高中数学必修一至必修五知识点总结

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高中数学必修一至必修五知识点总结

必修 1 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合 A的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A , 相反,a不属于集合 A 记作 aA 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A A ②真子集:如果 A B,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.(即找公 共部分)记作 A∩B(读作”A交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。 (即 A 和 B 中所有的元素)记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中所有不属于 A的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)(即除去 A 剩下的元素组成的集合) 四、函数的有关概念 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的 定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 7.函数单调性 (1).增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a,b,当 a1 01 0 L α A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 L A ·α P · α L β 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b的相互位置来确定,与 O 的选择无关, 为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, 2  ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 共面直线 =>a∥c 符号表示: a β b β a∩b = P =>β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β => a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a => a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂直,记作 L ⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k表示。 即 tank  。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l与 x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l与 x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当   90,0 时, 0k ; 当   180,90 时, 0k ; 当 90 时, k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式: )( 21 12 12 xx xx yy k     ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2) 注意下面四点:(1)当 21 xx  时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: )( 11 xxkyy  直线斜率 k,且过点  11, yx 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标 都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: bkxy  ,直线斜率为 k,直线在 y轴上的截距为 b ③两点式: 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      ( 1 2 1 2,x x y y  )直线两点  11, yx ,  22 , yx ④截矩式: 1x y a b   其中直线 l 与 x轴交于点 ( ,0)a ,与 y轴交于点 (0, )b ,即 l 与 x轴、 y轴的截距分 别为 ,a b。 ⑤一般式: 0 CByAx (A,B不全为 0) 注意:○1各式的适用范围 ○2 特殊的方程如: 平行于 x轴的直线: by  (b为常数); 平行于 y轴的直线: ax  (a 为常数); (6)两直线平行与垂直 当 111 : bxkyl  , 222 : bxkyl  时, 212121 ,// bbkkll  ; 12121  kkll 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 0: 1111  CyBxAl 0: 2222  CyBxAl 相交 交点坐标即方程组      0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21 // ll ; 方程组有无数解 1l 与 2l 重合 (8)两点间距离公式:设 1 1 2 2( , ) ,A x y B x y,( )是平面直角坐标系中的两个点, 则 2 2 2 1 2 1| | ( ) ( )AB x x y y    (9)点到直线距离公式:一点  00 , yxP 到直线 0:1  CByAxl 的距离 22 00 BA CByAx d    (10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 1l 和 2l 的一般式方程为 1l : 01  CByAx , 2l : 02  CByAx ,则 1l 与 2l 的距离为 22 21 BA CC d    第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程     222 rbyax  ,圆心  ba, ,半径为 r; 点 0 0( , )M x y 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    的位置关系: 当 2 2 0 0( ) ( )x a y b   > 2r ,点在圆外 当 2 2 0 0( ) ( )x a y b   = 2r ,点在圆上 当 2 2 0 0( ) ( )x a y b   < 2r ,点在圆内 (2)一般方程 022  FEyDxyx 当 0422  FED 时,方程表示圆,此时圆心为        2 , 2 ED ,半径为 FEDr 4 2 1 22  (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 a, b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 0:  CByAxl ,圆     222: rbyaxC  ,圆心  baC , 到 l 的距离为 22 BA CBbAa d    ,则有 相离与Clrd  ; 相切与Clrd  ; 相交与Clrd  (2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2 ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 必修三 :辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步 骤如下: ①用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 0S 和一个余数 0R ; ②若 0R =0,则 n 为 m,n 的最大公 约数;若 0R ≠0,则用除数 n 除以余数 0R 得到一个商 1S 和一个余数 1R ;③若 1R =0,则 1R 为 m,n的最大 公约数;若 1R ≠0,则用除数 0R 除以余数 1R 得到一个商 2S 和一个余数 2R ;…… 依次计算直至 nR =0,此时所得到的 1nR  即为所求的最大公约数。 (2)更相减损术 ①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2约简;若不是,执行第二步。②以较大的 数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等 为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 (3)辗转相除法与更相减损术的区别: ①都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 ②从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差 相等而得到 8:秦九韶算法与排序 (1)秦九韶算法概念: f(x)=anx n +an-1x n-1 +….+a1x+a0求值问题 f(x)=anx n +an-1x n-1 +….+a1x+a0=( anx n-1 +an-1x n-2 +….+a1)x+a0 =(( anx n-2 +an-1x n-3 +….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次 多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 第二章:统计 1:简单随机抽样 类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程 中每个个体被 抽取的机会相 等 从总体中逐个抽取 总体中的 个体数较少 系统抽 样 将总体均匀分成几部分,按 事先确定的规则在各部分抽取 再起时部分抽样时 采用简单随机抽样 总体中的 个数较多 分成抽 样 经总体分成几层,分层进行 抽取 各层抽样时采用简 单随机抽样 总体由差 异明显的几部 分组成 4:用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)样本均值: n xxxx n  21 (2)样本标准差: n xxxxxx ss n 22 2 2 12 )()()(    用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 (3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可以是多个)。 (4)中位数:在样本数据中,累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值(只有一个)。 第三章:概 率 2:概率的基本性质 (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1 (2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (3)若 A∩B为不可能事件,即 A∩B=,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (4)若 A∩B为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (5)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A与 B为对立事件,则 A∪B为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (6)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形:① 事件 A 发生且事件 B 不发生;②事件 A 不发生且事件 B 发生;③事件 A 与事件 B同时不发生,而对立事件是指事件 A与事件 B有且仅有一个发生,其包括两种情形;④事件 A发 生 B不发生;⑤事件 B发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3:基本事件 (1)基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,它是试验中不能再分 的最简单的随机事件。 (2)基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成 基本事件的和。 4:古典概型: (1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型满足两个条件: ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A所包含的基本事件数,然后利用公式 A( )p A  所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数 5:几何概型 (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: 积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成 积)的区域长度(面积或体构成事件AAp )( ; (3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出 P x y AO M T 现的可能性相等. 注意:几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在 一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关,值域该区域的大小 有关。如果随即事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0, 但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但他 不是必然事件。 综上可得:必然事件的概率为 1;不可能事件的概率为 0。 概率为 1 的事件不一定为必然事件;概率为 0 的事件不一定为不可能事件。 必修 4 第一章 三角函数(初等函数二)      正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 3、与角 终边相同的角的集合为 360 ,k k      7、弧度制与角度制的换算公式: 2 360   ,1 180   , 1801 57.3          . 8、若扇形的圆心角为   为弧度制 ,半径为 r,弧长为 l,周长为C,面积为 S ,则 l r  , 2C r l  , 21 1 2 2 S lr r  . 9、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是  ,x y ,它与原点的距离是  2 2 0r r x y   ,则 sin y r   , cos x r   ,  tan 0y x x    . 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 11、三角函数线: sin  , cos  , tan  . 12、同角三角函数的基本关系:   2 21 sin cos 1    2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin       ;   sin2 tan cos     15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: siny x cosy x tany x函 数性 质 图 象 定 义 域 R R , 2 x x k k        值 域  1,1  1,1 R 最 值 当 2 2 x k    k 时, max 1y  ;当 2 2 x k    k 时 , min 1y   . 当  2x k k  时, max 1y  ; 当 2x k    k 时 , min 1y   . 既无最大值也无最 小值 周 期性 2 2  奇 偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调性 在 2 ,2 2 2 k k        k 上是增函数; 在 32 ,2 2 2 k k        k 上是减函数. 在   2 ,2k k k    上 是 增 函 数 ; 在  2 ,2k k    k 上是减函数. 在 , 2 2 k k         k 上 是 增 函 数. 对 称性 对称中心    ,0k k  对称轴   2 x k k    对称中心  , 0 2 k k       对称轴  x k k  对称中心  , 0 2 k k       无对称轴 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 : a b a b a b          . ⑷运算性质: ① 交 换 律 : a b b a      ; ②结合律:    a b c a b c          ; ③ 0 0a a a        . ⑸ 坐 标 运 算 : 设  1 1,a x y  ,  2 2,b x y  , 则  1 2 1 2,a b x x y y     . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向 量. ⑵ 坐 标 运 算 : 设  1 1,a x y  ,  2 2,b x y  , 则  1 2 1 2,a b x x y y     . 设、两点的坐标分别为  1 1,x y ,  2 2,x y ,则  1 2 1 2,x x y y     . 23、平面向量的数量积: ⑴  cos 0, 0,0 180a b a b a b              .零向量与任一向量的数量积为0. ⑵性质:设 a和b  都是非零向量,则① 0a b a b       .②当 a与b  同向时,a b a b     ;当 a与 b  反向时, a b a b      ; 22a a a a       或 a a a     .③ a b a b     . ⑷坐标运算:设两个非零向量  1 1,a x y  ,  2 2,b x y  ,则 1 2 1 2a b x x y y    . b  a C   a b C C         若  ,a x y  ,则 2 2 2a x y   ,或 2 2a x y   . 设  1 1,a x y  ,  2 2,b x y  ,则 1 2 1 2 0a b x x y y     . 设 a 、 b  都 是 非 零 向 量 ,  1 1,a x y  ,  2 2,b x y  ,  是 a 与 b  的 夹 角 , 则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y         . 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴  cos cos cos sin sin        ; ⑵  cos cos cos sin sin        ; ⑶  sin sin cos cos sin        ; ⑷  sin sin cos cos sin        ; ⑸   tan tantan 1 tan tan          (   tan tan tan 1 tan tan         ); ⑹   tan tantan 1 tan tan          (   tan tan tan 1 tan tan         ). 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2 2sin cos   . ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          ( 2 cos 2 1cos 2    , 2 1 cos 2sin 2    ). ⑶ 2 2tantan2 1 tan     . 26、  2 2sin cos sin         ,其中 tan    . 必修 5 第一章 解三角形 1、正弦定理:在 C 中,a、b、c分别为角、、C的对边,R为 C 的外接圆的半径, 则有 2 sin sin sin a b c R C      . 2、正弦定理的变形公式:① 2 sina R , 2 sinb R , 2 sinc R C ; ② sin 2 a R   , sin 2 b R   , sin 2 cC R  ;③ : : sin : sin : sina b c C   ; ④ s in s in s in s in s in s in a b c a b c C C            . (正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和 一边,求其余的量。) 3、三角形面积公式: 1 1 1sin sin sin 2 2 2CS bc ab C ac    . 4、余弦定理:在 C 中,有 2 2 2 2 cosa b c bc   , 2 2 2 2 cosb a c ac   , 2 2 2 2 cosc a b ab C   . 5、余弦定理的推论: 2 2 2 c o s 2 b c a b c     , 2 2 2 c o s 2 a c b a c     , 2 2 2 c o s 2 a b cC a b    . (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状:设 a、b、c是 C 的角、、C的对边,则:①若 2 2 2a b c  , 则 90C   ; ②若 2 2 2a b c  ,则 90C   ;③若 2 2 2a b c  ,则 90C   . 附:三角形的四个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点 第二章 数列 11、如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列, 这个常数称为等差数列的公差.符号表示: 1n na a d   。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① ),2(1 为常数dndaa nn   ②2 11   nnn aaa ( 2n ) ③ bknan  ( kn, 为常数 12、由三个数 a,,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为 a与b的等差中项.若 2 a cb   ,则称b为 a与 c的等差中项. 13、若等差数列 na 的首项是 1a ,公差是 d ,则  1 1na a n d   . 14、通项公式的变形:①  n ma a n m d   ;②  1 1na a n d   ;③ 1 1 na ad n    ; ④ 1 1na an d    ;⑤ n ma ad n m    . 15、若 na 是等差数列,且m n p q   (m、n、 p、 *q ),则 m n p qa a a a   ;若 na 是 等差数列,且 2n p q  ( n、 p、 *q ),则 2 n p qa a a  . 16 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ①  1 2 n n n a a S   ; ②   1 1 2n n n S na d    . ③ 1 2n ns a a a    18、如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列, 这个常数称为等比数列的公比.符号表示: 1n n a q a   (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位 上的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① )0,,2(1   且为常数qnqaa nn ② 11 2   nnn aaa ( 2n , 011  nnn aaa ) ③ n n cqa  ( qc, 为非零常数). ④正数列{ na }成等比的充要条件是数列{ nx alog }( 1x )成等比数列. 19、在 a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为 a与b的等比中项.若 2G ab , 则称G为a与b的等比中项.(注:由 2G ab 不能得出 a,G,b成等比,由a,G,b  2G ab ) 20、若等比数列 na 的首项是 1a ,公比是 q,则 1 1 n na a q  . 21、通项公式的变形:① n m n ma a q  ; 22、若 na 是等比数列,且m n p q   (m、n、 p、 *q ),则 m n p qa a a a   ;若 na 是等比 数列,且 2n p q  ( n、 p、 *q ),则 2 n p qa a a  . 23 、 等 比 数 列  na 的 前 n 项 和 的 公 式 : ①       1 1 1 1 1 1 1 1 n n n na q S a q a a q q q q          . ② 1 2n ns a a a    24、对任意的数列{ na }的前 n项和 nS 与通项 na 的关系:        )2( )1( 1 11 nss nas a nn n ③非零..常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) 附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于       1nnaa c 其中{ na }是各项不为 0 的等差数列,c为常数;部分无理数列、含 阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 nnba 其中{ na }是等差数列, nb 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n项和公式的推导方法. 第三章 不等式 一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax 2 +bx+c>0(a>0)解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 ( 0a )的图 象 一元二次方程  的根0 02   a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx  有两相等实根 a bxx 221  无实根 的解集)0( 02   a cbxax  21 xxxxx  或        a bxx 2 R 的解集)0( 02   a cbxax  21 xxxx    对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 11、设 a、b是两个正数,则 2 a b 称为正数 a、b的算术平均数, ab称为正数 a、b的几何平均数. 12、均值不等式定理: 若 0a  , 0b  ,则 2a b ab  ,即 2 a b ab  . 13、常用的基本不等式: ①  2 2 2 ,a b ab a b R   ; ②   2 2 , 2 a bab a b R   ; ③   2 0, 0 2 a bab a b       ; ④   22 2 , 2 2 a b a b a b R       . 14、极值定理:设 x、 y都为正数,则有: ⑴若 x y s  (和为定值),则当 x y 时,积 xy取得最大值 2 4 s .⑵若 xy p (积为定值),则当 x y 时,和 x y 取得最小值 2 p .
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