高中数学第二章平面解析几何2-6-2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册
2
.
6
.
2
双曲线的几何性质
核心
素养
1
.
掌握双曲线的简单几何性质
.
(
直观想象
)
2
.
理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程
.
(
逻辑推理
)
3
.
通过具体实例初步了解直线与双曲线相交的相关问题
.
(
数学运算
)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物
.
建在水源不十分充足的地区的电厂
,
为了节约用水
,
需建造一个循环冷却水系统
,
以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用
.
大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔
.
这样从结构上最稳定
,
强度高
,
能够获得更大的容积
,
气流顺畅
,
对流冷却效果好
,
造型美观
.
激趣诱思
知识点拨
双曲线的几何
性质
标准方程
图形
激趣诱思
知识点拨
标准方程
性
质
范围
x
≤
-a
或
x
≥
a
y
∈
R
y
≤
-a
或
y
≥
a
x
∈
R
对称性
对称轴
:x
轴、
y
轴
;
对称中心
:
坐标原点
顶点坐标
A
1
(-a,0),A
2
(a,0)
A
1
(0,-a),A
2
(0,a)
轴
实轴
:
线段
A
1
A
2
,
长
:
2a
;
虚轴
:
线段
B
1
B
2
,
长
:
2b
;
半实轴长
:
a
,
半虚轴长
:
b
渐近线
y=
±
x
y=
±
x
离心率
a,b,c
间的关系
c
2
=
a
2
+b
2
(c>a>0,c>b>0)
名师点析
(1)
双曲线与椭圆的六个不同点
:
双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0
0,
n>
0)
的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例
2
已知
F
1
,
F
2
为
双曲线
(
a>
0,
b>
0)
的左、右焦点
,
过
F
2
作垂直于
x
轴的直线交双曲线于点
P
,
且
∠
PF
1
F
2
=
30
°
,
求该双曲线的渐近线方程
.
分析
求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率
,
也就是求
a
,
b
间的关系
.
本题利用双曲线的定义和直角三角形边、角之间的关系
,
求
a
,
b
间的关系
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中
,
最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的
“1”
改成
“0”,
就得到了此双曲线的渐近线方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由双曲线的几何性质求标准方程
例
3
根据以下条件
,
求双曲线的标准方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程
,
一般用待定系数法转化为解方程
(
组
),
但要注意焦点的位置
,
从而正确选择方程的形式
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)
渐近线为
y=
±
kx
的双曲线方程可设为
k
2
x
2
-y
2
=
λ
(
λ
≠0)
.
(6)
渐近线为
ax
±
by=
0
的双曲线方程可设为
a
2
x
2
-b
2
y
2
=
λ
(
λ
≠0)
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
求适合下列条件的双曲线的标准方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与双曲线的位置关系
例
4
(1)
已知平面上两点
M
(
-
5,0)
和
N
(5,0),
若直线上存在点
P
使
|PM|-|PN|=
6,
则称该直线为
“
单曲型直线
”,
下列直线中
:
①
y=x+
1;
②
y=
2;
③
y= x
;
④
y=
2
x+
1
.
其中是
“
单曲型直线
”
的是
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
①
②
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
已知双曲线焦距为
4,
焦点在
x
轴上
,
且过点
P
(2,3)
.
①
求该双曲线的标准方程
;
②
若直线
m
经过该双曲线的右焦点且斜率为
1,
求直线
m
被双曲线截得的弦长
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
直线与双曲线位置关系的判定方法
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组
,
通过消元后化为
ax
2
+bx+c=
0
的形式
,
在
a
≠0
的情况下考查方程的判别式
.
(1)
Δ>
0
时
,
直线与双曲线有两个不同的公共点
.
(2)
Δ=
0
时
,
直线与双曲线只有一个公共点
.
(3)
Δ<
0
时
,
直线与双曲线没有公共点
.
当
a=
0
时
,
此时直线与双曲线的渐近线平行
,
直线与双曲线有一个公共点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
双曲线的弦长公式
和直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样
.
设直线
y=kx+b
与双
3
.
如果利用
“
点差法
”
解题
,
其过程是无法保证直线与双曲线相交的
,
因此必须对所得直线方程的存在性进行验证
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
3
(1)
已知双曲线方程为
x
2
- =
1,
过点
P
(1,0)
的直线
l
与双曲线只有一个公共点
,
则
l
共有
(
)
A.4
条
B.3
条
C.2
条
D.1
条
解析
:
因为双曲线方程为
x
2
- =
1,
则
P
(1,0)
是双曲线的右顶点
,
所以过
P
(1,0)
并且和
x
轴垂直的直线是双曲线的一条切线
,
与双曲线只有一个公共点
,
另外两条就是过
P
(1,0)
分别和两条渐近线平行的直线
,
所以符合要求的有
3
条
.
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
已知双曲线
2
x
2
-y
2
=
2,
过点
B
(1,1)
能否作直线
l
,
使
l
与所给双曲线交于点
Q
1
,
Q
2
,
且
B
是弦
Q
1
Q
2
的中点
,
若存在这样的直线
l
,
求出它的方程
;
若不存在
,
请说明理由
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)
已知双曲线
C
:
x
2
-y
2
=
1
及直线
l
:
y=kx-
1
.
①
若直线
l
与双曲线
C
有两个不同的交点
,
求实数
k
的取值范围
;
②
若直线
l
与双曲线
C
交于
A
,
B
两点
,
O
是坐标原点
,
且
△
AOB
的面积
为
,
求实数
k
的值
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
专项探究
离心率
问题
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
归纳总结求双曲线的离心率
(1)
求双曲线的离心率或其范围的方法
②
列出含有
a
,
b
,
c
的齐次方程或不等式
,
借助于
b
2
=c
2
-a
2
消去
b
,
然后转化成关于
e
的方程或不等式求解
.
(2)
求解时
,
若用到特殊几何图形
,
可运用几何性质使问题简化
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
迁移应用
1
(2019
浙江
,2)
渐近线方程为
x
±
y=
0
的双曲线的离心率是
(
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
双曲线
mx
2
+y
2
=
1
的虚轴长是实轴长的
2
倍
,
则
m
的值为
(
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
AD
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
中心在原点
,
焦点在
x
轴上
,
且一个焦点在直线
3
x-
4
y+
12
=
0
上的等轴双曲线的方程是
.
解析
:
令
y=
0,
得
x=-
4,
∴
等轴双曲线的一个焦点为
(
-
4,0),
答案
:
x
2
-y
2
=
8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
②④
⑤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
|PF|-|AP|=
2
a=
4,
①
|QF|-|QA|=
2
a=
4,
②
①
+
②
得
|PF|+|QF|-|PQ|=
8,
∴
周长为
|PF|+|QF|+|PQ|=
8
+
2
|PQ|=
32
.
答案
:
32
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
