高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_3幂函数互动课堂学案新人教A版必修11
2.3 幂函数
互动课堂
疏导引导
一、幂函数的定义
一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中,x 是自变量,α是常数.
疑难疏引
1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然 y=x、y=x 2 是幂函数,但并不是所有的
一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1 都不是幂函数,它们并不满足幂函数的
定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数
的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
掌握幂函数的关键一定要明确“形如 y=xα的函数”这句话的重要作用.
2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:
(1)当指数 n 是正整数时,定义域是 R.
(2)当指数 n 是正分数时,设 n=
q
p (p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n=x q
p = q px .
如果 q 是奇数,定义域是 R;
如果 q 是偶数,定义域是［0,+∞).
(3)当指数 n 是负整数时,设 n=-k, x n= kx
1 ,显然 x 不能为零,所以定义域是{x|x∈R 且 x≠0}.
(4)当指数 n 是负分数时,设 n=-
q
p (p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n=
q
p
x
1 =
q px
1 .
如果 q 是奇数,定义域是{x|x∈R,且 x≠0};
如果 q 是偶数,定义域是(0,+∞).
3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的
定义域不同,即指数函数 y=a x 中,指数是自变量,而幂函数 y=xα中,底数是自变量.当然,由此
可见,二者的对应关系和值域也不同.
二、幂函数的图象和性质
如图所示,幂函数有如下性质:
1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);
2.如果 a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;
3.如果 a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向于原点时,
图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴.
疑难疏引
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数 y=x 2、y=x 3 及 y=x 2
1 的图象研究归纳
y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数 y=x -2、y=x -3 及 y=x-
2
1 的图象研究归纳
y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去
进行讨论.
(2)对于幂函数 y=x n(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象
的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,0
1三种情况下曲线的基本形状,
还要注意 n=0,±1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来
记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即 n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0 时图象是双曲线
型;n>1 时图象是竖直抛物线型;00)单调递减
且 3.14<π,∴3.14 3
4 >π 3
4 .
(2)由于 y=x-
5
3 这个幂函数是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
因此,(- 2 ) -
5
3 =-( 2 ) -
5
3 ,(- 3 ) -
5
3 =-( 3 ) -
5
3 .
而 y=x-
5
3 (x>0)单调递减,且 2 < 3 ,
∴( 2 ) -
5
3 >( 3 ) -
5
3 -( 2 ) -
5
3 <-( 3 ) -
5
3 ,即(- 2 ) -
5
3 <(- 3 ) -
5
3 .
【溯源】幂函数中的比较大小问题特别常见,主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调
性,在解答这部分内容的考题时,数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方
式:一种是直接肯定式的思考方式,另一种是间接否定式的思考方式.
三、幂函数的实际应用
●案例 2 某工厂从 t 年到 t+2 年新产品的成本共下降了 51%,若两年下降的百分率相同,则每
年下降的百分率为( )
A.30%
B.25.5%
C.24.5%
D.51%
【探究】 本题考查幂函数的实际应用,涉及到平均增长率公式的应用和参数的思想,题设中
没有年份和成本的具体数,学生要敢于设未知参数.
设 t 年的成本为 a,每年下降的百分率为 x,则 t+2 年的成本为 a(1-x) 2,
∴
a
xaa 2)1( =51%,解得 x=30%.
因此,选 A.
【溯源】依据幂函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容,其解题的关键是如
何建立恰当的数学模型.
活学巧用
1. 已知函数:①y=x-1;②y=x2+2x;③y=2x;④ y=x-
2
1 ;⑤y=x0;⑥y=2x 中,是幂函数的有.
【思路解析】 由于幂函数中,变量的系数是 1,而且没有其他的与之相加减的项,所以容易判
断答案.另外特别注意幂函数和指数函数的区别:指数函数 y=a x 中,指数是自变量,而幂函数
y=xα中,底数是自变量.
【答案】 ④⑤
2. 当 m 为何值时,幂函数 y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3 的图象同时通过点(0,0)和(1,1)？
【思路解析】 因为是幂函数,则 m 2-5m+6=1,又过(0,0)和(1,1)点,则 m 2-2m-3>0.
【答案】 ∵y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3 是幂函数,
∴m 2-5m+6=1,得 m=
2
55 .
又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点,
∴m 2-2m-3>0,则有(m-1) 2>4,得 m>3 或 m<-1.
∴m=
2
55 (舍去),即 m=
2
55 .
3. 分别写出幂函数 y=x 2
1 和 y=x-
2
1 的定义域.
【思路解析】 本题主要考查了分数指数幂的相关知识,可以把它们化为根式形式,然后再进
行 观察 得 到相 应的 结 果. 因 为 y=x 2
1 =x,所 以要 想 此函 数有 意 义 , 则 x ≥ 0,又 因为
y=x-
2
1 =
x
1 ,所以可得到 x>0.另外要注意到要表达成集合的形式.
【答案】 {x| x≥0},{x| x>0}.
4．下列 4 个幂函数,在(-∞,0)上不是增函数的是( )
A.y=x 3
1
B.y=x3
C.y=x-
3
2
D.y=x-
4
1
【思路解析】 根据幂函数的性质知,函数 y=x 3
1 在 R 上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;
函数 y=x3 在 R 上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;函数 y=x-
3
2 在(-∞,0)上是单调递增的,在 R +上是单调递减的;
函数 y=x-
4
1 的定义域是 R +,在(-∞,0)上没有定义,
∴函数 y=x-
4
1 在(-∞,0)上不是增函数.综上所述,选 D.
【答案】 D
5． 函数 y=(3x-2) 2
1 +(2-3x)-
3
1 的定义域为.
【思路解析】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条
件,(3x-2) 2
1 的底数非负,(2-3x)-
3
1 的底数非零.
依题意得
03x2
023x
3
2x
3
2x
x>
3
2 .
【答案】 (
3
2 ,+∞)
6. 已知函数 y=xa,y=xb,y=xc 的图象如图所示,则 a、b、c 的大小关系为( )
A.cb.
综上,a>b>c.因此,选 A.
【答案】 A
7. 已知幂函数 y=x n1,y=x n2,y=x n3,y=x n4 在第一象限内的图象分别是 C 1、C 2、C 3、C 4(如图),
则 n 1、n 2、n 3、n 4、0、1 的大小关系是.
【思路解析】 结合幂函数在第一象限的图象来判断.
【答案】 n 1
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