【数学】2020届一轮复习苏教版函数的图象学案

【数学】2020届一轮复习苏教版函数的图象学案

‎§2.8　函数的图象 考情考向分析　函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度．‎ ‎1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．‎ ‎2．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．‎ ‎3．图象变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)；‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)；‎ ‎④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x)y＝f(ax)．‎ ‎②y＝f(x)y＝af(x)．‎ ‎(4)翻折变换 ‎①y＝f(x)y＝|f(x)|.‎ ‎②y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ 概念方法微思考 ‎1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？‎ 提示　f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．‎ ‎2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是______________．‎ 提示　g(x)＝2b－f(2a－x)‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　×　)‎ ‎(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)‎ ‎(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P30练习T3]若f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________.‎ 答案　 ‎3．[P31习题T6]方程|x－1|＝的正实数根的个数是________．‎ 答案　1‎ ‎4．[P87习题T14改编]任取x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，若f >[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)是(a，b)上的凸函数．在下列图象中，为凸函数图象的是________．(填序号)‎ 答案　④‎ 题组三　易错自纠 ‎5．把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．‎ 答案　y＝ln 解析　根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln.‎ ‎6．下列图象是函数y＝的图象的是________．(填序号)‎ 答案　③‎ ‎7．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是__________．‎ 答案　(0，＋∞)‎ 解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．‎ 由图象知，当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解．‎ ‎‎ 题型一　作函数的图象 分别画出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝.‎ 解　(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．‎ ‎(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．‎ ‎(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．‎ ‎(4)∵y＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．‎ 思维升华 图象变换法作函数的图象 ‎(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．‎ ‎(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．‎ ‎‎ 题型二　函数图象的变换 例1 作出函数f(x)＝x2＋2x－3的图象，然后根据f(x)的图象作出函数y＝－f(x)的图象，并说明两函数图象的关系．‎ 解　f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，‎ y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y＝－f(x)的图象如图(2)．两图象关于x轴对称．‎ ‎　　‎ 引申探究 本例中，通过图象的变换分别画出函数y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)，y＝f(x)＋1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系．‎ 解　各个函数图象如下图实线部分所示：‎ 各图象和y＝f(x)的图象关系如下：‎ ‎(1)函数y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；‎ ‎(2)函数y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；‎ ‎(3)函数y＝f(|x|)＝即在y轴上及其右侧图象与函数y＝f(x)图象相同，再将y轴右侧图象作y轴的对称图象可得x<0时的图象；‎ ‎(4)函数y＝|f(x)|＝即在x轴上及其上方的图象与函数y＝f(x)图象相同，再将x轴下方的图象作x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象；‎ ‎(5)函数y＝f(x＋1)的图象是将y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的；‎ ‎(6)函数y＝f(x)＋1的图象是将y＝f(x)的图象向上平移一个单位得到的．‎ 思维升华 根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质，在函数图象的应用中经常用到．‎ 跟踪训练1 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为________．(填序号)‎ 答案　③‎ 解析　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确．‎ 题型三　函数图象的应用 命题点1　研究函数的性质 例2 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________．(填序号)‎ ‎①f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)‎ ‎②f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)‎ ‎③f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)‎ ‎④f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)‎ 答案　③‎ 解析　将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得 f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图，‎ 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．③正确，其余错误．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足00.‎ 当x∈时，y＝cos x<0.‎ 结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，‎ 当10且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．‎ 答案　 解析　由图象可知，函数过点(－3,0)，(0，－2)，‎ 所以得解得 故a＋b＝.‎ ‎(2)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝________.‎ 答案　e－x－1‎ 解析　与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位长度，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位长度得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.‎ ‎(3)已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　①当01时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图b，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解，所以a的取值范围是.‎ 二、函数图象的应用 例2 (1)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．‎ 答案　(3，＋∞)‎ 解析　在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．‎ 当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.‎ ‎(2)不等式3sin－<0的整数解的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　不等式3sin－<0，即3sin<.设f(x)＝3sin，g(x)＝，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)0，得x>1，‎ 由f′(x)<0，得00的部分是将x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图象如图所示．‎ 若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？‎ ‎(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，‎ G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．‎ 由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；‎ 当00)，H(t)＝t2＋t，t>0，‎ 因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎ ‎13．已知定义在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.‎ 答案　0‎ 解析　方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，画出函数f(x)的图象(图略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10‎ ‎，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.‎ ‎14．已知函数f(x)＝，g(x)＝1＋，若f(x)1时，由1＋＝x＋1，解得x＝.结合图象可知，满足f(x)

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