2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

第2课时　分层抽样 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围．‎ ‎2．了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．‎ 通过分层抽样的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 分层抽样 ‎1．定义 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有__明显差别__的、__互不重叠__的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按__层在总体中所占比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)‎ 思考1：如何理解“层在总体中所占比例”？‎ 提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么＝＝＝．‎ ‎2．应用的广泛性 ‎(1)分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．‎ ‎(2)分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．‎ ‎(3)想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．‎ 思考2：简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么？‎ 提示：‎ 类别 简单随机抽样 分层抽样 各自 特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层，分层进行抽取 相互 联系 在各层抽样时采用简单随机抽样 - 6 -‎ 适用 范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成 共同点 ‎①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 ‎②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样 关键能力·攻重难 题型探究 题型 分层抽样的概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　B　)‎ A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本 C．从1 000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间 D．从生产流水线上抽取样本检查产品质量 ‎[分析]　根据分层抽样的特点选取．‎ ‎[解析]　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．‎ 规律方法：分层抽样的依据 ‎(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．‎ ‎(2)样本能更充分地反映总体的情况．‎ ‎(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一层(类)，然后每层抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　C　)‎ A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 - 6 -‎ C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取的个体数量相同 ‎(2)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是__分层抽样__．‎ ‎[解析]　(1)保证每个个体等可能地被抽取是基本抽样的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取．‎ ‎(2)因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样．‎ 题型 分层抽样中的有关计算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__182__人．‎ ‎(2)某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：‎ 支持A方案 支持B方案 支持C方案 ‎35岁以下的人数 ‎200‎ ‎400‎ ‎800‎ ‎35岁以上(含35岁)的人数 ‎100‎ ‎100‎ ‎400‎ ‎①从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值．‎ ‎②从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？‎ ‎[解析]　(1)设该校其他教师有x人，‎ 则＝，‎ 解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．‎ ‎(2)①由题意得＝‎ ，‎ 解得n＝40．‎ ‎②35岁以下的人数为×400＝4人，‎ ‎35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1人．‎ - 6 -‎ ‎[母题探究]　将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n．‎ ‎[解析]　由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则＝，解得n＝80．‎ 规律方法：分层抽样中的求解技巧 ‎(1)＝．‎ ‎(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　B　)‎ A．101 B．808‎ C．1 212 D．2 012‎ ‎(2)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为__16__．‎ ‎[解析]　(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，‎ 所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．‎ ‎(2)设应在丙专业抽取的学生人数为x，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 解得x＝16．‎ 题型 分层抽样的方案设计 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．‎ - 6 -‎ ‎[分析]　分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样在各层中抽取个体．‎ ‎[解析]　三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4．‎ 对112名业务人员进行编号，用随机数表法抽样抽取14人．‎ 再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．‎ 将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．‎ 规律方法：分层抽样的注意事项 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：‎ ‎(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．‎ ‎(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．‎ ‎(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．‎ ‎[特别提醒]　保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．某政府机关有在编人员100人，其中科级以上干部10人，科员70人，办事员20人．上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体的抽样过程．‎ ‎[解析]　因为个体差异较大，而且机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样法抽取．‎ 抽样过程如下：‎ 第一步，确定抽样比：＝．‎ 第二步，确定各层抽取的人数：‎ 从科级以上干部中抽取10×＝2(人)；‎ 从科员中抽取70×＝14(人)；‎ 从办事员中抽取20×＝4(人)．‎ 第三步，在各层中分别用简单随机抽样抽取，抽取科级以上干部2人，科员14人，办事员4人．‎ 第四步，将所抽取的个体组合在一起构成样本．‎ - 6 -‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ 抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性 ‎　典例4　某单位有职工120人，欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样，他应该怎样做？‎ ‎[错解]　将120名职工编号，用随机数表法抽样抽取20人作为样本．‎ ‎[辨析]　年龄对人的身体状况有较大影响，这种不考虑年龄抽取的样本不能准确反应单位职工的身体状况．‎ ‎[正解]　先将这120名职工根据年龄分为老年组、中年组、青年组，再按的比例在各组中抽取相应的人数，即用分层抽样的方法抽取样本．‎ - 6 -‎