陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 Word版含解析

陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 Word版含解析

- 1 - 西安中学 2019-2020 第二学期期末考试 高二数学（理）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设集合 A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则 A∩B= A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 A，再求出交集． 【详解】由题意得， ，则 ．故选 A． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 2. 已知 a 为实数，若复数 为纯虚数，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据纯虚数的定义求出 的值，结合复数的运算法则进行化简即可． 【详解】解： 为纯虚数， ，解得 ， 则 ， 则 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，结合纯虚数的定义，建立方程求出 的值，结合复数 的运算法则是解决本题的关键．属于基础题． { } { }2 3 , 1A x x x B x x= = <或 { }1A B x x∩ = < ( ) ( )2 1 1z a a i= − + + 2021 1 a i i + − i -i 1 -1 a 2( 1) ( 1)z a a i= − + + ∴ 2 1 0 1 0 a a  − =  + ≠ 1a = 2z i= 2021 4 505 1 21 1 (1 ) 2 1 1 1 (1 )(1 ) 2 a i i i i i ii i i i i × ++ + + += = = = =− − − − + A a - 2 - 3. 已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 比较 、 、 的大小，进而可得出 、 、 的大小关系. 【详解】 ， ， 又 ，即 ， 又 、 、 均 正数，所以， . 故选：D. 【点睛】本题考查数的大小比较，考查推理能力，属于基础题. 4. 如图， 是可导函数，直线 是曲线 在 处的切线，令 ， 是 的导函数，则 （ ）． A. －1 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 将点 的坐标代入切线方程得出 的值，得出 以及 ，再对函数 求导得 ，即可得出 的值． 【详解】将点 代入直线 的方程得 ，得 ，所以， ， 为 2 6a = + 4b = 3 5c = + a b c a b c> > c a b> > c b a> > b c a> > 2a 2b 2c a b c ( )22 2 6 8 2 12a = + = + ( )22 3 5 8 2 15c = + = + 8 2 12 8 2 15 8 2 16 16+ < + < + = 2 2 2a c b< < a b c b c a> > ( )y f x= : 2l y kx= + ( )y f x= 3x = ( ) ( )g x xf x= '( )g x ( )g x '(3)g = ( )3,1 k ( )3f k′ = ( )3 1f = ( )y g x= ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= + ( )3g′ ( )3,1 2y kx= + 3 2 1k + = 1 3k = − ( ) 13 3f k′ = = − - 3 - 由于点 在函数 的图象上，则 ， 对函数 求导得 ， ，故选 B． 【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点． 5. 天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支 纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲” 起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…… 依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此 类推．已知一个“甲子”为60 年，即天干地支纪年法的一个周期，1949 年为“己丑”年，那 么到新中国成立 80 周年时，即 2029 年为（ ） A. 己申年 B. 己酉年 C. 庚酉年 D. 庚申年 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得数列天干是以 10 为等差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，以 1949 年 的天干和地支分别为首项，即可求出答案． 【详解】解：天干是以 10 为公差构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 从 1949 年到 2029 年经过 80 年，且 1949 年为“己丑”年，以1949 年的天干和地支分别为首 项， 则 ，则 2029 的天干为己， 余 8，则 2029 的地支为酉， 故选： ． 【点睛】本题考查了学生合情推理的能力，涉及等差数列在实际生活中的应用，属于中档 题． 6. 若函数 在区间 为增函数，则实数 k 的取值范围是（ ） ( )3,1 ( )y f x= ( )3 1f = ( ) ( )g x xf x= ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= + ( ) ( ) ( ) 13 3 3 3 1 3 03g f f  ′ ′∴ = + = + × − =   80 10 8÷ = 80 12 6÷ = B ( ) lnf x kx x= − (1, )+∞ - 4 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数 的导数，由于函数 在区间 为增函数，可得 在 区间 上恒成立，即可求得实数 k 的取值范围. 【详解】 ∵函数 在区间 为增函数 ∴ 在区间 上恒成立 又 在区间 上单调递减 要保证 在区间 上恒成立，只需 的取值范围是 故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求参数问题，解题关键是掌握函数导数的求法，考 查了分析能力和计算能力，属于中档题. 7. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 1[ , )e +∞ 1( , ]e −∞ [1, )+∞ ( ,1]−∞ ( ) lnf x kx x= − ( )f x (1, )+∞ ( ) 0f x′ ≥ (1, )+∞  ( ) lnf x kx x= − ∴ 1( )f x k x ′ = − ( ) lnf x kx x= − (1, )+∞ ( ) 0f x′ ≥ (1, )+∞  ( ) 0f x′ ≥ 1k x ∴ ≥  1y x = (1, )+∞ ∴ 10 1x < < ( ) 0f x′ ≥ (1, )+∞ 1k ³ ∴ k [1, )+∞ 1, 1 0a b c> > − < < c cab ba< c ca b> a blog c log c< a bblog c alog c> - 5 - 对于 A： 则 ，故 A 错； 对于 B： 则 ，故 B 错； 对于 C： 则 ，故 C 错； 对于 D： = ，又 ，所以 ，所以 ，即 ， 成立，D 对； 故选 D 8. 已知函数 ，则 的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据特殊值的函数值排除 ，从而选 . 【详解】因为 ，所以 A 错； 18, 4, 2a b c= = = − 1 1 2 28 4 4, 4 8 2c c c cab ba ab ba − −= ⋅ = = ⋅ = ∴ > 18, 4, 2a b c= = = − 1 1 2 22 18 , 44 2 c c c ca b a b − −= = = = ∴ < 18, 4, 2a b c= = = − 1 1 3 2 1 1 2 22 2 8 42 2 1 1log log , log log3 2a b a blog c log c log c log c − −− − = = = − = = = − ∴ > a bblog c alog c− ( )lg lg lglg lg 1,lg lg lg lg c b b a ab c a c a ba b a b −− = > >⋅  lg lg 0 lg lg lg lg 0a b a a b b b b a a∴ > > ∴ > ∴ − < 1 0c− < < lg 0c < ( )lg lg lg 0lg lg c b b a a a b − >⋅ a bblog c alog c− 0> a bblog c alog c>故 1( ) ln 1f x x x = − − ( )y f x= , ,A C D B 1 1 01 1ln 1 f ee e e   = = >   − − - 6 - 因为 ，所以 C 错； 因为 ，所以 D 错， 故选：B． 【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 9. 若实数 ， 满足 ，则 的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 作出可行域如图所示： 作直线 y=﹣2x﹣1+z，再将其平移至 A（1，2）时，直线的纵截距最小，z 最大为 3 故选 B 10. 已知 ，且 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 1 1( ) 0ln 1 2f e e e e = = >− − − ( )2 2 2 2 1 1 ( )ln 1 3f e f ee e e = = <− − − x y 1 1 0 2 2 0 x x y x y ≥  − + ≤  − − ≤ 2 1z x y= + − 0, 0x y> > 1 1 1 1 2x y + =+ x y+ 3 5 7 9 - 7 - 运用乘 1 法，可得由 x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（ ）﹣1，化简整理再由基 本不等式即可得到最小值． 详解】由 x+y＝（x+1）+y﹣1 ＝[（x+1）+y]•1﹣1 ＝[（x+1）+y]•2（ ）﹣1 ＝2（2 1 ≥3+4 7． 当且仅当 x ，y＝4 取得最小值 7． 故选 C． 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘 1 法和满足的条件：一正二定三等， 考查运算能力，属于中档题． 11. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性，结合 函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解： ， 则 是偶函数， ， 当 时， ，即函数在 ， 上为增函数， 则不等式 得 ，即 ， 则 ，得 ，得 ， 【 1 1 1x y ++ 1 1 1x y ++ ( )1 1 xy x y ++ + −+ ） ( )1 1 xy x y +⋅ =+ 3= 21( ) sin cos 2f x x x x x= + + (2 3) (1) 0f x f+ − < ( 2, )− +∞ ( 1, )− +∞ ( 2, 1)− − ( , 1)−∞ − [0 )+∞ 2 21 1( ) sin( ) cos( ) sin cos ( )2 2f x x x x x x x x x f x− = − − + − + = + + = ( )f x ( ) sin cos sin cos (1 cos )f x x x x x x x x x x x′ = + − + = + = + 0x ( ) 0f x′  [0 )+∞ (2 3) (1) 0f x f+ − < ( ) ( )2 3 1f x f+ < ( ) ( )| 2 3| 1f x f+ < | 2 3| 1x + < 1 2 3 1x− < + < 2 1x− < < − - 8 - 即不等式的解集为 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶 性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题． 12. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实 数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先 求 出 函 数 关 于 轴 对 称 的 函 数 ， 再 根 据 函 数 与 的 图 象 上 存 在 关 于 轴 对 称 的 点 ， 转 化 为 ， 上 有 解 ， 即 ， 上 有 解 ， 再 令 ，求其值域即可. 【详解】函数 关于 轴对称的函数为 ， 因为函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点， 所以 ，在 上有解， 所以 ，在 上有解， 令 ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 取得极大值 ， ( 2, 1)− − C 2 1( ) ( )= − ≤ ≤f x a x x ee ( ) 2lng x x= x a 2 11, 2e  +   21, 2e −  2 2 1 2,ee  +   )22 2,e − +∞ ( ) 2lng x x= x 2l ny x= − 2 1( ) ( )= − ≤ ≤f x a x x ee ( ) 2lng x x= x 2 2ln− = −a x x 1( , )ee 22lna x x− = − 1( , )ee ( ) 22ln= −h x x x ( ) 2lng x x= x 2l ny x= − 2 1( ) ( )= − ≤ ≤f x a x x ee ( ) 2lng x x= x 2 2ln− = −a x x 1( , )ee 22lna x x− = − 1( , )ee ( ) 22ln= −h x x x ( ) ( )( )2 1 12 2 − +′ = − = x xh x xx x 1 1xe < < ( ) 0h x′ > 1 x e< < ( ) 0h x′ < 1x = ( )h x ( )1 1h = − - 9 - 又 ， 所以 ， 即 . 所以实数 的取值范围是 . 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的对称性和导数与函数的单调性、极值、最值，还考查了转化化 归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13. 欧拉公式 把自然对数的底数 e，虚数单位 i，三角函数 和 联 系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 满足 ， 则 =________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用欧拉公式可得： ．代入 ，化简可得 ，再利用模的 运算性质即可得出． 【详解】解： ． ， ， ， 则 ． 故答案为： ． ( ) 2 2 1 12 , 2h h e ee e   = − − = −   22 1e a− ≤ − ≤ − ≤ ≤ −21 2a e a 21, 2e −  cos sinie iθ θ θ= + cosθ sinθ z ( )ie i z iπ + ⋅ = z 2 2 cos sin 1ie iπ π π= + = − ( )ie i z iπ + = z cos sin 1ie iπ π π= + = − ( )ie i z iπ + =  ( 1 )i z i∴ − + = 1 iz i −∴ = − 2 2 | | 1 2| | |1 | 21 ( 1) iz i −= = =− + − 2 2 - 10 - 【点睛】本题考查了欧拉公式、复数的运算性质、模的计算公式及其性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题． 14. 设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，则 ______. 【答案】： 【解析】 试题分析：因为，曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，所以， = = ，解得， ． 考点：定积分计算，定积分的几何意义． 点评：简单题，利用定积分的几何意义，将面积计算问题，转化成定积分计算． 15. 直线 与曲线 相切，则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，设直线 与曲线 相切于 ，得到函数在 处的导数，再由题意列关于 与 的方程组求解． 【详解】解：由 ，得 ， 设直线 与曲线 相切于 ， 则 ． ，解得 ． 的值为 2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于基础 题． 0a > y x= , 0x a y= = 2a a = 4 9 y x= , 0x a y= = 2a 2a 3 2 0 0 2 |3 a axdx x=∫ 3 22 3 a a = 4 9 1y x= − + x ay e −= − a 2 1y x= − + x ay e −= − 0 0( , )x ax e −− 0x x= 0x a x ay e −= − ' x ay e −= − 1y x= − + x ay e −= − 0 0( , )x ax e −− 0 0 | x a x xy e − =′ = − ∴ 0 0 0 1 1 x a x a e e x − − − = −− = − + 0 2 2 x a =  = a∴ - 11 - 16. 已知函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数 为 ，当 时，有不等式 成立，若对 ，不等式 恒成立，则正整数 的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 令 先判断函数 g(x)的奇偶性和单调性，得到 在 R 上恒成立，再利用导 数分析解答即得解. 【详解】因为当 时，有不等式 成立， 所以 ， 令 所以函数 g(x)在（0，+∞）上单调递增， 由题得 所以函数 g(x)是奇函数，所以函数在 R 上单调递增. 因为对 ，不等式 恒成立， 所以 ， 因为 a>0,所以当 x≤0 时，显然成立. 当 x＞0 时， ， 所以 ，所以函数 h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以 ， 所以 a＜e, 所以正整数 的最大值为 2. 故答案为 2 【点睛】本题主要考查函数 奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用 导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属 的 ( )y f x= R ( )f x′ 0x > ( ) ( )2 2x f x xf x′ > − x R∀ ∈ ( ) ( )2 2 2 0x xe f e a x f ax− > a 2 2( ) ( ),g x x f x= ex ax> 0x > ( ) ( )2 2x f x xf x′ > − ( ) ( )2 2+2 0, [ ( )] 0x f x xf x x f x′ ′> ∴ > 2( ) ( ),g x x f x= 2 2( ) ( ) ( ) g(x),g x x f x x f x− = − = − = − x R∀ ∈ ( ) ( )2 2 2 0x xe f e a x f ax− > ( ) ( )2 2 2 , ( ) ( ) ex x x xe f e a x f ax g e g ax ax> ∴ > ∴ >， ( ) ( 0) xea h x xx < = > 2 ( 1)( ) xx eh x x −′ = min( ) (1)h x h e= = a - 12 - 于中档题. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （Ⅰ）已知不等式 的解集为 ，求 的最小值． （Ⅱ）若正数 满足 ，求证： ． 【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用根与系数的关系及基本不等式求解 的最小值； （Ⅱ）直接利用基本不等式结合 证明； 【详解】解：（Ⅰ） 时， ， 因为不等式 的解集为 ， 所以方程 的两根为 ， 由韦达定理可得 ， ， 因为 ，所以 ， 则 ， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 4； （Ⅱ）基本不等式，由 为正数且 由基本不等式，有 三式相加可得： 2 2 0( 2)x ax a a− + − > > 1 2( , ) ( , )x x−∞ +∞ 1 2 1 2 1x x x x + + a b c、 、 2a b c+ + = 2 2 2 2b c a a b c + + ≥ 1 2 1 2 1x x x x + + 2a b c+ + = 2a > 2 4( 2) 0=a a∆ − − > 2 2 0( 2)x ax a a− + − > > 1 2( , ) ( , )x x−∞ +∞ 2 2 0x ax a =− + − 1 2x x， 1 2x x a+ = 1 2 2x x a= − 2a > 2 0a − > 1 2 1 2 1 1 1 12 2 2 ( 2) 2 42 2 2x x a a ax x a a a + + = + = − + + ≥ − × + =− − − 3a = 1 2 1 2 1x x x x + + a b c、 、 2a b c+ + = 2 2 2 2 , 2 , 2b c aa b b c c aa b c + + +   2 2 2 2 2 2b c aa b c b c aa b c + + + + + ≥ + + - 13 - ，即 （当且仅当 时等号成立） 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与方程根的关系，训练了利用基本不等式求最值， 属于中档题． 18. 已知椭圆 ，直线 （ 为参数）． （1）写出椭圆 的参数方程及直线 的普通方程； （2）设 ，若椭圆 上的点 满足到点 的距离与其到直线 的距离相等，求点 的坐 标． 【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程 的转化等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第 一问，利用椭圆的参数方程，直接得到将直线的参数方程消参，得到直线的普通方程；第二 问，由于 P 点在椭圆上，结合参数方程设出 P 点坐标，利用两点间的距离公式，及点到直线 的距离公式，再相等，解出 及 ，从而得到 P 点坐标. 试题解析：（1）C： （θ 为参数），l：x－ y＋9＝0． （2）设 , 则 ， P 到直线 l 的距离 ． 由|AP|＝d 得 3sinθ－4cosθ＝5，又 sin2θ＋cos2θ＝1，得 ， ． 故 ． 考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化. 19. 已知函数 ． 2 2 2b c a a b ca b c ∴ + + ≥ + + 2 2 2 2b c a a b c + + ≥ a b c= = C: 2 2 14 3 x y+ = :l 3 3 2 3 x t y t  = − + = + t C l ( )1,0Α C Ρ Α l Ρ 2cos { 3sin x y θ θ = = : 3 9 0l x y− + = 8 3 3( , )5 5P − sinθ cosθ 2cos { 3sin x y θ θ = = 3 (2cos , 3sin )P θ θ 2 2(2cos 1) ( 3sin ) 2 cosAP θ θ θ= − + = − 2cos 3sin 9 2cos 3sin 9 2 2d θ θ θ θ− + − += = 3sin 5 θ = 4cos 5 θ = − 8 3 3( , )5 5P − ( ) e cosxf x x x= − - 14 - （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）最大值 1；最小值 . 【解析】 试 题 分 析 ： （ Ⅰ ） 根 据 导 数 的 几 何 意 义 ， 先 求 斜 率 ， 再 代 入 切 线 方 程 公 式 中即可；（Ⅱ）设 ，求 ，根据 确定函 数 的单调性，根据单调性求函数的最大值为 ，从而可以知道 恒成立，所以函数 是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以 . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）设 ，则 . 当 时， ， 所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ，即 所以函数 在区间 上单调递减. 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的 是需要两次求导数，因为通过 不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数， 设 ，再求 ，一般这时就可求得函数 的零点，或是 ( ) 恒成立，这样就能知道函数 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断 的 单调性，最后求得结果. ( )y f x= (0, (0))f ( )f x π[0, ]2 1y = 2 π− ( ) ( )( )0 0 0y f f x¢- = - ( ) ( )h x f x= ′ ( )h x′ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0 0h = ( ) ( ) 0h x f x′= < ( )f x ( ) e cosxf x x x= − ( ) ( ) ( )e cos sin 1, 0 0xf x x x f−′ ′= − = ( )0 1f = ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y = ( ) ( )e cos sin 1xh x x x= − − ( ) ( )e cos sin sin cos 2e sinx xh x x x x x x= − − = −′ − π0, 2x  ∈   ( ) 0h x′ < ( )h x π0, 2      π0, 2x  ∈   ( ) ( )0 0h x h< = ( ) 0f x′ < ( )f x π0, 2      ( )f x π0, 2      ( )0 1f = 2 2f π π  = −   ( )f x′ ( ) ( )h x f x= ′ ( )h x′ ( )h x′ ( ) 0h x′ > ( ) 0h x′ < ( )h x ( )y f x= - 15 - 20. 选修 4－5：不等式选讲：设函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，根据不等式 ，分类讨论，即可求解不等式的解集． （2）分类讨论分别求得，当 和 时， 恒成立时，列出不 等式（组），求得实数 的取值范围，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数 ，可得 当 时， . 当 时，原不等式等价于 ，解得 ，∴ ； ②当 时，原不等式等价于 ， 解之，得 ，∴ ； ③当 时， ，而 ，∴不等式 解集为空 集. 综上所述，不等式 的解集为 . （2）①当 时， 恒成立等价于 ，又 ， ∴ ，故 ； ②当 时， 恒成立等价于 恒成立，即 ， 只需 即可，即 ，∴ ， ( ) | 1| 2| |f x x x= + + － ( ) 2 1g x x mx= + +- 4m = - ( ) ( )f x g x< ( ) ( )f x g x< 1[ 2, ]2 − − m ( 2, 2 2)− − + 9( , )2m∈ −∞ − 4m = − ( ) ( )f x g x< 2 1x− ≤ ≤ − 11 2x− < ≤ − ( ) ( )f x g x< m ( ) 1 2f x x x= + + − ( ) 2 1, 1, 3, 1 2, 2 1, 2, x x f x x x x − + ≤ − = − < <  − ≥ 4m = − ( ) 2 4 1g x x x= − − + 1x ≤ − 2 2 0x x+ < 2 0x− < < 2 1x− < ≤ − 1 2x− < < 2 4 2 0x x+ + < 2 2 2 2x− − < < − + 1 2 2x− < < − + 2x ≥ ( ) ( )2 11g x g≤ = − ( ) ( )2 3f x f≥ = ( ) ( )f x g x< ( ) ( )f x g x< ( )2, 2 2− − + 2 1x− ≤ ≤ − ( ) ( )f x g x< 2 2mx x x> − 0x < 2m x< − 4m < − 11 2x− < ≤ − ( ) ( )f x g x< ( ) 3g x > ( )min 3g x > ( )1 3 1 32 g g  − ≥   − >    3, 9 ,2 m m ≤ − < − 9 2m < − - 16 - 综上， . 【点睛】本题主要考查了本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数 等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 21. 如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧 和线段 AB，CD 四部分组成，在 极坐标系 Ox 中，A（2， ），B（1， ），C（1， ），D（2， ），弧 所在圆 的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线 M1 是弧 ，曲线 M2 是弧 ． （1）分别写出 M1，M2 的极坐标方程： （2）点 E，F 位于曲线 M2 上，且 ，求△EOF 面积的取值范围． 【答案】（1）M1，M2 的极坐标方程为 和 ρ＝4cosθ（ ）； （2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用圆的极坐标方程的求法求解． （2）设点 E（ρ1，α），点 F( )，（ ），得到 ρ1＝4cosα， ，然后代入 ，利用三角恒等变换化简求解. 【详解】（1）由题意可知：M1 的极坐标方程为 ． 记圆弧 AD 所在圆的圆心（2，0）， 9, 2m  ∈ −∞ −    ,BC AD 3 π 2 3 π 4 3 π 3 π−  ,BC AD BC AD 3EOF π∠ = 2 41 3 3 π πρ θ = ≤ ≤   3 3 π πθ− ≤ ≤ [2 3,3 3] 2 3, πρ α − 0 3 πα≤ ≤ 2 4cos 3 πρ α = −   1 2 1 sin2 3EOFS πρ ρ= ⋅ ⋅△ 2 41 3 3 π πρ θ = ≤ ≤   - 17 - 因为 ，所以极点 O 在圆弧 AD 上． 设 P（ρ，θ）为 M2 上任意一点，则 ρ＝4cosθ（ ）． 所以：M1，M2 的极坐标方程为 和 ρ＝4cosθ（ ）． （2）设点 E（ρ1，α），点 F( )，（ ） 所以 ρ1＝4cosα， ． 所以 由于 ，所以 ． 故 ． 【点睛】本题主要考查极坐标方程的求法，三角形面积公式以及三角恒等变换与三角函数的 性质的应用，还考查了运算能力和转换能力，属于中档题． 22. 已知函数 . （1）若函数 在 上恰有两个零点，求实数 的取值范围. （2）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数 的最大值. 【答案】（1） ；（2） 2, , 2,3 3A D π π   −       3 3 π πθ− ≤ ≤ 2 41 3 3 π πρ θ = ≤ ≤   3 3 π πθ− ≤ ≤ 2 3, πρ α − 0 3 πα≤ ≤ 2 4cos 3 πρ α = −   ( )2 1 2 1 sin 4 3 cos cos cos sin sin 2 3 cos 3sin cos2 3 3 3EOFS π π πρ ρ α α α α α α = ⋅ ⋅ = + = +   3(cos2 1 3sin 2 )α α= + + 1 32 3 cos2 sin 2 32 2 α α = + +    2 3sin 2 36 πα = + +   0 3 πα≤ ≤ 1 sin 2 12 6 πα ≤ + ≤   EOF [2 3,3 3]S ∈△ ( ) lnf x x x= − 2( ) 2y f x m x x= + − + 1 ,22      m ( ) ( ) 21 2g x f x x bx= + − ( )1 2 1 2,x x x x< ( )g x 3 2b ≥ ( ) ( )1 2g x g x k− ≥ k 5 ln 2 24 m+ ≤ < 15 2ln 28 − - 18 - 【解析】 【分析】 （1）利用导数研究三次函数的单调性和极值，根据单调性和极值列不等式组即可解得结果； （2）根据已知条件将 化为关于 的函数，再利用导数求出其最小值，则可得到 实数 的最大值. 【详解】（1）因为 ，∴函数 ， 令 ，则 ， 令 得 ， ，列表得： 1 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ∴当 时， 的极小值为 ，又 ， . ∵函数 在 上恰有两个零点， ∴ 即 ， 解得 . 1 2( ) ( )g x g x− 1x k ( ) lnf x x x= − ( ) ( )2 22 3 ln 0y f x m x x x x x m x= + − + = − + + > ( ) ( )2 3 ln 0h x x x x m x= − + + > ( ) ( )( )2 1 112 3 x xh x x x x − −′ = − + = ( ) 0h x′ = 1 1 2x = 2 1x = x 1 2 1 ,12      (1,2) ( )h x′ − + ( )h x 5 ln 24m − − 2m − 2 ln 2m − + 1x = ( )h x ( )1 2h m= − 1 5 ln 22 4h m  = − −   ( )2 2 ln 2h m= − + ( ) 22y f x m x x= + − + 1 ,22      1 02 (1) 0 (2) 0 h h h    ≥    <  ≥  5 ln 2 04 2 0 2 ln 2 0 m m m  − − ≥  − <  − + ≥  5 ln 2 24 m+ ≤ < - 19 - （2） ， ∴ ， 令 得 ， ∵ ， 是 的极值点，∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ 解得： ，. ∴ ， . 令 ， 则 ，∴ 在 上单调递减； ∴当 时， ， 根据 恒成立，可得 ， ∴ 的最大值为 . 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单 调性、极值、最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题.  ( ) ( )21ln 12g x x x b x= + − + ( ) ( ) ( )2 1 11 1 x b xg x x bx x − + +′ = + − + = ( ) 0g x′ = ( )2 1 1 0x b x− + + = 1x 2x ( )g x 1 2 1x x b+ = + 1 2 1=x x 2 1 1x x = 3 2b ≥ 1 2 1 2 1 5 2 10 x x x x x  + ≥  < < =  1 10 2x< ≤ ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 1 2 1 2 1 2 2 1ln 12 xg x g x x x b x xx − = + − − + − ( )2 2 2 1 1 2 1 1 12 1 1 1 1 12ln 2ln , 02 2 2x x x x x xx    = − − = − − < ≤      ( ) 2 2 1 1 12ln , 02 2F x x x xx    = − − < ≤       ( ) ( )22 3 3 12 1 0 x F x xx x x − −′ = − − = < ( )F x 10, 2      1 2x = ( )min 1 15 2ln 22 8F x F  = = −   ( ) ( )1 2g x g x k− ≥ 15 2ln 28k ≤ − k 15 2ln 28 −