辽宁省沈阳市中考数学真题试卷和答案

辽宁省沈阳市中考数学真题试卷和答案

辽宁省沈阳市2017年中考数学真题试卷和答案 ‎　‎ 一、选择题（每小题2分，共20分）。‎ ‎1．7的相反数是（　　）‎ A．﹣7 B．﹣‎4‎‎7‎ C．‎1‎‎7‎ D．7‎ ‎2．如图所示的几何体的左视图（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．“弘扬雷锋精神，共建幸福沈阳”，幸福沈阳需要830万沈阳人共同缔造，将数据830万用科学记数法可以表示为（　　）万．‎ A．83×10 B．8.3×102 C．8.3×103 D．0.83×103‎ ‎4．如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2的度数是（　　）‎ A．50° B．100° C．130° D．140°‎ ‎5．点A（﹣2，5）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）‎ A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10‎ 第22页（共22页）‎ ‎6．在平面直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），则点B的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（8，2）‎ ‎7．下列运算正确的是（　　）‎ A．x3+x5=x8 B．x3+x5=x15 C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（2x）5=2x5‎ ‎8．下列事件中，是必然事件的是（　　）‎ A．将油滴入水中，油会浮在水面上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果a2=b2，那么a=b D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 ‎9．在平面直角坐标系中，一次函数y=x﹣1的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（　　）‎ A．‎3‎ B．2 C．2‎2‎ D．2‎‎3‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）。‎ 第22页（共22页）‎ ‎11．（3分）因式分解3a2+a=　 　．‎ ‎12．（3分）一组数2，3，5，5，6，7的中位数是　 　．‎ ‎13．（3分）x+1‎x•xx‎2‎‎+2x+1‎=　 　．‎ ‎14．（3分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均值都是8.9环，方差分别是S甲2=0.53，S乙2=0.51，S丙2=0.43，则三人中成绩最稳定的是　 　（填“甲”或“乙”或“丙”）‎ ‎15．（3分）某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是　 　元/时，才能在半月内获得最大利润．‎ ‎16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎17．（6分）计算|‎2‎﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+（3﹣π）0．‎ ‎18．（8分）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．‎ 第22页（共22页）‎ 求证：（1）△ADE≌△CDF；‎ ‎（2）∠BEF=∠BFE．‎ ‎19．（8分）把3，5，6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率．‎ ‎　‎ 四、解答题：‎ ‎20．（8分）某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校m名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：‎ 根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）m=　 　，n=　 　；‎ ‎（2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是　 　度；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；‎ ‎（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校600名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．‎ ‎21．（8分）小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠EGC=‎3‎‎5‎，⊙O的半径是3，求AF的长．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2‎‎5‎ 第22页（共22页）‎ ‎，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．‎ ‎（1）填空：AB的长是　 　，BC的长是　 　；‎ ‎（2）当t=3时，求S的值；‎ ‎（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；‎ ‎（4）若S=‎48‎‎5‎，请直接写出此时t的值．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．‎ ‎（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1；‎ ‎①求点F到AD的距离；‎ ‎②求BF的长；‎ ‎（3）若BF=3‎10‎，请直接写出此时AE的长．‎ 第22页（共22页）‎ ‎　‎ ‎25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣‎3‎‎12‎x2﹣‎3‎‎3‎x+8‎3‎与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．‎ ‎（1）填空：OA的长是　 　，∠ABO的度数是　 　度；‎ ‎（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．‎ ‎①求证：四边形AMHN是平行四边形；‎ ‎②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．‎ ‎　‎ 第22页（共22页）‎ 答案 一、选择题（每小题2分，共20分）‎ ‎1．A．‎ ‎2．D．‎ ‎3．B．‎ ‎4．C．‎ ‎5．D．　‎ ‎6．A．‎ ‎7．C　‎ ‎8．A．‎ ‎9．B ‎10．解：连接OB，OC，‎ ‎∵多边形ABCDEF是正六边形，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴OB=BC，‎ ‎∵正六边形的周长是12，‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴⊙O的半径是2，‎ 故选B．‎ 第22页（共22页）‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．a（3a+1）．‎ ‎12．5．‎ ‎13．解：原式=x+1‎x•x‎(x+1‎‎)‎‎2‎=‎1‎x+1‎，‎ ‎14．丙．‎ ‎15．解：设销售单价为x元，销售利润为y元．‎ 根据题意，得：‎ y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]‎ ‎=（x﹣20）（1000﹣20x）‎ ‎=﹣20x2+1400x﹣20000‎ ‎=﹣20（x﹣35）2+4500，‎ ‎∵﹣20＜0，‎ ‎∴x=35时，y有最大值，‎ ‎16．解：连接AG，‎ 由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，‎ 由勾股定理得，CG=BG‎2‎-BC‎2‎=4，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴DG=DC﹣CG=1，‎ 则AG=AD‎2‎+DG‎2‎=‎10‎，‎ ‎∵BABC=BGBE，∠ABG=∠CBE，‎ ‎∴△ABG∽△CBE，‎ ‎∴CEAG=BCAB=‎3‎‎5‎，‎ 解得，CE=‎3‎‎10‎‎5‎，‎ 故答案为：‎3‎‎10‎‎5‎．‎ ‎17．解：|‎2‎﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+（3﹣π）0‎ ‎=‎2‎﹣1+‎1‎‎9‎﹣2×‎2‎‎2‎+1‎ ‎=‎‎1‎‎9‎ ‎18．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD=CD，∠A=∠C，‎ ‎∵DE⊥BA，DF⊥CB，‎ ‎∴∠AED=∠CFD=90°，‎ 在△ADE和△CDE，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵‎&AD=CD‎&∠A=∠C‎&∠AED=∠CFD=90°‎，‎ ‎∴△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=CB，‎ ‎∵△ADE≌△CDF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∴∠BEF=∠BFE．‎ ‎19．解：画树状图如下：‎ 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字都是奇数的有4种结果，‎ ‎∴两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率为‎4‎‎9‎．‎ ‎20．解：（1）m=5÷10%=50，n%=15÷50=30%，‎ 故答案为：50，30；‎ ‎（2）由题意可得，‎ ‎“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是：360°×‎10‎‎50‎=72°，‎ 故答案为：72；‎ ‎（3）文学有：50﹣10﹣15﹣5=20，‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（4）由题意可得，‎ ‎600×‎15‎‎50‎=180，‎ 即该校600名学生中有180名学生最喜欢科普类图书．‎ ‎21．解：设小明答对了x题，根据题意可得：‎ ‎（25﹣x）×（﹣2）+6x＞90，‎ 解得：x＞17‎1‎‎2‎，‎ ‎∵x为非负整数，‎ ‎∴x至少为18，‎ 答：小明至少答对18道题才能获得奖品．‎ ‎22．解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，‎ ‎∴∠EOG=2∠C，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵∠ABG=2∠C，‎ ‎∴∠EOG=∠ABG，‎ ‎∴AB∥EO，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴EF⊥OE，‎ 又∵OE是⊙O的半径，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∴BA=BC=6，‎ 在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=OEOG，‎ ‎∴OG=OEsin∠EGO=‎3‎‎3‎‎5‎=5，‎ ‎∴BG=OG﹣OB=2，‎ 在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=BFBG，‎ ‎∴BF=BGsin∠EGO=2×‎3‎‎5‎=‎6‎‎5‎，‎ 则AF=AB﹣BF=6﹣‎6‎‎5‎=‎24‎‎5‎．‎ ‎23．解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，‎ ‎∴AB=OA‎2‎+OB‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=10．‎ 第22页（共22页）‎ BC=‎(2‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=6，‎ 故答案为10，6．‎ ‎（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．‎ ‎∵C（﹣2‎5‎，4），‎ ‎∴CE=4OE=2‎5‎，‎ 在Rt△COE中，OC=OE‎2‎+CE‎2‎=‎(2‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=6，‎ 当t=3时，点N与C重合，OM=3，‎ ‎∴S△ONM=‎1‎‎2‎•OM•CE=‎1‎‎2‎×3×4=6，‎ 即S=6．‎ ‎（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵OF=4，OB=8，‎ ‎∴BF=8﹣4=4，‎ ‎∵GN∥CF，‎ ‎∴BNBC=BGBF，即‎12-2t‎6‎=BG‎4‎，‎ ‎∴BG=8﹣‎4‎‎3‎t，‎ ‎∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣‎4‎‎3‎t）=‎4‎‎3‎t．‎ ‎（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，‎1‎‎2‎•‎4‎‎3‎t•t=‎48‎‎5‎，‎ 解得t=‎6‎‎10‎‎5‎（负根已经舍弃）．‎ ‎②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．‎ 作OE⊥AB于E，则OE=OB⋅OAAB=‎24‎‎5‎，‎ 第22页（共22页）‎ 由题意‎1‎‎2‎[10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]•‎24‎‎5‎=‎48‎‎5‎，‎ 解得t=8，‎ 同法当M、N在线段AB上，相遇之后．‎ 由题意‎1‎‎2‎•[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]•‎24‎‎5‎=‎48‎‎5‎，‎ 解得t=‎32‎‎3‎，‎ 综上所述，若S=‎48‎‎5‎，此时t的值8s或‎32‎‎3‎s或‎6‎‎10‎‎5‎s．‎ ‎24．解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：‎ 则∠FHE=90°，‎ ‎∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，‎ ‎∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°，‎ ‎∴∠FEH=∠CED，‎ 在△EFH和△CED中，‎{‎‎∠FHE=∠EDC=90°‎‎∠FEH=∠CEDEF=CE，‎ ‎∴△EFH≌△CED（AAS），‎ ‎∴FH=CD=4，AH=AD=4，‎ ‎∴BH=AB+AH=8，‎ ‎∴BF=BH‎2‎+FH‎2‎=‎8‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=4‎5‎；‎ ‎（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：‎ 则FM=AH，AM=FH，‎ ‎①∵AD=4，AE=1，∴DE=3，‎ 同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴FH=DE=3，EH=CD=4，‎ 即点F到AD的距离为3；‎ ‎②∴BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，‎ ‎∴BF=BM‎2‎+FM‎2‎=‎7‎‎2‎‎+‎‎5‎‎2‎=‎74‎；‎ ‎（3）分两种情况：‎ ‎①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，‎ 如图3所示：‎ 同（1）得：：△EFH≌△CED，‎ ‎∴FH=DE=4+AE，EH=CD=4，‎ ‎∴FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH﹣AE=4﹣AE，‎ 由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2=（3‎10‎）2，‎ 解得：AE=1或AE=﹣5（舍去），‎ ‎∴AE=1；‎ ‎②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：‎ 同理得：AE=2+‎41‎；‎ 综上所述：AE的长为1或2+‎41‎．‎ 第22页（共22页）‎ ‎25．解：（1）当x=0时，y=8‎3‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴B（0，8‎3‎），‎ ‎∴OB=8‎3‎，‎ 当y=0时，y=﹣‎3‎‎12‎x2﹣‎3‎‎3‎x+8‎3‎=0，‎ x2+4x﹣96=0，‎ ‎（x﹣8）（x+12）=0，‎ x1=8，x2=﹣12，‎ ‎∴A（8，0），‎ ‎∴OA=8，‎ 在Rt△AOB中，tan∠ABO=OAOB=‎8‎‎8‎‎3‎=‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ 故答案为：8，30；‎ ‎（2）①证明：∵DE∥AB，‎ ‎∴OMAM‎=‎OHBH，‎ ‎∵OM=AM，‎ ‎∴OH=BH，‎ ‎∵BN=AN，‎ ‎∴HN∥AM，‎ ‎∴四边形AMHN是平行四边形；‎ ‎②点D在该抛物线的对称轴上，‎ 第22页（共22页）‎ 理由是：如图1，过点D作DR⊥y轴于R，‎ ‎∵HN∥OA，‎ ‎∴∠NHB=∠AOB=90°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠DHB=∠OBA=30°，‎ ‎∵Rt△CDE≌Rt△ABO，‎ ‎∴∠HDG=∠OBA=30°，‎ ‎∴∠HGN=2∠HDG=60°，‎ ‎∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴∠HDN=∠HND，‎ ‎∴DH=HN=‎1‎‎2‎OA=4，‎ ‎∴Rt△DHR中，DR=‎1‎‎2‎DH=‎1‎‎2‎‎×4‎=2，‎ ‎∴点D的横坐标为﹣2，‎ ‎∵抛物线的对称轴是直线：x=﹣b‎2a=﹣‎-‎‎3‎‎3‎‎2×(-‎3‎‎12‎)‎=﹣2，‎ ‎∴点D在该抛物线的对称轴上；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（3）如图3中，连接PQ，作DR⊥PK于R，在DR上取一点T，使得PT=DT．设PR=a．‎ ‎∵NA=NB，‎ ‎∴HO=NA=NB，‎ ‎∵∠ABO=30°，‎ ‎∴∠BAO=60°，‎ ‎∴△AON是等边三角形，‎ ‎∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD，‎ ‎∵∠ODM=30°，‎ ‎∴∠OMD=∠ODM=30°，‎ ‎∴OM=OD=4，易知D（﹣2，﹣2‎3‎），Q（﹣2，10‎3‎），‎ ‎∵N（4，4‎3‎），‎ ‎∴DK=DN=‎6‎‎2‎‎+(6‎‎3‎‎)‎‎2‎=12，‎ ‎∵DR∥x轴，‎ ‎，∴∠KDR=∠OMD=30°‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴RK=‎1‎‎2‎DK=6，DR=6‎3‎，‎ ‎∵∠PDK=45°，‎ ‎∴∠TDP=∠TPD=15°，‎ ‎∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=30°，‎ ‎∴TP=TD=2a，TR=‎3‎a，‎ ‎∴‎3‎a+2a=6‎3‎，‎ ‎∴a=12‎3‎﹣18，‎ 可得P（﹣2﹣6‎3‎，10‎3‎﹣18），‎ ‎∴PQ=‎(6‎3‎‎)‎‎2‎+1‎‎8‎‎2‎=12‎3‎．‎ ‎2017年12月24日 第22页（共22页）‎