高考数学压轴题小题

高考数学压轴题小题

‎2018年高考数学压轴题小题 ‎　‎ 一．选择题（共6小题）‎ ‎1．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）‎ A．﹣50 B．0 C．2 D．50‎ ‎2．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（2018•上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎4．（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣‎ ‎5．（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（　　）‎ A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1‎ ‎6．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　 　．‎ ‎8．（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为　 　．‎ ‎9．（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=‎ ‎．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　 　．‎ ‎10．（2018•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　 　；双曲线N的离心率为　 　．‎ ‎11．（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为　 　．‎ ‎12．（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=　 　．‎ ‎13．（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　 　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　 　．‎ ‎14．（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　 　时，点B横坐标的绝对值最大．‎ ‎15．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成　 　个没有重复数字的四位数．（用数字作答）‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．‎ ‎（1）若f（x）为偶函数，求a的值；‎ ‎（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．‎ ‎17．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．‎ ‎　‎ ‎2018年高考数学压轴题小题 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共6小题）‎ ‎1．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）‎ A．﹣50 B．0 C．2 D．50‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，‎ 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）=2，‎ ‎∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ f（4）=f（0）=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）‎ ‎=f（1）+f（2）=2+0=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 直线AP的方程为：y=（x+a），‎ 由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），‎ 代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，‎ ‎∴题意的离心率e==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．‎ 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣‎ ‎【解答】解：由﹣4•+3=0，得，‎ ‎∴（）⊥（），‎ 如图，不妨设，‎ 则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，‎ 又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．‎ 不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．‎ 即．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（　　）‎ A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1‎ ‎【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．‎ 过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，‎ 连接SN，‎ 取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，‎ 则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．‎ 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．‎ ‎∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，‎ ‎∴θ1≥θ3，‎ 又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，‎ ‎∴θ3≥θ2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，‎ 故排除A和B．‎ 当x=时，函数的值也为0，‎ 故排除C．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共9小题）‎ ‎7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　2　．‎ ‎【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，‎ 可得：=b=，‎ 可得，即c=2a，‎ 所以双曲线的离心率为：e=．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为　﹣3　．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，‎ ‎∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），‎ ‎①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，‎ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；‎ ‎②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，‎ ‎∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，‎ 又f（x）只有一个零点，‎ ‎∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，‎ f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，‎ f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），‎ f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，‎ f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，‎ ‎∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：‎ f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　（4，8）　．‎ ‎【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，‎ 得x2+ax+a=0，‎ 得a（x+1）=﹣x2，‎ 得a=﹣，‎ 设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，‎ 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，‎ 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，‎ 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，‎ 得x2﹣ax+2a=0，‎ 得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，‎ 当x≠2时，a=‎ 设h（x）=，则h′（x）==，‎ 由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，‎ 由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，‎ 要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，‎ 则由图象知4＜a＜8，‎ 故答案为：（4，8）‎ ‎　‎ ‎10．（2018•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；双曲线N的离心率为　2　．‎ ‎【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，‎ 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），‎ 解得e=．‎ 同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，‎ 可得：，即，‎ 可得双曲线的离心率为e==2．‎ 故答案为：；2．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为　+　．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎=（x1，y1），=（x2，y2），‎ 由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，‎ 可得A，B两点在圆x2+y2=1上，‎ 且•=1×1×cos∠AOB=，‎ 即有∠AOB=60°，‎ 即三角形OAB为等边三角形，‎ AB=1，‎ ‎+的几何意义为点A，B两点 到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，‎ 显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，‎ 可设AB：x+y+t=0，（t＞0），‎ 由圆心O到直线AB的距离d=，‎ 可得2=1，解得t=，‎ 即有两平行线的距离为=，‎ 即+的最大值为+，‎ 故答案为：+．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=　6　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．‎ 则：，‎ 整理得：=1，‎ 解得：2p+q=a2pq，‎ 由于：2p+q=36pq，‎ 所以：a2=36，‎ 由于a＞0，‎ 故：a=6．‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎13．（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　{x|1＜x＜4}　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　（1，3]∪（4，+∞）　．‎ ‎【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1‎ ‎＜x＜4}．‎ 函数f（x）恰有2个零点，‎ 函数f（x）=的草图如图：‎ 函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．‎ 故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　5　时，点B横坐标的绝对值最大．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由P（0，1），=2，‎ 可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），‎ 即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，‎ 又x12+4y12=4m，‎ 即为x22+y12=m，①‎ x22+4y22=4m，②‎ ‎①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，‎ 可得y1﹣2y2=﹣m，‎ 解得y1=，y2=，‎ 则m=x22+（）2，‎ 即有x22=m﹣（）2==，‎ 即有m=5时，x22有最大值4，‎ 即点B横坐标的绝对值最大．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成　1260　个没有重复数字的四位数．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，‎ 从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，‎ 可以组成=720个没有重复数字的四位数；‎ 含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，‎ 故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．‎ 故答案为：1260．‎ ‎　‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．‎ ‎（1）若f（x）为偶函数，求a的值；‎ ‎（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，‎ ‎∵f（x）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，‎ ‎∴2asin2x=0，‎ ‎∴a=0；‎ ‎（2）∵f（）=+1，‎ ‎∴asin+2cos2（）=a+1=+1，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，‎ ‎∵f（x）=1﹣，‎ ‎∴2sin（2x+）+1=1﹣，‎ ‎∴sin（2x+）=﹣，‎ ‎∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，‎ ‎∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，‎ ‎∵x∈[﹣π，π]，‎ ‎∴x=或x=或x=﹣或x=﹣‎ ‎　‎ ‎17．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．‎ ‎∴x=﹣，y=，r=|OP|=，‎ ‎∴sin（α+π）=﹣sinα=；‎ ‎（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，‎ 得，，‎ 又由sin（α+β）=，‎ 得=，‎ 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，‎ 或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．‎ ‎∴cosβ的值为或．‎ ‎　‎