人教版高中数学选修4-4练习：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介word版含解析

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第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介 A 级 基础巩固 一、选择题 1．点 M 的直角坐标为( 3，1，－2)，则它的柱坐标为( ) A. 2，π 6 ，2 B. 2，π 3 ，2 C. 2，π 6 ，－2 D. 2，－π 6 ，－2 解析：ρ＝ （ 3）2＋12＝2，tan θ＝ 1 3 ＝ 3 3 ，θ＝π 6 ，所以点 M 的柱坐标为 2，π 6 ，－2 . 答案：C 2．已知点 M 的球坐标为 1，π 3 ，π 6 ，则它的直角坐标为( ) A. 1，π 3 ，π 6 B. 3 4 ， 3 4 ，1 2 C. 3 4 ，3 4 ，1 2 D. 3 4 ，3 4 ， 3 2 解析：设点 M 的直角坐标为(x，y，z)， 因为点 M 的球坐标为 1，π 3 ，π 6 ， 所以 x＝1·sin π 3cos π 6 ＝3 4 ， y＝1·sin π 3sin π 6 ＝ 3 4 ， z＝1·cos π 3 ＝1 2. 所以 M 的直角坐标为 3 4 ， 3 4 ，1 2 . 答案：B 3．已知点P的柱坐标为 2，π 4 ，5 ，点Q的球坐标为 6，π 3 ，π 6 ， 则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A．点 P(5，1，1)，点 Q 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2 B．点 P(1，1，5)，点 Q 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2 C．点 P 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2 ，点 Q(1，1，5) D．点 P(1，1，5)，点 Q 6 2 ，3 6 4 ，3 2 4 答案：B 4．在空间直角坐标系中的点 M(x，y，z)，若它的柱坐标为 3，π 3 ，3 ，则它的球坐标为( ) A. 3，π 3 ，π 4 B. 3 2，π 3 ，π 4 C. 3，π 4 ，π 3 D. 3 2，π 4 ，π 3 解析：因为 M 点的柱坐标为 M 3，π 3 ，3 ，设点 M 的直角坐标 为(x，y，z)． 所以 x＝3cos π 3 ＝3 2 ，y＝3sin π 3 ＝3 3 2 ，z＝3， 所以 M 点的直角坐标为 3 2 ，3 3 2 ，3 . 设点 M 的球坐标为(γ，φ，θ)． γ是球面的半径，φ为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角， θ为向量 OM 与 z 轴正方向夹角． 所以 r＝ 9 4 ＋27 4 ＋9＝3 2，容易知道φ＝π 3 ，同时结合点 M 的 直角坐标为 3 2 ，3 3 2 ，3 ， 可知 cos θ＝z γ ＝ 3 3 2 ＝ 2 2 ， 所以θ＝π 4 ， 所以 M 点的球坐标为 3 2，π 3 ，π 4 . 答案：B 5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为 ( ) A. 2 2，3π 4 ，2 B. 2 2，π 4 ，2 [来源:Zxxk.Com] C. 2 2，5π 4 ，2 D. 2 2，7π 4 ，2 解析：(2，2，2)关于 z 轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网] 则ρ＝ （－2）2＋（－2）2＝2 2，tan θ＝y x ＝－2 －2 ＝1， 因为点(－2，－2)在平面 Oxy 的第三象限内， 所以θ＝5π 4 ， 所以所求柱坐标为 2 2，5π 4 ，2 . 答案：C 二、填空题 6．已知点 M 的球坐标为 4，π 4 ，3π 4 ，则它的直角坐标为_______， 它的柱坐标是________． 答案：(－2，2，2 2) 2 2，3π 4 ，2 2 7．已知在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为 2，2π 3 ， 5 ，且点 M 在数轴 Oy 上的射影为 N，则|OM|＝________，|MN|＝________． 解析：设点 M 在平面 xOy 上的射影为 P，连接 PN，则 PN 为线 段 MN 在平面 xOy 上的射影． 因为 MN⊥直线 Oy，MP⊥平面 xOy， 所以 PN⊥直线 Oy. 所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝|ρcos 2π 3 |＝1， 所以|OM|＝ ρ2＋z2＝ 22＋（ 5）2＝3. 在 Rt△MNP 中，∠MPN＝90°， 所以|MN|＝ |PM|2＋|PN|2＝ （ 5）2＋12＝ 6. 答案：3 6 8．若点P的柱坐标为 3，π 3 ，3 ，则点P的球坐标为___________． 解析：点 P 的柱坐标为 3，π 3 ，3 ， 则点 P 的直角坐标为 3 2 ，3 3 2 ，3 ， 故 r＝ 3 2 2＋ 3 3 2 2＋32＝3 2. 由 3＝3 2cos φ，cos φ＝ 2 2 ，得φ＝π 4 ， 又 tan θ＝ 3 3 2 3 2 ＝ 3，又θ的终边过点 3 2 ，3 3 2 ，0 ， 故θ为π 3 ， 故点 P 的球坐标为 3 2，π 4 ，π 3 . 答案： 3 2，π 4 ，π 3 三、解答题 9．设点 M 的直角坐标为(1，1， 2)，求点 M 的柱坐标与球坐 标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝ x2＋y2＝ 2， tan θ＝y x ＝1， θ＝π 4(点 1，1)在平面 xOy 的第一象限． r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋（ 2）2＝2. 由 rcos φ＝z＝ 2(0≤φ≤π)，得 cos φ＝ 2 r ＝ 2 2 ，φ＝π 4. 所以点 M 的柱坐标为 2，π 4 ， 2 ，球坐标为 2，π 4 ，π 4 . 10．在球坐标系中，求两点 P 3，π 6 ，π 4 、Q 3，π 6 ，3π 4 的距离． 解：将 P，Q 两点的球坐标转化为直角坐标： P：x＝3sin π 6cos π 4 ＝3 2 4 ， y＝3sin π 6sin π 4 ＝3 2 4 ， z＝3cos π 6 ＝3 3 2 ， 所以点 P 的直角坐标为 3 2 4 ，3 2 4 ，3 3 2 . Q：x＝3sin π 6cos 3π 4 ＝－3 2 4 ， y＝3sin π 6sin 3π 4 ＝3 2 4 ， z＝3cos π 6 ＝3 3 2 ， 所以点 Q 的直角坐标为 －3 2 4 ，3 2 4 ，3 3 2 .[来源:学科网] 所 以 |PQ| ＝ 3 2 4 ＋3 2 4 2＋ 3 2 4 －3 2 4 2＋ 3 3 2 －3 3 2 2 ＝ 3 2 2 ，故 P、Q 两点间的距离为3 2 2 . B 级 能力提升 1．已知点 P1 的球坐标为 4，π 2 ，5π 3 ，P2 的柱坐标为 2，π 6 ，1 ， 则|P1P2|＝( ) A. 21 B. 29 C. 30 D．4 2 解析：设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)， 则 x1＝4sin π 2cos 5π 3 ， y1＝4sin π 2sin 5π 3 ， z1＝4cos π 2 ， 得 x1＝2， y1＝－2 3， z1＝0. 故 P1(2，－2 3，0)， 设点 P2 的直角坐标为 P2(x2，y2，z2)， 故 x2＝2cos π 6 ， y2＝2sin π 6 ， z2＝1， 得 x2＝ 3， y2＝1， z2＝1. 故 P2( 3，1，1)． 则|P1P2|＝ （2－ 3）2＋（－2 3－1）2＋（0－1）2＝ 21. 答案：A 2．在柱坐标系中，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个顶点在原点， 另两个顶点坐标分别为 A1(8，0，10)，C1 6，π 2 ，10 ，则此长方体外 接球的体积为________． 答案：1 000 2 3 π 3．设地球的半径为 R，在球坐标系中，点 A 的坐标为(R，45°， 70°)，点 B 的坐标为(R，45°，160°)，求 A，B 两点间的球面距 离． 解：设纬度圈的圆心为 O′，地球球心为 O， 如图所示，OA＝OB＝R，由点 A，B 的球坐标可知，[来源:学科网 ZXXK] ∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°， 这两个点都在北纬 90°－45°＝45°圈上． 则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°， 所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.[来源:学科网 ZXXK] 因为 OB＝R，O′B＝O′A＝ 2 2 R， 所以 AB＝R.则 AO＝BO＝AB＝R. 所以∠AOB＝60°，AB ︵ ＝1 6 ×2πR＝1 3πR. 即 A，B 两点间的球面距离为1 3πR.