2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.3 向量的数乘运算

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.3 向量的数乘运算

6.2.3 向量的数乘运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运 算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法. 知识点一 向量数乘的定义 实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如 下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 当λ>0 时，与 a 的方向相同； 当λ<0 时，与 a 的方向相反. 特别地，当λ＝0 时，λa＝0. 当λ＝－1 时，(－1)a＝－a. 知识点二 向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1， μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点三 向量共线定理 向量 a (a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa. 思考 向量共线定理中为什么规定 a≠0? 答案 若将条件 a≠0 去掉，即当 a＝0 时，显然 a 与 b 共线. (1)若 b≠0，则不存在实数λ，使 b＝λa. (2)若 b＝0，则对任意实数λ，都有 b＝λa. 1.若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数λ使 b＝λa.( × ) 提示 当 b＝0，a＝0 时，实数λ不唯一. 2.若 b＝λa，则 a 与 b 共线.( √ ) 3.若λa＝0，则 a＝0.( × ) 提示 若λa＝0，则 a＝0 或λ＝0. 4.|λa|＝λ|a|.( × ) 提示 |λa|＝|λ|·|a|. 一、向量的线性运算 例 1 (1)若 a＝2b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于( ) A.－a B.－b C.－c D.以上都不对 答案 C 解析 原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. (2)若 3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则 x＝________. 答案 4b－3a 解析 由已知，得 3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以 x＋3a－4b＝0， 所以 x＝4b－3a. 反思感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、 “公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解， 同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练 1 计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 解 (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a ＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 二、用已知向量表示其他向量 例 2 如图，在▱ABCD 中，E 是 BC 的中点，若AB→＝a，AD→ ＝b，则DE→ 等于( ) A.1 2a－b B.1 2a＋b C.a＋1 2b D.a－1 2b 答案 D 解析 因为 E 是 BC 的中点， 所以CE→＝1 2CB→＝－1 2AD→ ＝－1 2b， 所以DE→ ＝DC→ ＋CE→＝AB→＋CE→＝a－1 2b. 反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已 知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练 2 在△ABC 中，若点 D 满足BD→ ＝2DC→ ，则AD→ 等于( ) A.1 3AC→＋2 3AB→ B.5 3AB→－2 3AC→ C.2 3AC→－1 3AB→ D.2 3AC→＋1 3AB→ 答案 D 解析 示意图如图所示， 由题意可得AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋2 3BC→ ＝AB→＋2 3(AC→－AB→)＝1 3AB→＋2 3AC→. 三、向量共线的判定及应用 例 3 设 a，b 是不共线的两个向量. (1)若OA→ ＝2a－b，OB→ ＝3a＋b，OC→ ＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值. (1)证明 ∵AB→＝OB→ －OA→ ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而BC→＝OC→ －OB→ ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB→， ∴AB→与BC→共线，且有公共点 B， ∴A，B，C 三点共线. (2)解 ∵8a＋kb 与 ka＋2b 共线， ∴存在实数λ，使得 8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a 与 b 不共线，∴ 8－λk＝0， k－2λ＝0， 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 反思感悟 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB→＝λAC→(或BC→＝ λAB→等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 跟踪训练 3 已知向量 e1，e2 不共线，如果AB→＝e1＋2e2，BC→＝－5e1＋6e2，CD→ ＝7e1－2e2， 则共线的三个点是________. 答案 A，B，D 解析 ∵AB→＝e1＋2e2，BD→ ＝BC→＋CD→ ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2AB→， ∴AB→，BD→ 共线，且有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线. 三点共线的常用结论 典例 如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不 同的两点 M，N，若AB→＝mAM→ ，AC→＝nAN→，则 m＋n 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 连接 AO(图略)，∵O 是 BC 的中点， ∴AO→ ＝1 2(AB→＋AC→). 又∵AB→＝mAM→ ，AC→＝nAN→，∴AO→ ＝m 2AM→ ＋n 2AN→. 又∵M，O，N 三点共线，∴m 2 ＋n 2 ＝1，则 m＋n＝2. [素养提升] (1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实数 x，y，使OA→ ＝xOB→ ＋yOC→ ，且 x＋y＝1. (2)应用时一定注意 O 是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养. 1.下列运算正确的个数是( ) ①(－3)·2a＝－6a； ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a ＝0，是零向量，而不是 0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为 2. 2.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若AB→＝a，AC→＝b，则AM→ 等于( ) A.1 2(a－b) B.－1 2(a－b) C.1 2(a＋b) D.－1 2(a＋b) 答案 C 解析 因为 M 是 BC 的中点，所以AM→ ＝1 2(a＋b). 3.设 P 是△ABC 所在平面内一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( ) A.PA→＋PB→＝0 B.PC→＋PA→＝0 C.PB→＋PC→＝0 D.PA→＋PB→＋PC→＝0 答案 B 解析 因为BC→＋BA→＝2BP→，所以点 P 为线段 AC 的中点，故选项 B 正确. 4.化简 4(a－3b)－6(－2b－a)＝________. 答案 10a 解析 4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a. 5.设 e1 与 e2 是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→ ＝3e1－2ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k＝________. 答案 －9 4 解析 因为 A，B，D 三点共线， 故存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→ ， 又AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→ ＝3e1－2ke2， 所以BD→ ＝CD→ －CB→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以 3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以 3＝λ3－k， 2＝－λ2k＋1， 解得 k＝－9 4. 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)向量共线定理. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 1.下列说法中正确的是( ) A.λa 与 a 的方向不是相同就是相反 B.若 a，b 共线，则 b＝λa C.若|b|＝2|a|，则 b＝±2a D.若 b＝±2a，则|b|＝2|a| 答案 D 解析 显然当 b＝±2a 时，必有|b|＝2|a|. 2.(多选)下列各式计算正确的有( ) A.(－7)6a＝－42a B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b C.a－2b＋a＋2b＝2a D.4(2a＋b)＝8a＋4b 答案 ACD 解析 ACD 正确，B 错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. 3.设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝e2－2e1 共线，则 ( ) A.k＝0 B.k＝1 C.k＝2 D.k＝1 2 答案 D 解析 ∵向量 m 与向量 n 共线， ∴设 m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1， ∵e1 与 e2 不共线， ∴ k＝λ， －1＝－2λ， ∴ λ＝1 2 ， k＝1 2. 4.下列各组向量中，一定能推出 a∥b 的是( ) ①a＝－3e，b＝2e； ②a＝e1－e2，b＝e1＋e2 2 －e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋e1＋e2 2 . A.① B.①② C.②③ D.①②③ 答案 B 解析 ①中，a＝－3 2b，所以 a∥b； ②中，b＝e1＋e2 2 －e1＝e2－e1 2 ＝－1 2a，所以 a∥b； ③中，b＝3e1＋3e2 2 ＝3 2(e1＋e2)，若 e1 与 e2 共线，则 a 与 b 共线，若 e1 与 e2 不共线，则 a 与 b 不共线. 5.已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb，则 a＝b； ④若 ma＝na，则 m＝n. A.②④ B.①② C.①③ D.③④ 答案 B 解析 由向量数乘的运算律知①②正确；③中当 m＝0 时，ma＝mb，但 a 不一定等于 b，故 错误；④中当 a＝0 时等式成立，但 m 不一定等于 n，故错误. 6.已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝5，且 a＝λb，则实数λ的值是________. 答案 ±3 5 解析 由 a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝3 5 ，即λ＝±3 5. 7.1 4(a＋2b)－1 6(5a－2b)＋1 4a＝________. 答案 －1 3a＋5 6b 解析 原式＝1 4a＋1 2b－5 6a＋1 3b＋1 4a＝ 1 4 －5 6 ＋1 4 a＋ 1 2 ＋1 3 b＝－1 3a＋5 6b. 8.设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝1 2AB，BE＝2 3BC.若AB→＝a，AC→＝b，则DE→ ＝________.(用 a，b 表示) 答案 －1 6a＋2 3b 解析 DE→ ＝DB→ ＋BE→＝1 2AB→＋2 3BC→＝1 2AB→＋2 3(BA→＋AC→)＝－1 6AB→＋2 3AC→＝－1 6a＋2 3b. 9.计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). 解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 10.设 a，b 是两个不共线的非零向量，若向量 2ka＋b 与 8a＋kb 的方向相反，求 k 的值. 解 由题意可知存在实数λ使 2ka＋b＝λ(8a＋kb)， 即 2ka＋b＝8λa＋λkb， 所以 2k＝8λ， 1＝λk， 解得 λ＝1 2 ， k＝2 或 λ＝－1 2 ， k＝－2， ∵2ka＋b 与 8a＋kb 的方向相反， 则 k＝2 不符合题意，舍去， ∴k＝－2. 11.设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB→＋FC→等于( ) A.BC→ B.1 2AD→ C.AD→ D.1 2BC→ 答案 C 解析 如图，EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→ ＝EC→＋FB→＝1 2(AC→＋AB→) ＝1 2 ×2AD→ ＝AD→ . 12.在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若CD→ ＝1 3CA→＋λCB→，则λ等于( ) A.1 3 B.2 3 C.1 2 D.3 4 答案 B 解析 ∵A，B，D 三点共线， ∴1 3 ＋λ＝1，λ＝2 3. 13.如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa＋(p＋1)b＝0，则向量 a 和 b________.(填“共线” 或“不共线”) 答案 共线 解析 由题知实数 p≠0，则 pa＋(p＋1)b＝0 可化为 a＝－p＋1 p b，由向量共线定理可知 a，b 共线. 14.已知在△ABC 中，点 M 满足MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0，若存在实数 m 使得AB→＋AC→＝m AM→ 成立， 则 m＝________. 答案 3 解析 ∵MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0， ∴点 M 是△ABC 的重心. ∴AB→＋AC→＝3AM→ ，∴m＝3. 15.已知在四边形 ABCD 中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→ ＝－5a－3b，求证：四边形 ABCD 为梯形. 证明 如图所示. ∵AD→ ＝AB→＋BC→＋CD→ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴AD→ ＝2BC→. ∴AD→ 与BC→共线，且|AD→ |＝2|BC→|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且 AD＝2BC. ∴四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形. 16.设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共 线，则 b 与 a＋c 是否共线？请证明你的结论. 解 b 与 a＋c 共线.证明如下： ∵a＋b 与 c 共线， ∴存在唯一实数λ，使得 a＋b＝λc.① ∵b＋c 与 a 共线， ∴存在唯一实数μ，使得 b＋c＝μa.② 由①－②得，a－c＝λc－μa. ∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a 与 c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即 a＋b＋c＝0. ∴a＋c＝－b. 故 a＋c 与 b 共线.