人教新课标A版高一数学2-4-1等比数列的概念及通项公式

人教新课标A版高一数学2-4-1等比数列的概念及通项公式

2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 从容说课 本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引 导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行 联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的 数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程. 教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和 思维的主动性. 准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所 学知识的目的. 教学重点 1.等比数列的概念; 2.等比数列的通项公式. 教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系; 2.等比数列与指数函数的关系. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列; 2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式; 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问 题; 4.体会等比数列与指数函数的关系. 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学; 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动; 3.密切联系实际，激发学生学习的积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真 的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力; 2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的 兴 趣. 教学过程 导入新课 师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了 三次，手中的报纸的层数就成了 8 层，对折了 5 次就成了 32 层.你能举出类似的例子吗？ 生 一粒种子繁殖出第二代 120 粒种子，用第二代的 120 粒种子可以繁殖出第三代 120×120 粒种子，用第三代的 120×120 粒种子可以繁殖出第四代 120×120×120 粒种子，… 师 非常好的一个例子！ 现实生活中，我们会遇到许多这类的事例. 教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型. 师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分 裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？ 生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到 每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列： 1，2，4，8，…① 教师出示投影胶片 1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？ 生 思考、讨论，用现代语言叙述. 师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1， 2 1 ， 4 1 ， 8 1 ， 16 1 ，… ② 教师出示投影胶片 2：计算机病毒传播问题. 一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者 发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算 机都感染 20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的 数列呢? 师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？ 引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染 20 台计算机”中蕴涵的等比关 系. 生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列： 1，20，202，203，204，… ③ 教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题. 师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期 的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现 行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的. 给出计算本利和的公式： 本利和=本金×(1+本金)n，这里 n 为存期. 生 列出 5 年内各年末的本利和，并说明计算过程. 师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年 末本利和(单位：元)组成了下面数列： 10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④ 师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共 同特点？ 师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系. 引入课题：板书课题 2.4 等比数列的概念及通项公式 推进新课 ［合作探究］ 师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有 这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？ 生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出： 一般地，如果把一个数列，从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列. ［教师精讲］ 师 同学们概括得很好，这就是等比数列( geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列 的英文缩写记作 G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用 G.P.这个缩写表示等比数列. 定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母 q 表示(q≠0). 请同学们想一想，为什么 q≠0 呢？ 生 独立思考、合作交流、自主探究. 师 假设 q=0，数列的第二项就应该是 0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时 就出现什么了呢？ 生 分母为 0 了. 师 对了，问题就出在这里了，所以，必须 q≠0. 师 那么，等比数列的首项能不能为 0 呢？ 生 等比数列的首项不能为 0. 师 是的，等比数列的首项和公比都不能为 0，等比数列中的任一项都不会是 0. ［合作探究］ 师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念. 生 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a、b 的等比中 项. 师 想一想，这时 a、b 的符号有什么特点呢？你能用 a、b 表示 G 吗？ 生 一起探究,a、b 是同号的 G b a G  ，G=± ab ，G2=ab. 师 观察学生所得到的 a、b、G 的关系式，并给予肯定. 补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中 任一项等距离的两项之和等于该项的 2 倍，即 a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类 似的性质呢？ 生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an2. ［合作探究］ 探究： (1)一个数列 a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？ (2)写出两个首项为 1 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为 2 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？ (3)任一项 an 及公比 q 相同，则这两个数列相同吗？ (4)任意两项 am、an 相同，这两个数列相同吗？ (5)若两个等比数列相同，需要什么条件？ 师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答. 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答. ［教师精讲］ 概括总结对上述问题的探究，得出： (1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为 0，公比 为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列. 概括学生对(2)(3)(4)的解答. (2)中，首项为 1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为 2，而首项不同的等比数列 也是不会相同的. (3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同； (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”. (探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公 式的推导做准备) ［合作探究］ 师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式. ［方法引导］ 师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项 公式. 具体的，设等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，根据等比数列的定义，我们有： a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1， 即 an=a1qn-1. 师 根据等比数列的定义，我们还可以写出 qa a a a a a a a n n  13 4 2 3 1 2 ... , 进而有 an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1. 亦得 an=a1qn-1. 师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与 q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？ 生 把 an 看成 anq0，那么，每一道式子里，项的下标与 q 的指数的和都是 n. 师 非常正确，这里不仅给出了一个由 an 倒推到 an 与 a1，q 的关系，从而得出通项公式的过 程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再 提到这组关系式. 师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子 qa a a a a a a a n n  13 4 2 3 1 2 ... ,再思考. 如果我们把上面的式子改写成 qa aqa aqa aqa a n n  13 4 2 3 1 2 ,...,,, . 那么我们就有了 n-1 个等式，将这 n-1 个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是 1 1  nn qa a ,于是，得 an=a1q n-1. 师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？ 师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法 没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明. 师 让学生说出公式中首项 a1 和公比 q 的限制条件. 生 a1，q 都不能为 0. ［知识拓展］ 师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么 方法解决问题的呢？ 教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或 习题. 某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，设存期是 x,本利和为 y 元. （1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式； （2）如果存入本金 1 000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和. 师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法 解决问题的. 生 比较两种方法，思考它们的异同. ［教师精讲］ 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来. (1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为 an=2 n-1 的数列的图象和函数 y=2x-1 的图象， 你发现了什么？ (2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为 1)2 1(  n na 的数列的图象和函数 y=( 2 1 )x-1 的 图象，你又发现了什么？ 生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关 系. 师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象. 观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些 孤立的点. 师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系 3 个角度类比等差数列与等比数列，并填充 下列表格： 等差数列 等比数列 定 义 从第二项起，每一项与它前一项的 差都是同一个常数 从第二项起，每一项与它前 一项的比都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有 无限制 没有任何限制 首项、公比都不能为 0 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1 相应图象的特点 直线 y=a1+(x-1)d 上孤立的点 函数y=a1qx-1图象上孤立的点 ［例题剖析］ 【例 1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84％， 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)？ 师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系. 【例 2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式，这个数 列是等比数列吗？ 师 将打印出来的数依次记为 a1(即 A)，a2，a3，…. 可知 a1=1;a2=a1× 2 1 ;a3=a2× 2 1 . 于是，可得递推公式       )1(2 1 ,1 1 1 ＞naa a nn . 由于 2 1 1  n n a a ，因此，这个数列是等比数列. 生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式. 练习： 1.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项. 师 启发、引导学生列方程求未知量. 生 探究、交流、列式、求解. 2.课本第 59 页练习第 1、2 题. 课堂小结 本节学习了如下内容： 1.等比数列的定义. 2.等比数列的通项公式. 3.等比数列与指数函数的联系. 布置作业 课本第 60 页习题 2.4 A 组 第 1、2 题. 板书设计 等比数列的概念及通项公式 1.等比数列的定义 实例剖析 2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例 1 练习：1.(学生板演) 例 2