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文档介绍
【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-7.抛物线的概念学案
1.抛物线的概念 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【知识拓展】 1.抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离PF＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 2.y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长AB＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × ) (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.( √ ) 1.(2016·四川改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是______. 答案 (1,0) 解析 ∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为， ∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0). 2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ＝________. 答案 8 解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·＝________. 答案 － 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x＝ky＋， 则由 得y2－2ky－1＝0， y1y2＝－1，·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－1＝－. 4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y2＝－8x或x2＝－y 解析 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 5.(2017·南京月考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________. 答案 2 解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－， 圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切， 所以3＋＝4，解得p＝2. 题型一 抛物线的定义及应用 例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________. 答案 4 解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4. 即PB＋PF的最小值为4. 引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值. 解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. 因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离， 所以PB＋PF≥BF＝ ＝＝2， 即PB＋PF的最小值为2. 2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值. 解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0). 点P到y轴的距离d1＝PF－1， 所以d1＋d2＝d2＋PF－1. 易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为＝3， 所以d1＋d2的最小值为3－1. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________. 答案 解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为＝. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程 例2 已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为__________. 答案 x2＝16y 解析 ∵－＝1的离心率为2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝. x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y. 命题点2 抛物线的几何性质 例3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0). 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2. 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因为x1x2＝，x1＋x2＝AB－p，代入上式， 得＋＝＝(定值). (3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则MN＝(AC＋BD) ＝(AF＋BF)＝AB. 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. (1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为________. (2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为______. 答案 (1)4 (2) 解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图， 又可设A(x0,2)， D， 点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0， ① 点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2， ② 点D在圆x2＋y2＝r2上， ∴5＋2＝r2， ③ 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为4. (2)设AF＝a，BF＝b，分别过A、B作准线的垂线， 垂足分别为Q、P. 由抛物线的定义知，AF＝AQ，BF＝BP， 在梯形ABPQ中，2MN＝AQ＋BP＝a＋b. AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab. 又ab≤()2， 所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2， 得AB≥(a＋b)， 所以≤＝， 即的最大值为. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题 例4 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若·＝0，则k＝________. 答案 2 解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4. 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝， y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16. 因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0， 且A，B，P，Q， R. 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2. 所以AR∥FQ. (2)解 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)， 则S△ABF＝|b－a|·FD＝|b－a|， S△PQF＝. 由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去). 设满足条件的AB的中点为E(x，y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1).而＝y，所以y2＝x－1(x≠1). 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 所以所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1). 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，定点A(2，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN＝________. 答案 1∶3 解析 由题意得F(0,1)， ∴直线AF的方程为＋＝1， 将它与抛物线方程联立解得或 又交点在第一象限， ∴M(，)，准线方程为y＝－1. 故易求得N(4，－1). ∴由三角形相似性质得＝＝. 7.直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例 (16分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 思维点拨 (3)中证明·＝0. 规范解答 解 (1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，). [2分] (2)∵RF＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝. [4分] (3)存在实数m，使△ABQ定以Q为直角顶点的直角三角形. 联立方程 消去y，得mx2－2x－2＝0， 依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－. [7分] 设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则 (*) ∵P是线段AB的中点，∴P(，)， 即P(，yP)，∴Q(，). [9分] 得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)， 若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0， 即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0， [12分] 结合(*)化简得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， 而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞). ∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. [16分] 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况. 1.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为____________. 答案 y2＝8x 解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋， 联立消去x得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12⇒p＝4， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x＝－1 解析 ∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－， 即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2， 即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2， ∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 3.(2016·苏北四市联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为____________. 答案 y2＝4x或y2＝16x 解析 ∵抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F(，0)， ∴OF＝， ∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连结AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，AF＝ ， ∴sin∠OAF＝＝， 根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A， ∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝， ∵MF＝5，AF＝ ， ∴ ＝， 整理得4＋＝，解得p＝或p＝， ∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于________. 答案 －4 解析 ①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝，∴x1x2＝， ∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴＝－4. ②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k(x－)， 联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 则x1x2＝，x1＋x2＝p＋， ∴y1y2＝－p2.故＝－4. 5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为____________. 答案 y2＝3x 解析 如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：AF＝AA1，BF＝BB1， ∵BC＝2BF， ∴BC＝2BB1，∴∠BCB1＝30°， ∴∠AFx＝60°，连结A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x. 6.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则的最小值是______. 答案 解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 如图，过P作PN垂直直线x＝－1于N， 由抛物线的定义可知PF＝PN，连结PA， 在Rt△PAN中，sin∠PAN＝， 当＝最小时，sin∠PAN最小， 即∠PAN最小，即∠PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)， 联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0， 解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°， ＝＝cos∠NPA＝. 7.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________. 答案 12 解析 焦点F的坐标为. 方法一 直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为y＝， 即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 所以AB＝x1＋x2＋p＝＋＝12. 方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 AB＝＝＝12. 8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则NF∶FM＝________. 答案 1∶2 解析 由题意知直线l的方程为y＝2(x－)， 联立方程 得4x2－5px＋p2＝0，∴N(，－p)， ∴NF＝＋＝p，MF＝p＋＝p， ∴NF∶FM＝1∶2. 9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________. 答案 解析 抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点F(1,0)， 设点A(x0，y0)(x0>0，y0>0)，由题意得x0＋1＝5，所以x0＝4，所以y＝4x0＝16，y0＝4，从而点A(4,4)，直线AF的斜率为k＝＝. 10.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则AB＝________. 答案 6 解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)， 准线方程为x＝－2. 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，c＝2，＝， 可得a＝4，b2＝16－4＝12. 故椭圆方程为＋＝1. 把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3. 从而AB＝6. 11.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为__________. 答案 (2，±2) 解析 如图所示，由题意，可得OF＝1，由抛物线的定义， 得AF＝AM， ∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴ ＝＝3， ∴AF＝AM＝3，设A， ∴＋1＝3，∴＝2，y0＝±2， ∴点A的坐标是(2，±2). *12.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________. 答案 (2,4) 解析 如图， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2). 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条. 当k存在时，x1≠x2， 则有·＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k·＝－1， 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直线x＝3上.将x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，则有－2查看更多