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第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程
1. 方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．
答案：(3，0) 3
解析：(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.
2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．
答案：(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵ A、B是直径的端点，∴ ·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0x2－2x＋y2－4y－20＝0(x－1)2＋(y－2)2＝25.
3. (必修2P111练习8改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．
答案：∪(1，＋∞)
解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.
4. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．
答案：x2＋(y－2)2＝1
解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
5. (必修2P112习题8改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
答案：(－1，1)
解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a＜1.
1. 圆的标准方程
(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2) 特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r．
2. 圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为
＋＝.
(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点；
(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．
3. 确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；
(2) 根据条件列出关于a，b，r的方程组或关于D，E，F的方程组；
(3) 求出a，b，r或D，E，F的值，从而确定圆的方程．
4. 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．
(2) 若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3) 若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2
0，即有4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)
>0－r.
∴ 点P在圆外．
已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得
故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.
∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，
∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
例3 在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.
(1) 求实数b的取值范围；
(2) 求圆C的方程；
(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．
解：(1) 令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2) 设所求圆的一般方程为x2＋ y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋ Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋ y2＋2x －(b＋1)y＋b＝0.
(3) 圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．
证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．
已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．
(1) 求直线l1、l2的方程；
(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.
① 当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；
② 当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．
解：(1) A，B，记f(x)＝，f′(x)＝，则l1的方程为y－＝(x－a)，即y＝x－；
同理得l2的方程为y＝x－.
(2) 由题意a≠b且a、b不为零，
联立方程组可求得P，Q，R.
∴经过P、Q、R三点的圆C的方程为
x＋(y－1)(y－ab)＝0，
当a＝4，b＝－2时，圆C的方程为x2＋y2－x＋7y－8＝0，
显然当a≠b且a、b不为零时，圆C过定点F(0，1)．
题型3 圆与方程(轨迹)
例4 如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．
解：设直线 MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.
因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.
设点M的坐标为 (x，y)，则＝，整理得(x－4)2＋y2＝7.
它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.
如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以PO－1 ＝ 2(PO－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33,
所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．
题型4 与圆有关的最值问题
例5 P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．
解：由C(1，1)得OC＝，则OPmin＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.
已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．
答案：5＋ 5－
解析：令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.
1. 已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，
则圆C的方程为________．
答案：x2＋＝
解析：由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋＝.
2. 过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．
答案：x＋y－2＝0
解析：当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴ 直线OP垂直于x＋y－2＝0.
3. 已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
答案：5
解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d＋d＝3.由平面几何知识知|AC|＝2，|BD|＝2，∴ S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·≤(4－d)＋(4－d)＝8－(d＋d)＝5，即四边形ABCD面积的最大值为5.
4. 若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为________．
答案：1
解析：圆C的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4.所以ab＝(4ab)≤＝×＝1.当且仅当a＝，b＝2取得等号．
5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连结BC并延长至D，使得CD＝BC，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．由A(－1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1，2y0)，由重心坐标公式得则
eq blc{(avs4alco1(x0＝f(3x＋1,2)，,y0＝f(3y,2)，y0≠0，))代入x2＋y2＝1，整理得＋y2＝(y≠0)，故所求轨迹方程为＋y2＝(y≠0)．
6. 已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1) 求圆M的方程；
(2) 设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．
解：(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(r>0)，根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.
1. 圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
答案：x－y＋2＝0
解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，所以＝2，解得k＝.
所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
2. 若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．
解：∵方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，∴a≠0.
∴方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0可以写成
x2＋y2－x＋y＝0.
∵D2＋E2－4F＝>0恒成立，
∴a≠0时，方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆．
设圆的半径为r，则
r2＝＝2，
∴当＝即，a＝2时，圆的半径最小，
半径最小的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3. 如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x，y)．
(1) 若P点斜坐标为(2，－2)，求P到O的距离|PO|；
(2) 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．
解：(1) ∵P点斜坐标为(2，－2)，
∴＝2e1－2e2.
∴||2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8×cos60°＝4.
∴||＝2，即|OP|＝2.
(2) 设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2.
∴(xe1＋ye2)2＝1.
∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.∴x2＋y2＋xy＝1.
故所求方程为x2＋y2＋xy＝1.
4. 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．
解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.
故2|b|＝r，得r2＝2b2，
又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1.
又因为P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，
得d＝＝，即有a－2b＝±1，
综上所述得或
解得或于是r2＝2b2＝2.
所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
5. 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0.
(1) 求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2) 在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
解：(1) 设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，
∵ 直线与圆相切，∴ ＝3，得b＝±3，∴
所求直线方程为y＝－2x±3.
(2) (解法1)假设存在这样的点B(t，0)，
当P为圆C与x轴左交点(－3，0)时，＝；
当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，＝，
依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.
下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．
设P(x，y)，则y2＝9－x2，
∴ ＝＝＝
＝， 从而＝为常数．
(解法2)假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，∴ (x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入得，x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即
2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，
∴ 解得或(舍去)，
所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.
1. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．
2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1) 形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；
(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
