (2003复旦)已知数列的前项和为，‎ ‎，求 分析与解：由已知 ‎8. (2005交大)_____________‎ 分析与解：当为偶数时，原式 原式 当为奇数时，因为为偶数 原式 ‎9. (2007交大)_____________‎ 分析与解：原式=‎ ‎10. (2002交大)A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次任由A掷；若A掷不到一点，下次换B掷。对B同样适用该规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为 ‎(1)求和的关系 ‎(2)求 分析与解：(1)由已知，易得 ‎(2)由(1)设 又 B组 ‎1．(2000复旦)设，其中为整数，求 分析与解：由二项式定理的性质可得 ‎2. (2000复旦)____________‎ 分析与解：原式 ‎3. (模拟题)在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列。记，。求：‎ ‎(1)求数列和的通项公式 ‎(2)比较和的大小，并证明你的结论 分析与解：(1)由已知，，‎ ‎(2)用数学归纳法，容易验证，当时，‎ 当时，‎ 假设，当时，，即 则，当时，‎ 得证 ‎4. (2008中科大)数列满足 ‎(1)求和的关系 ‎(2)若，证明 ‎(3)若，证明 分析与解：(1)由已知，有 又 两式相减，得 又 ‎(2)用数学归纳法 当时，显然成立 假设当时，‎ 则当时，‎ 得证 ‎(3)先用数学归纳法证明当时，‎ 当时，由,‎ 假设当时，‎ 则当时，‎ 故 又 即