人教版高中数学选修2-3练习:第二章2-3-2-3-1离散型随机变量的均值word版含解析

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人教版高中数学选修2-3练习:第二章2-3-2-3-1离散型随机变量的均值word版含解析

第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 A 级 基础巩固 一、选择题 1.某一供电网络,有 n 个用电单位,每个单位在一天中使用电的 机会是 p,供电网络中一天平均用电的单位个数是( ) A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p) 解析:依题意知,用电单位 X~B(n,p),所以 E(X)=np. 答案:B 2.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则 E(ξ)的值为( ) ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. 1 18 B.1 9 C.20 9 D. 9 20 解析:根据概率和为 1,可得 x= 1 18 , 所以 E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x= 20 9 . 答案:C 3.同时抛掷 5 枚质地均匀的硬币 80 次,设 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上,3 枚反面向上的次数为 X,则 X 的均值是( ) A.20 B.25 C.30 D.40 解析:抛掷一次正好出现 3 枚反面向上,2 枚正面向上的概率为C25 25 = 5 16.所以 X~B 80, 5 16 .故 E(X)=80× 5 16 =25. 答案:B 4.已知ξ~B n,1 2 ,η~B n,1 3 ,且 E(ξ)=15,则 E(η)等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析:因为ξ~B n,1 2 ,所以 E(ξ)=n 2.又 E(ξ)=15,则 n=30.所以 η~B 30,1 3 .故 E(η)=30×1 3 =10. 答案:B 5.口袋中有编号分别为 1、2、3 的三个大小和形状相同的小球, 从中任取 2 个,则取出的球的最大编号 X 的期望为( ) A.1 3 B.2 3 C.2 D.8 3 解析:X=2,3 所以 P(X=2)= 1 C23 =1 3 ,P(X=3)=C12 C23 =2 3. 所以 E(X)=2×1 3 +3×2 3 =8 3. 答案:D 二、填空题 6.已知 X~B 100,1 2 ,则 E(2X+3)=________. 解析:E(X)=100×1 2 =50,E(2X+3)=2E(X)+3=103. 答案:103 7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 解析: 答案:0.4 8.对某个数学题,甲解出的概率为2 3 ,乙解出的概率为3 4 ,两人独 立解题.记 X 为解出该题的人数,则 E(X)=________. 解析:P(X=0)=1 3 ×1 4 = 1 12 ,P(X=1)=2 3 ×1 4 +1 3 ×3 4 = 5 12 ,P(X=2) =2 3 ×3 4 = 6 12 ,E(X)=1×5+2×6 12 =17 12. 答案:17 12 三、解答题 9.某运动员投篮投中的概率为 0.6.求: (1)一次投篮时投中次数 X 的均值; (2)重复 5 次投篮时投中次数 Y 的均值. 解:(1)X 的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 则 E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6, 即一次投篮时投中次数 X 的均值为 0.6. (2)Y 服从二项分布,即 Y~B(5,0.6). 故 E(Y)=5×0.6=3, 即重复 5 次投篮时投中次数 Y 的均值为 3. 10.甲、乙两人进行围棋比赛,每局比赛甲胜的概率为1 3 ,乙胜的 概率为2 3 ,规定某人先胜三局则比赛结束,求比赛局数 X 的均值. 解:由题意,X 的所有可能值是 3,4,5. P(X=3)=C33× 1 3 3 +C33× 2 3 3 =1 3 ; P(X=4)=C23× 1 3 2 ×2 3 ×1 3 +C23× 2 3 2 ×1 3 ×2 3 =10 27 ; P(X=5)=C24× 1 3 2 × 2 3 2 ×1 3 +C24× 2 3 2 × 1 3 2 ×2 3 = 8 27. 所以 X 的分布列为: X 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 所以 E(X)=3×1 3 +4×10 27 +5× 8 27 =107 27 . B 级 能力提升 1.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别 为 0.9 和 0.85,设发现目标的雷达台数为 X,则 E(X)=( ) A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22 解析:依题意 X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.1×0.15=0.015; P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22; P(X=2)=0.9×0.85=0.765. 所以 E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75. 答案:B 2.设离散型随机变量 X 可能的取值为 1,2,3,P(X=k)=ak+ b(k=1,2,3).又 X 的均值 E(X)=3,则 a+b=________. 解析:因为 P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b, P(X=3)=3a+b, 所以 E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3, 所以 14a+6b=3.① 又因为(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1, 所以 6a+3b=1.② 由①②可知 a=1 2 ,b=-2 3 ,所以 a+b=-1 6. 答案:-1 6 3.由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以 “?” 代替),其表如下: X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.?5 0.10 0.1? 0.20 (1)求 P(X=3)及 P(X=5)的值; (2)求 E(X); (3)若η=2X-E(X),求 E(η). 解:(1)由分布列的性质可知 0.20+0.10+0.?5+0.10+0.1?+0.20=1. 故 0.?5+0.1?=0.40. 由于小数点后只有两位有效数字, 故 0.1?中“?”处应填 5,0.?5 中的“?”处数字为 2. 即 P(X=3)=0.25,P(X=5)=0. 15. (2)E(X)=1×0.20+2×0.10+3×0.25+4×0.1+5×0.15+6×0.20 =3.50. (3)法一 由 E(η)=2E(X)-E(X)=E(X)得, E(η)=E(X)=3.50. 法二 由于η=2X-E(X), 所以η的分布列如下: η -1.5 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 P 0.20 0.10 0.25 0.10 0.15 0.20 所 以 E(η) = - 1.5×0.20 + 0.5×0.10 + 2.5×0.25 + 4.5×0.10 + 6.5×0.15+8.5×0.20=3.50.
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