高中数学类比推理专题

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1．设△ 的三边长分别为 △ 的面积为 ，内切圆半径为 ， 则 ．类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 内切球的半径为 ，四面体 的体积为 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，面积为 S的平面凸四边形的第 i条边的边长记为 ia（ 4,3,2,1i ）， 此四边 形内任一点 P 到第 i 条边的 距离记为 ih （ 4,3,2,1i ），若 kaaaa  4321 4321 ，则 k Shhhh 2432 4321  ．类比以上性质，体积 为V 的三棱锥的第 i个面的面积记为 iS（ 4,3,2,1i ），此三棱锥内任一点Q到 第 i 个面的距离记为 iH （ 4,3,2,1i ），若 KSSSS  4321 4321 ，则 4321 432 HHHH  等于（ ） A． 2V K B． 2 V K C． 3V K D． 3 V K 3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时， 球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ） A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．传递性推理 4．我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 3 2 a， 类比上述结论，在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 （ ） A． 6 3 a B． 6 4 a C． 3 3 a D． 3 4 a 5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ） A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．正方体 6．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 3 2 a， 类比上述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ） A． 4 3 a B． 5 4 a C． 6 3 a D． 6 4 a 7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有 生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ） A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．反证法 8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间 中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是 （ ） A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.联想推理 9．下列推理是归纳推理的是（ ） Ａ．A，B 为定点，动点 P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B．由 13,11  naa n ，求出 321 ,, SSS 猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 Ｃ．由圆 222 ryx  的面积 2r ，猜想出椭圆 12 2 2 2  b y a x 的面积 S ab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 10．下列正确的是（ ） A．类比推理是由特殊到一般的推理 B．演绎推理是由特殊到一般的推理 C．归纳推理是由个别到一般的推理 D．合情推理可以作为证明的步骤 11．①由“若 a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若 a、b、c 为三个向量， 则(a·b)c＝a(b·c)”； ②在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想 an＝2 n －2； ③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意 三个面的面积之和大于第四个面的面积”； 上述三个推理中，正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 12．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A．半径为 r圆的面积 2S r ，则单位圆的面积 S  ； B．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； D．由平面直角坐标系中圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ，推测空间直角坐 标系中球的方程为 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r      ． 13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球 切于四个面( ) A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 14．在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC的内切圆面积为 1S ，外接圆 面积为 2S ，则 1 2 1 4 S S  ，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体 A BCD 的内切球体积为 1V ，外接球体积为 2V ，则 1 2 V V  （ ） A． 1 4 B． 1 8 C． 1 16 D． 1 27 15．已知结论:“在正 ABC 中， BC中点为D，若 ABC 内一点G到各边 的距离都相等,则 2 GD AG ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都 相等的四面体 ABCD中，若 BCD 的中心为M ，四面体内部一点O到四面 体各面的距离都相等，则  OM AO （ ▲ ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间 中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； ②由“若数列 na 为等差数列，则有 155 15211076 aaaaaa     成 立”类比“若数列 nb 为等比数列，则有 15 1521 5 1076 bbbbbb   成立”， 则得出的两个结论 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. 都正确 D. 都不正确 17．在平面上，若两个正三角形的边长比为 1:2.则它们的面积之比为 1:4.类 似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1:2，则它们的体积比为（ ） A．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8 18．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 19．由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ） A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D.以上都不 是 20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子， 甲：由“若三角形周长为 l，面积为 S，则其内切圆半径 r＝ 2S l ”类比可得“若 三棱锥表面积为 S，体积为 V，则其内切球半径 r＝ 3V S ”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为 a、b，则其外接圆半径 r＝ 2 2 2 a b ”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为 a、b、c， 则其外接球半径 r＝ 2 2 2 3 a b c  ”．这两位同学类比得出的结论( ) A．两人都对 B．甲错、乙对 C．甲对、乙错 D．两人都错 21．求“方程3 4 5x x x  的解”有如下解题思路：设 3 4( ) ( ) ( ) 5 5 x xf x   ，则 ( )f x 在 R上单调递减，且 (2) 1f  ，所以原方程有唯一解 2x  ．类比上述 解题思路，方程 xx xx 11 3 3  的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的 1 3 ，把这个结论推广到空间正四面体， 类似的结论是____________． 23 ． 在 等 差 数 列  na 中 ， 若 010 a ， 则 有 nn aaaaaa  192121  )19(  Nnn ，且 成立．类比上述性质，在等比数列 nb 中，若 19 b ， 则存在的类似等式为________________________． 24．半径为 r 的圆的面积 2( )s r r ，周长 ( ) 2C r r ，若将 r 看作(0，＋ ∞)上的变量，则 2( ) ' 2r r  ①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的 导数等于圆的周长函数．对于半径为 R的球，若将 R看作 (0, )+¥ 上的变量， 请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为 _________________________． 25．已知圆的方程是 222 ryx  ，则经过圆上一点 ),( 00 yxM 的切线方程为 2 00 ryyxx  类比上述性质，可以得到椭圆 12 2 2 2  b y a x 类似的性质为 ________． 26．在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC 的外接圆半径 r＝ 2 2 2 a b ，将此结论类比到空间有________________________ 27．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS 则 4 8 4 12 8 16 12S S S S S S S      成等差 数 列 . 类 比 以 上 结 论 有 : 设 等 比 数 列  nb 的 前 n 项 积 为 nT  则 4T  ， ， 16 12 T T 成等比数列． 28．在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边 AB 上的高为 h，则有结论 h2= ，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为 h，则有结论： ． 29．已知边长分别为 a、b、c 的三角形 ABC 面积为 S，内切圆 O 半径为 r，连 接 OA、OB、OC，则三角形 OAB、OBC、OAC 的面积分别为 cr 2 1 、 ar 2 1 、 br 2 1 ， 由 brarcrS 2 1 2 1 2 1  得 cba Sr   2 ，类比得四面体的体积为 V，四个面 的面积分别为 4321 ,,, SSSS ,则内切球的半径 R=_________________ 30．已知点 ),(),,( 21 21 xx axBaxA 是函数 ( 1)xy a a  的图象上任意不同两点， 依据图象可知，线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论 1 21 2 2 2 x xx xa a a   成 立 ． 运 用 类 比 思 想 方 法 可 知 ， 若 点 )sin,(),sin,( 2211 xxBxxA 是函数 )),0((sin  xxy 的图象上任意不同两 点，则类似地有_________________成立． 31．如图(1)有面积关系： PA B PAB S S    ＝ PA PB PA PB    ，则图(2)有体积关系： P A B C P ABC V V     ＝________. 32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角 形，按如图所标边长，由勾股定理有 222 bac  ．设想正方形换成正方体， 把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 LMNO  ，如果用 321 ,, SSS 表示三个侧面面积， 4S 表示截面面积，那么类 比得到的结论是 ． 33．已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h的关系是： 1 3 r h ，把这个结论 推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径 r 与正四面体高 h的关系 是 ． 34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空 间中： （1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ； （2）到已知平面相等的点的轨迹是 . 35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的 正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积 恒为 2 4 a ；类比到空间，有两个棱长均为 a的正方体，其中一个的某顶点在另 一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ． 36．若等差数列 na 的首项为 1,a 公差为d ，前n项的和为 nS ，则数列{ }nS n 为 等差数列，且通项为 1 ( 1) 2 nS da n n     ．类似地，请完成下列命题：若各项 均为正数的等比数列 { }nb 的首项为 1b ，公比为 q ，前 n 项的积为 nT ， 则 ． 37．对于问题：“已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为（-1，2）， 解关于 x的不等式 02  cbxax ”，给出如下一种解法： 解：由 02  cbxax 的解集为（-1，2），得 0)()( 2  cxbxa 的解 集为（-2，1）， 即关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为（-2，1） 参考上述解法，若关于 x的不等式 0     cx bx ax k 的解集为（-1， 3 1  ） （ 2 1 ，1），则关于 x的不等式 0 1 1 1      cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4， 类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为 ________． 39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于 A、B两点， 则当 AB与抛物线的对称轴垂直时， AB的长度最短；试将上述命题类比到其 他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别 叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面 均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于 斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜 边与两条直角边所成角的余弦平方和等于 1．写出直角三棱锥相应性质（至少 一条）：_____________________． 42．通过圆与球的类比，由“半径为 R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为 最大，最大值为 22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为 R的球内接六面体 中以 的体积为最大，最大值为 ” 43．在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 C Sr 2  ．在 空间中，三棱锥的体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥 的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径 R=______________________。 （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第 14 题的得分．） 44．已知结论:“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍”。若把 该结论推广到空间，则有结论： 45 ． 在 等 差 数 列  na 中 ， 若 010 a ， 则 有 等 式 nn aaaaaa  192121 ),19( *Nnn  成立，类比上述性 质 ， 在 等 比 数 列  nb 中 ， 若 19 b ， 则 有 等 式 . 46．已知命题“设 1 2,a a 是正实数，如果 1 2a a m  ，则有 1 2 1 1 4 a a m   ，用 类 比 思 想 推 广 ，” 设 1 2 3, ,a a a 是 正 实 数 ， 如 果 1 2 3a a a m   ， 则 。 47．在圆中有结论：如图所示，“AB 是圆 O的直径，直线 AC，BD 是圆 O 过 A， B的切线，P 是圆 O 上任意一点，CD 是过 P 的切线，则有 PO2 ＝PC·PD”．类比 到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，直线 AC，BD 是椭圆过 A，B 的切线，P是椭圆上 任意一点，CD 是过 P的切线，则有__▲__．” 48．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类 比到空间写出你认为合适的结论： . . 49．若点 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a b a b     外，过点 0P 作该椭圆的两 条切线的切点分别为 1 2,P P ，则切点弦 1 2PP 所在直线的方程为 0 0 2 2 1x x y y a b   ．那 么对于双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x ，类似地，可以得到一个正确的命题 为“若点 0 0 0( , )P x y 不在双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 上，过点 0P 作该双 曲线的两条切线的切点分别为 1 2,P P ，则切点弦 1 2PP 所在直线的方程 为 ”． 50．对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比 命题的真假性是________ 51．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别 叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均 称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边 长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： ． 52．试通过圆和球的类比，由“半径为 R的圆内接矩形中，以正方形的面积最 大 ， 最 大 值 为 22R ” ， 猜 测 关 于 球 的 相 应 命 题 由 。 53．下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________ （1）直线 , ,a b c，若 // , //a b b c，则 //a c .类推出：向量 , ,a b c    ，若 // , //a b b c     则 //a c   （2）同一平面内，三条不同的直线 , ,a b c，若 ,a c b c  ，则 //a b .类推出： 空间中，三条不同的直线 , ,a b c，若 ,a c b c  ，则 //a b （3）任意 , , 0a b R a b   则 a b .类比出：任意 , , 0a b C a b   则 a b （4）、以点 (0,0)为圆心， r为半径的圆的方程是 2 2 2x y r  .类推出：以点 (0,0,0)为球心， r为半径的球的方程是 2 2 2 2x y z r   54 ． 等 差 数 列 有 如 下 性 质 ， 若 数 列 }{ na 是 等 差 数 列 ， 则 当 }{,21 n n n b n aaa b 数列时    也是等差数列；类比上述性质，相应地 }{ nc 是正项等比数列，当 nd 时，数列 }{ nd 也是等比数列。 55．在 Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边 AB 上的高为 h1，则 222 1 111 CBCAh  ；类 比此性质，如图，在四面体 P—ABC 中，若 PA，PB，PC 两两垂直，底面 ABC 上 的高为 h，则 h与 PA, PB, PC 有关系式： ． D O 56．若{ }nb 是等比数列， , ,m n p是互不相等的正整数，则有正确的结论： 1 nm p p m n n p m b b b b b b                  ．类比上述性质，相应地，若{ }na 是等差数列， , ,m n p 是 互 不 相 等 的 正 整 数 ， 则 有 正 确 的 结 论： . . 57．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有 矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论 是 ． 58．在平面直角坐标系中，以点 0 0( , )x y 为圆心， r 为半径的圆的方程为 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y r    ，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点 0 0 0( , , )P x y z 为球心，半径为 r的球的方程为 ． 59．在平面几何里，已知直角三角形 ABC 中，角 C 为 90 ，AC=b,BC=a,运用 类比方法探求空间中三棱锥的有关结论： 有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：________ 若三角形 ABC 的外接圆的半径为 2 2 2 a br   ，给出空间中三棱锥的有关结 论：________ 60．已知 P(x0,y0)是抛物线 y 2 =2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方程的斜率可 通过如下方式求得: 在 y 2 =2px 两边同时求导,得: 2yy'=2p,则 y'= p y ,所以过 P 的切线的斜率:k= 0 p y . 试用上述方法求出双曲线 x 2 - =1 在 P( , )处的切线方程为 . 61．在平面几何中，△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 AE AC EB BC ＝ ， 把这个结论类比到空间：在三棱锥 A－BCD 中(如图所示)，平面 DEC 平分二面 角 A－CD－B且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是________． 62．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结 论为________． 63． 已知 O 是△ABC 内任意一点，连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A′,B ′,C′,则 ' ' AA OA + ' ' BB OB + ' ' CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. ' ' AA OA + ' ' BB OB + ' ' CC OC = ABC OBC S S   + ABC OCA S S   + ABC OAB S S   = ABC ABC S S   =1， 请运用类比思想，对于空间中的四面体 V—BCD，存在什么类似的结论？并用 体积法证明. 64．把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相 等”得出平行六面体的相关性质. 65．如图（1），在三角形 ABC中，AB AC ，若 AD BC ，则 2AB BD BC · ； 若类比该命题，如图（2），三棱锥 A BCD 中， AD 面 ABC，若 A点在三角 形 BCD所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题． 66．（本小题 12 分） 类比平面直 角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明。 参考答案 1．C 【解析】 试题分析：设内切球的球心为 O，所以可将四面体 分为四个小的三棱锥，即 ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体 的 四 个 面 的 面 积 ， 高 是 内 切 球 的 半 径 ， 所 以 故选 C。 考点：类比推理。 【方法点睛】类比推理是一种重要的推理方法，可以根据已知题目方法推理出所求题目的方 法，甚至直接从形式上推理出答案。本题可以通过三角形面积与内切圆半径的关系的推导方 法，推理出四面体的体积与其内切球的半径的关系。三角形的内切圆的圆心与三个顶点相连 可将三角形分为三个小的三角形，每个小三角形的底边是原三角形的边，高为其内切圆的半 径，运用类比推理，可将四面体的内切球的球心将四面体分为四个小的四面体，每个小四面 体的底面是原四面体的四个面，高为其内切球的半径，从而得解。 2．C 【解析】 试题分析：类比，得 K VHHHH 3432 4321  ；证明如下：连接Q与三棱锥的四个顶 点 ， 则 将 原 三 棱 锥 分 成 四 个 小 三 棱 锥 ， 其 体 积 和 为 V , 即 VVVVV  4321 , VHSHSHSHS  )( 3 1 11111111 ,又由 KSSSS  4321 4321 , 得 KS 1 , KS 22  , KS 33  , KS 44  ， 则 VHHHHK  )( 3 4321 ， 即 K VHHHH 3432 4321  ，故选 C． 考点：类比推理． 【名师点睛】类比推理的应用一般分类比定义、类比性质和类比方法． 类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解； 类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比性问题，求解时要 认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键； 类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可将这种方法类比应用到其他问题的求解中， 注意知识的迁移． 3．C 【解析】 试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相 同的推理。本题中描述的都是关于相切问题下的性质，因此属于类比推理 考点：类比推理 4．A 【解析】 试题分析：此四棱锥的高为 2 2 2 3 6 3 2 3 a a a          , 所以此棱锥的体积为 2 31 1 6 2sin 60 3 2 3 12 V a a a        , 棱锥内任意一点到四个面的距离之和为h ,可将此棱锥分成 4个同底的小棱锥根据体积相等 可得 2 31 1 2sin 60 3 2 12 V a h a       , 解得 6 3 h a ．故 A 正确． 考点：1 棱锥的体积；2类比推理． 5．C 【解析】 试题分析：一般平面几何中的点对应立体几何中的线，线对应平面，所以对应的是三棱锥. 考点：类比推理 6．C 【解析】 试题分析：设任一点O到四个平面 BCDACDABDABC ,,, 的距离分别为 4321 ,,, dddd ， 则 正 四 面 体 的 体 积  43213 1 dSdSdSdSVVVVV BCDACDABDABCBCDOACDOABDOABCOBCDA   正 四 面 体 的 体 积 等 于  43213 1 3 1 ddddShSV   ， 所 以 hdddd  4321 ，这样转化为求正四面体的高，求法，如图： 由点 A向平面BCD引垂线，垂足为 P ,连 BP ,这样在直角三角形 ABP内，根据勾股定理： aaaBPABhAP 3 6 3 3 2 222        ，故选 C． 考点：1．类比推理；2．等体积转化求高． 7．B 【解析】 试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相 同的推理． 考点：类比推理 8．B 【解析】 试题分析：圆的圆心三棱锥的球的球心，相同类型，用类比方法. 考点：类比推理． 9．B 【解析】 试题分析：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前 3 个 1 2 3S S S， ， 的值，猜想出 Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．C 选项由圆 x 2 +y 2 =r 2 的面积 S=πr 2 ， 猜想出椭圆 2 2 2 2 1x y a b  ＝ 的面积 S ab，用的是类比推理，不符合要求．D选项用的是演 绎推理，不符合要求．故选 B． 考点：归纳推理． 10．C 【解析】 试题分析：对于 A,类比推理是从个别到个别的推理,故 A 错；对于Ｂ：演绎推理是由一般到 特殊的推理，故Ｂ错；对于Ｃ：归纳推理是由个别到一般的推理，是正确的；对于Ｄ：合情 推理不可以作为证明的步骤，故Ｄ错；因此选Ｃ． 考点：推理方法． 11．C 【解析】 试题分析：①显然错误,向量没有结合律; ②根据 221  nn aa ,可构造出 )(21 mama nn  ,即 2m ,可得 2 2 21    n n a a ,该数列 是公比为2,首项是 221 a 的等比数列, 所以其通项公式为 n na 22  ,可得 22  n na , 正确; ③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三 个侧面的面积之和大于底面面积.正确. 考点：向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理. 12．A 【解析】 试题分析：根据演绎推理的定义，应该是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 只有 A 符合从特殊到一般这一特征． 考点：演绎推理的定义． 13．C 【解析】 试题分析：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心， 故选 C． 考点：类比推理. 14．D 【解析】平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为 1：4，则它们的半径比为 1： 2，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外 接球的半径比为 1：3，则它以体积比为 1：27，故选 D 15．C 【解析】解：设正四面体 ABCD 边长为 1，易求得 AM= 6 3 ，又 O 到四面体各面的距离都相 等， 所以 O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为 r，则有 r=3V /S 表 ，可求得 r即 OM= 6 12 ， 所以 AO=AM-OM= 6 4 ，所以 AO OM =3 故答案为：3 16．C 【解析】因为在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个 面的面积之和大于第四个面的面积”成立。同理根据等差中项与等比中项性质可知也成立， 选 C 17．D 【解析】 试题分析： 由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即 可解：平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，由 平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2， 则它们的底面积之比为 1：4，对应高之比为 1：2，所以体积比为 1：8 故选 D 考点：类比推理 点评：本试题主要是考查了类比推理，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的 一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去。 18．C 【解析】 试题分析：根据题意 ，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的 为平行四边形的运用，故可知答案为 C. 考点：类比推理 点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。 19．B 【解析】 试题分析：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类 事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．所以，由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的 体积最大”是类比推理。选 B。 考点：本题主要考查类比推理。 点评：简单题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用 一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 20．C 【解析】利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的 三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径 r＝ 2 2 2 2 a b c  ，因此，乙同学类比的结论是错误的． 21．-1 或 1 【解析】 试 题 分 析 ： 设   3 3 1 1f x x x x x         函 数 的 增 区 间 为  ,0  0, 且    1 0, 1 0f f   ，所以方程 xx xx 11 3 3  的解为-1 或 1 考点：方程与函数的互相转化 22．正四面体内切球的半径是高的 1 4 【解析】 试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相 同的推理。本题中正三角形内切圆类比到空间为正四面体内切球，因此类似的结论为正四面 体内切球的半径是高的 1 4 考点：类比推理 23． nn bbbbbb  172121  )17(  Nnn ，且 【解析】 试题分析：等差是加，等比就是乘，由已知，当 nn -19 时， 10n 右边-左边等于 nnn aaa   1921 .... =   02-19 10 an ，所以原式成立，当 10n 时，左边-右边等于   0192... 102120   anaaa nnn ， 所 以 原 式 成 立 当 为 等 比 数 列 时 ， 猜 想 nn bbbbbb  172121  )17(  Nnn ，且 ，当 nn 17 时， 9n 时，右边/左边 = 1...... 217 91721    n nnn bbbb 等式成立，当 nn 17 时，即 9n 时，右边/左边 = 1...... 172 91918    n nnn bbbb ，等式成立。 考点：1．类比推理；2．等差数列的性质；3．等比数列的性质． 24． 3 24( ) ' 4 3 R R  ，球的体积函数的导数等于球的表面积函数 【解析】 试题分析：根据导数的计算公式知： 3 24( ) ' 4 3 R R  ，用语言叙述为球的体积函数的导数 等于球的表面积函数. 考点：类比推理 25．经过椭圆 12 2 2 2  b y a x 上一点 ）（ 00 , yxP 的切线方程为 12 0 2 0  b yy a xx 【解析】圆的性质中，经过圆上一点 ),( 00 yxM 的切线方程就是将圆的方程中的一个 x与 y 分别用 ）（ 00 , yxM 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆 12 2 2 2  b y a x 类似的性质为：过椭圆 12 2 2 2  b y a x 上一点 ),( 00 yxP 的切线方程为 12 0 2 0  b yy a xx . 26．在三棱锥 A—BCD 中，若 AB、AC、AD 两两互相垂直，且 AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三 棱锥的外接球半径 R＝ 2 2 2 2 a b c  【解析】 试题分析：根据类比推理的特点，平面中的直角三角形应类比空间中三十个侧面两垂直的三 棱锥；平面中三角形的外接圆类比空间中三棱锥的外接球，于是答案应填：在三棱锥 A—BCD 中，若 AB、AC、AD 两两互相垂直，且 AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径 R ＝ 2 2 2 2 a b c  考点：合情推理. 27． 8 4 T T 12 8 T T 【解析】 试题分析：当数列是等差数列时 4 8 4 12 8 16 12S S S S S S S      成立，所以由类比推理可得： 当数列是等差数列时应为 8 4 T T 12 8 T T . 考点：类比推理. 28．h2= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a  【解析】 试题分析： 如图，设 PA、PB、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱， 三棱锥 P-ABC 的高为 PD=h， 连接 AD 交 BC 于 E， ∵PA、PB、PC 两两互相垂直， ∴PA⊥平面 PBC，PE⊂平面 PBC， ∴PA⊥PE，PA⊥BC， ∴AE⊥BC，PE⊥BC 2 2 2 2 2 b cP E b c    , 2 2 2 2 2 2 PA PEh PD PA PE     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ca b c b ca b c     = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a  考点：类比推理． 29． 1 2 3 4 3V S S S S   【解析】 试题分析：设球心为 O，分别连结四个顶点与球心 O，将四面体分割成底面面积分别为 4321 ,,, SSSS 高为 R 的三棱锥，其体积分别为 1 1 3 S R ， 2 1 3 S R ， 3 1 3 S R ， 4 1 3 S R ，由 V= 1 1 3 S R + 2 1 3 S R + 3 1 3 S R + 4 1 3 S R得，R= 1 2 3 4 3V S S S S   . 考点:类比推理 30． 2 sin 2 sinsin 2121 xxxx    【解析】 试题分析：由于函数 ( 1)xy a a  的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段 AB 总是位 于 A、 B 两点之间函数图象的上方，因此有结论 1 21 2 2 2 x xx xa a a   成立;而函数 )),0((sin  xxy 的图象上任意不同两点 )sin,(),sin,( 2211 xxBxxA 的线段总是位于 A、 B两点之间函数图象的下方,类比可知应有： 2 sin 2 sinsin 2121 xxxx    成立． 考点：类比推理． 31． PA PB PC PA PB PC       【解析】 试 题 分 析 ： 过 点 p 作 直 线 ' 'AH  平 面 PAC ， BH  平 面 PAC, ' ' ' ' ' 1 ' ' 3P A B C PB CV A H S  ; 1 3P ABC PACV BHS  2 2 1 1( ) ( 1) 2, (1 0) ( ) ( 1) 2, ( 1) f a a a f a a a             因 为 ' '/ /A H BH ， 所 以 由 （ 1 ） 类 比 得 ' ' 'P A B C P ABC V V   = ' ' 1 ' ' 3 1 3 PB C PAC A H S BHS = ' ' ' 'PB PC A H PAPCBH = PA PB PC PA PB PC       考点：类比法. 32． 2 4 2 3 2 2 2 1 ssss  【解析】 试题分析：由正方形截下的一个直角三角形，有勾股定理 222 bac  ，即两边的平方等于 截边的平方，所以类比得 2 4 2 3 2 2 2 1 ssss  。 考点：合情推理的运用 33． 1 4 r h 【解析】 试题分析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径 r，连接球心与正四面体的四 个顶点．把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥，所以 4× 1 3 ×S×r= 1 3 ×S×h， 所以 r＝ 1 4 h（其中 S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高） 故答案为：r＝ 1 4 h． 考点：类比推理． 34．（1）圆柱面（2）两个平行平面 【解析】 试题分析：（1）因为在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线，当这个 平面绕着定直线旋转半周，就变成了空间的情况，此时原来的两条平行直线绕定直线旋转半 周后变成了圆柱面，故在空间中，到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面；（2）由在 平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线，当把定直线变成平面时，轨迹 的两条平行直线也相应变成两个平行平面，故到已知平面相等的轨迹是两个平行平面. 考点：类比推理. 35． 3 8 a 【解析】 试题分析：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类 比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．同一个平面内有两个边长都是 a的正 方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 2 4 a ，类比 到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方体 重叠部分的体积恒为 3 8 a ． 考点：合情推理中的类比推理． 36．数列{ }n nT 为等比数列，且通项为 1 1( )nn nT b q  ． 【解析】 试题分析：根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几 何均值，即数列 { }n nT 为等比数列，且通项为 1 1( )nn nT b q  . 考点：类比 37．（-3，-1）（1，2）． 【解析】 试题分析：由 ax 2 +bx+c＞0 的解集为（-1，2），得 a（-x） 2 +b（-x）+c＞0 的解集为（-2，1）， 发现-x∈（-1，2），则 x∈（-2，1） 若关于 x 的不等式 0     cx bx ax k 的解集为(−1， 3 1  )∪( 2 1 ，1)， 则关于 x 的不等式 0 1 1 1      cx bx ax kx 可看成前者不等式中的 x用 1 x 代入可得， 则 1 x ∈(−1， 3 1  )∪( 2 1 ，1)，即 x∈（-3，-1）∪（1，2）， 故答案为（-3，-1）∪（1，2） ． 考点：1．归纳推理；2．一元二次不等式的应用． 38．1∶8 【解析】考查类比的方法， 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 13 1 4 2 8 3 S hV S h V S hS h  ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以体积比为 1∶8. 39．过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于 A、B两点，则当 AB与椭圆的长轴垂直时，AB的 长度最短（ 2 22|| a bAB  ） 【解析】圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点 作一直线与椭圆交于 A、 B 两点，则当 AB与椭圆的长轴垂直时， AB的长度最短 （ 2 22|| a bAB  ） 40．斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 【解析】（1）斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；（2）三个直角面面积的平方和等于 斜面面积的平方；（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于 1，等等． 41． 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c h    【解析】 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c h    ． PA、PB、PC 两两互相垂直,PA⊥平面 PBC. 由已知 有 :PD= 22 cb bc  , . 22 PDa PDaPOh    222222 222 2 accbba cbah   即 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c h    42．正方体， 38 3 9 R 【解析】 43． 【解析】 44．正四面体的中心到顶点的距离是到对面中心距离的 3 倍 【解析】略 45． nn bbbbbb  172121  【解析】 考点：类比推理． 分析：根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类 比规律得出结论即可． 解：在等差数列{an}中，若 a10=0，则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n成立（n＜19，n∈N * ）．， 故相应的在等比数列{bn}中，若 b9=1，则有等式 b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17，n∈N * ） 故答案为：b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17，n∈N * ）． 46． 【解析】略 47．PF1•PF2=PC•PD 【解析】略 48．正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 【解析】 考点：类比推理． 分析：根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质，一般遵循“点到线”，“线到 面”，“面到体”等原则，由在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个 定值”，是一个与线有关的性质，由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质，由此即可 得到答案． 解答：解：∵平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”， 根据平面中边的性质可类比为空间中面的性质 则我们可以将“正三角形”类比为“正四面体”（或“正六面体”，即“正方体”） “到三边距离之和”类比为“到四（六）个面的距离之和” 故答案为：正四面体（正方体）内一点到四（六）个面的距离之和是一个定值 点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的 相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 （猜想）． 49． 12 0 2 0  b yy a xx 【解析】 解： 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a b a b     外，过点 0P 作该椭圆的两条切线的切点分别 为 1 2,P P ， 则 切 点 弦 1 2PP 所 在 直 线 的 方 程 为 0 0 2 2 1x x y y a b   ． 那 么 对 于 双 曲 线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 若点 0 0 0( , )P x y 不在双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 上，过点 0P 作该双曲线的两条切线的切点分别为 1 2,P P ，则切点弦 1 2PP 所在直线的方程为 12 0 2 0  b yy a xx 50．夹在两个平行平面间的平行线段相等；真命题 【解析】平面几何中的平行线类比空间的平行平面就得到相应的命题，根据面面平行的性质 定理可证得命题是真命题. 51．斜面的中面面积等于斜面面积的 1/4 【解析】解：根据题意，可得实施类比的思路：点变成线，线变成面，从二维平面转变到三 维空间； （1）直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”，可得 以下性质：直角三棱锥中，三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方； （2）直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”，可得 以下性质：直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一． 故答案为：直角三棱锥中，三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方 直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 52．半径为 R 的球内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为 3 9 38 R ； 【解析】解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时， 一般为：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质； 由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质； 由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质； 故由：“周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大”， 类比到空间可得的结论是： “半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大，最大值为 3 9 38 R ” 故答案为：“半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大，最大值为 3 9 38 R ．” 53．（4） 【解析】(1)中，当 0, ,a a c     不一定平行.故不正确；（2）在空间中， ,a b可平 行，相交和异面.故不正确；（3）在复数范围内，只有当两个数全为实数时， 才能比较大小.故不正确；（4） 正确 54． 1 2 n nc c c 【 解 析 】 解 ： 因 为 等 差 数 列 有 如 下 性 质 ， 若 数 列 }{ na 是 等 差 数 列 ， 则 当 }{,21 n n n b n aaa b 数列时    也是等差数列；类比上述性质，相应地 }{ nc 是正项等 比数列，当 nd 1 2 n nc c c 时，数列 }{ nd 也是等比数列。 55． 2222 1111 PCPBPAh  【解析】解：∵在平面上的性质，若 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高为 h，则有 222 1 111 CBCAh  我们类比到空间中，可以类比推断出： 在四面体 P-ABC 中，若 PA、PB、PC 两两垂直，底面 ABC 上的高为 h，有： 2222 1111 PCPBPAh  故答案为： 2222 1111 PCPBPAh  56． ( ) ( ) ( ) 0p n m p n mm a a n a a p a a      ． 【解析】等差数列中的 nb 和 ma 可以类比等比数列中的 b n 和 a m ， 等差数列中的 n mb a 可以类比等比数列中的 n m b a ,等差数列中的“差”可以类比等比数列 中的“商”．故 ( ) ( ) ( ) 0p n m p n mm a a n a a p a a      . 57．表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球 的体积最大 【解析】 试题分析：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球 中，球的体积最大 考点：本题主要考查类比推理的意义。 点评：类比推理，是一个观察几个结论是不是通过类比得到，本题解题的关键在于对于所给 的结论的理解． 58． 2 2 2 2 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r      【解析】 试题分析：设 0 0 0( , , )P x y z 是球面上任一点， 由空间两点的距离公式可得 rzzyyxx  222 )()()(  ， 故答案为： 2 2 2 2 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r      考点：类比推理． 点评：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的 推理．简称类推、类比．它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的 其他属性相同的结论的推理．立体几何中的类比推理主要体现在平面几何与立体几何的类 比． 59．在三棱锥 O-ABC 中，若三个侧面两两垂直，则 2 2 2 2 OAB OAC OBC ABCS S S S      ；在三棱 锥 O-ABC 中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为 a,b,c,则其外接球的半径为 2 2 2 2 a b cr    【解析】 试题分析：平面几何图形边长满足长度关系式，类比立体几何图形面积满足一定关系式，三 角形中同一点出发的两线垂直，类比立体几何中同一条棱出发的三面互相垂直，直角三角形 三边的平方关系类比立体几何中的三面平方关系得关系式 2 2 2 2 OAB OAC OBC ABCS S S S      直角三角形外接圆半径与两直角边有关系式，类比立体几何棱锥外接球半径与互相垂直的三 条棱有关系式 2 2 2 2 a b cr    考点：知识的类比迁移能力 点评：比较已知中给定的条件与所要类比的问题，找到他们之间的类似点，采用已知中的关 系式形式类比写出所求的关系式 60．2x-y- =0 【解析】用类比的方法对 =x 2 -1 两边同时求导得,yy'=2x,∴y'= , ∴y'= = =2, ∴切线方程为 y- =2(x- ),∴2x-y- =0. 61． ACD BCD SAE EB S   ＝ 【解析】△ABC 中作 ED⊥AC 于 D，EF⊥BC 于 F，则 ED＝EF. ∴ ACE BCE SAC AE BC S EB   ＝ ＝ ， 类比：在三棱锥 A－BCD 中，过直线 AB 作一平面垂直于 CD，并交 CD 于点 H，则∠AHB 是二 面角 A－CD－B的平面角，连结 EH，则 EH 是∠AHB 的角平分线． ∴ ACD BCD SAE AH EB BH S   ＝ ＝ . 62．三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 【解析】平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论． 63．在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中： VE OE = h h1 = hS hS BCD BCD     3 1 3 1 1 = BCDV BCDO V V   . 【解析】在四面体 V—BCD 中，任取一点 O，连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点. 则 VE OE + DF OF + BG OG + CH OH =1. 在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中： VE OE = h h1 = hS hS BCD BCD     3 1 3 1 1 = BCDV BCDO V V   . 同理有： DF OF = VBCD VBCO V V   ； BG OG = VCDB VCDO V V   ； CH OH = VBDC VBDO V V   ， ∴ VE OE + DF OF + BG OG + CH OH = BCDV VBDOVCDOVBCOBCDO V VVVV    = BCDV BCDV V V   =1. 64． S ABCD = S 1111 DCBA , S 11AADD = S 11BBCC , S 11AABB = S 11CCDD , 【解析】如图所示， 由平行四边形的性质可知 AB=DC，AD=BC， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中， 我们猜想： S ABCD = S 1111 DCBA , S 11AADD = S 11BBCC , S 11AABB = S 11CCDD , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的. 65．命题是：三棱锥 A BCD 中， AD 面 ABC，若 A点在三角形 BCD所在平面内的射影 为M ，则有 2 ABC BCM BCDS S S△ △ △· 是一个真命题． 【解析】命题是：三棱锥 A BCD 中， AD 面 ABC，若 A点在三角形 BCD所在平面内的 射影为M ，则有 2 ABC BCM BCDS S S△ △ △· 是一个真命题． 证明如下： 在图（2）中，连结DM ，并延长交 BC于 E，连结 AE，则有 DE BC ． 因为 AD 面 ABC，，所以 AD AE ． 又 AM DE ，所以 2AE EM ED · ． 于是 2 2 1 1 1 2 2 2ABC BCM BCDS BC AE BC EM BC ED S S                   △ △ △· · · · · ． 【答案】（课本 26p 例 4） 猜想四面体有三个“直角面” 1 2 3, ,s s s 和一个斜面 s，类比勾股定理有 2 2 2 2 1 2 3s s s s   6 分 证明略。 【解析】略