高考数学压轴题小题

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高考数学压轴题小题

‎2018年高考数学压轴题小题 ‎ ‎ 一.选择题(共6小题)‎ ‎1.(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  )‎ A.﹣50 B.0 C.2 D.50‎ ‎2.(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(2018•上海)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是(  )‎ A. B. C. D.0‎ ‎4.(2018•浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4•+3=0,则|﹣|的最小值是(  )‎ A.﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣‎ ‎5.(2018•浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则(  )‎ A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1‎ ‎6.(2018•浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(2018•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为   .‎ ‎8.(2018•江苏)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为   .‎ ‎9.(2018•天津)已知a>0,函数f(x)=‎ ‎.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是   .‎ ‎10.(2018•北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为   ;双曲线N的离心率为   .‎ ‎11.(2018•上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为   .‎ ‎12.(2018•上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=   .‎ ‎13.(2018•浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是   .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是   .‎ ‎14.(2018•浙江)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=   时,点B横坐标的绝对值最大.‎ ‎15.(2018•浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成   个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ 三.解答题(共2小题)‎ ‎16.(2018•上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.‎ ‎(1)若f(x)为偶函数,求a的值;‎ ‎(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.‎ ‎17.(2018•浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).‎ ‎(Ⅰ)求sin(α+π)的值;‎ ‎(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.‎ ‎ ‎ ‎2018年高考数学压轴题小题 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共6小题)‎ ‎1.(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  )‎ A.﹣50 B.0 C.2 D.50‎ ‎【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),‎ ‎∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,‎ 则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),‎ 即函数f(x)是周期为4的周期函数,‎ ‎∵f(1)=2,‎ ‎∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,‎ f(4)=f(0)=0,‎ 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,‎ 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)‎ ‎=f(1)+f(2)=2+0=2,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),‎ 直线AP的方程为:y=(x+a),‎ 由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),‎ 代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,‎ ‎∴题意的离心率e==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•上海)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是(  )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.‎ 我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4•+3=0,则|﹣|的最小值是(  )‎ A.﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣‎ ‎【解答】解:由﹣4•+3=0,得,‎ ‎∴()⊥(),‎ 如图,不妨设,‎ 则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,‎ 又非零向量与的夹角为,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上.‎ 不妨以y=为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线的距离减1.‎ 即.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(2018•浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则(  )‎ A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1‎ ‎【解答】解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.‎ 过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,‎ 连接SN,‎ 取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,‎ 则θ1=∠SEN,θ2=∠SEO,θ3=∠SMO.‎ 显然,θ1,θ2,θ3均为锐角.‎ ‎∵tanθ1==,tanθ3=,SN≥SO,‎ ‎∴θ1≥θ3,‎ 又sinθ3=,sinθ2=,SE≥SM,‎ ‎∴θ3≥θ2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:根据函数的解析式y=2|x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数,‎ 故排除A和B.‎ 当x=时,函数的值也为0,‎ 故排除C.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共9小题)‎ ‎7.(2018•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 2 .‎ ‎【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c,‎ 可得:=b=,‎ 可得,即c=2a,‎ 所以双曲线的离心率为:e=.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•江苏)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 .‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,‎ ‎∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),‎ ‎①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,‎ 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;‎ ‎②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,‎ ‎∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,‎ 又f(x)只有一个零点,‎ ‎∴f()=﹣+1=0,解得a=3,‎ f(x)=2x3﹣3x2+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣1,1],‎ f′(x)>0的解集为(﹣1,0),‎ f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减,‎ f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,‎ ‎∴f(x)min=f(﹣1)=﹣4,f(x)max=f(0)=1,‎ ‎∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:‎ f(x)max+f(x)min=﹣4+1=﹣3.‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•天津)已知a>0,函数f(x)=.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 (4,8) .‎ ‎【解答】解:当x≤0时,由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax,‎ 得x2+ax+a=0,‎ 得a(x+1)=﹣x2,‎ 得a=﹣,‎ 设g(x)=﹣,则g′(x)=﹣=﹣,‎ 由g′(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,‎ 由g′(x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,‎ 当x>0时,由f(x)=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax,‎ 得x2﹣ax+2a=0,‎ 得a(x﹣2)=x2,当x=2时,方程不成立,‎ 当x≠2时,a=‎ 设h(x)=,则h′(x)==,‎ 由h′(x)>0得x>4,此时递增,‎ 由h′(x)<0得0<x<2或2<x<4,此时递减,即当x=4时,h(x)取得极小值为h(4)=8,‎ 要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解,‎ 则由图象知4<a<8,‎ 故答案为:(4,8)‎ ‎ ‎ ‎10.(2018•北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为  ;双曲线N的离心率为 2 .‎ ‎【解答】解:椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,‎ 可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,),可得:,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),‎ 解得e=.‎ 同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,‎ 可得:,即,‎ 可得双曲线的离心率为e==2.‎ 故答案为:;2.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为 + .‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎=(x1,y1),=(x2,y2),‎ 由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,‎ 可得A,B两点在圆x2+y2=1上,‎ 且•=1×1×cos∠AOB=,‎ 即有∠AOB=60°,‎ 即三角形OAB为等边三角形,‎ AB=1,‎ ‎+的几何意义为点A,B两点 到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,‎ 显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,‎ 可设AB:x+y+t=0,(t>0),‎ 由圆心O到直线AB的距离d=,‎ 可得2=1,解得t=,‎ 即有两平行线的距离为=,‎ 即+的最大值为+,‎ 故答案为:+.‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .‎ ‎【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).‎ 则:,‎ 整理得:=1,‎ 解得:2p+q=a2pq,‎ 由于:2p+q=36pq,‎ 所以:a2=36,‎ 由于a>0,‎ 故:a=6.‎ 故答案为:6‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 {x|1<x<4} .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 (1,3]∪(4,+∞) .‎ ‎【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1‎ ‎<x<4}.‎ 函数f(x)恰有2个零点,‎ 函数f(x)=的草图如图:‎ 函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.‎ 故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•浙江)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5 时,点B横坐标的绝对值最大.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由P(0,1),=2,‎ 可得﹣x1=2x2,1﹣y1=2(y2﹣1),‎ 即有x1=﹣2x2,y1+2y2=3,‎ 又x12+4y12=4m,‎ 即为x22+y12=m,①‎ x22+4y22=4m,②‎ ‎①﹣②得(y1﹣2y2)(y1+2y2)=﹣3m,‎ 可得y1﹣2y2=﹣m,‎ 解得y1=,y2=,‎ 则m=x22+()2,‎ 即有x22=m﹣()2==,‎ 即有m=5时,x22有最大值4,‎ 即点B横坐标的绝对值最大.‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ ‎【解答】解:从1,3,5,7,9中任取2个数字有种方法,‎ 从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有种方法,‎ 可以组成=720个没有重复数字的四位数;‎ 含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有=540,‎ 故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数.‎ 故答案为:1260.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共2小题)‎ ‎16.(2018•上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.‎ ‎(1)若f(x)为偶函数,求a的值;‎ ‎(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,‎ ‎∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,‎ ‎∵f(x)为偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x),‎ ‎∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,‎ ‎∴2asin2x=0,‎ ‎∴a=0;‎ ‎(2)∵f()=+1,‎ ‎∴asin+2cos2()=a+1=+1,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,‎ ‎∵f(x)=1﹣,‎ ‎∴2sin(2x+)+1=1﹣,‎ ‎∴sin(2x+)=﹣,‎ ‎∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,‎ ‎∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,‎ ‎∵x∈[﹣π,π],‎ ‎∴x=或x=或x=﹣或x=﹣‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).‎ ‎(Ⅰ)求sin(α+π)的值;‎ ‎(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).‎ ‎∴x=﹣,y=,r=|OP|=,‎ ‎∴sin(α+π)=﹣sinα=;‎ ‎(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,‎ 得,,‎ 又由sin(α+β)=,‎ 得=,‎ 则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=,‎ 或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.‎ ‎∴cosβ的值为或.‎ ‎ ‎
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