中考数学试题分类26 矩形 菱形与正方形

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中考数学试题分类26 矩形 菱形与正方形

第26章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 ‎1. (2011浙江省舟山,10,3分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为‎14cm2,四边形ABCD面积是‎11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为(   )‎ ‎(A)‎48cm (B)‎‎36cm ‎(C)‎24cm (D)‎‎18cm ‎(第10题)‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎【答案】A ‎2. (2011山东德州8,3分)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n个图形的周长是 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎……‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎3. (2011山东泰安,17 ,3分)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为 A.17 B‎.17 C.18 D.19‎ ‎【答案】B ‎ ‎4. (2011山东泰安,19 ,3分)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为 A.2 B. C. D.6 ‎ ‎【答案】A ‎ ‎5. (2011浙江杭州,10,3)在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),记它们的面积分别 为.现给出下列命题:( )‎ ‎①若,则.②若则.‎ 则:‎ A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题 ‎【答案】A ‎6. (2011浙江衢州,1,3分)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,如图为一农村民居侧面截图,屋坡分别架在墙体的点、点处,且,侧面四边形为矩形,若测得,则( )‎ ‎(第5题)‎ A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°‎ ‎【答案】C ‎7. (2011浙江温州,6,4分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知∠AOB= 60°,AC=16,则图中长度为8的线段有( )‎ ‎ A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 ‎【答案】D ‎8. 2011四川重庆,10,4分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是( )‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎9. (2011浙江省嘉兴,10,4分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为‎14cm2,四边形ABCD面积是‎11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为(   )‎ ‎(A)‎48cm (B)‎‎36cm ‎(C)‎24cm (D)‎‎18cm ‎(第10题)‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎【答案】A ‎10.(2011台湾台北,29)如图(十二),长方形ABCD中,E为中点,作的角平分线交于F点。若=6,=16,则的长度为何?‎ A.4 B.‎5 C.6 D.8 ‎ ‎【答案】C ‎11. (2011湖南邵阳,7,3分)如图(二)所示,中,对角线AC,BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是()‎ A.AC⊥BD B.AB=CD ‎ C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD ‎【答案】A.提示:当且仅当为菱形时,AC⊥BD。‎ ‎12. (2011湖南益阳,7,4分)如图2,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C、D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 A C D 图2‎ B ‎【答案】B ‎13. (2011山东聊城,7,3分)已知一个菱形的周长是‎20cm,两条对角线的比是4∶‎ ‎3,则这个菱形的面积是( )‎ ‎ A.‎12cm2 B. ‎24cm2 C. ‎48cm2 D. ‎96cm2 ‎ ‎【答案】B ‎14. (2011四川宜宾,7,3分)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )‎ A.3 B.‎4 ‎‎ C.5 D.6 ‎ ‎(第7题图)‎ ‎【答案】D ‎15. ( 2011重庆江津, 10,4分)如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B‎1C1D1,再顺次连接四边形A1B‎1C1D1各边中点,得到四边形A2B‎2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )‎ ‎①四边形A2B‎2C2D2是矩形; ②四边形A4B‎4C4D4是菱形;‎ ‎…‎ A1‎ A A2‎ A3‎ B B1‎ B2‎ B3‎ C C2‎ C1‎ C3‎ D D2‎ D1‎ D3‎ 第10题图 ‎③四边形A5B‎5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④‎ ‎【答案】C·‎ ‎16. (2011江苏淮安,5,3分)在菱形ABCD中,AB=‎5cm,则此菱形的周长为( )‎ A. ‎5cm B. ‎15cm C. ‎20cm D. ‎‎25cm ‎【答案】C ‎17. (2011山东临沂,11,3分)如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∩A=30°‎ ‎,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )‎ A.2 B.‎3‎ C.4 D.4‎ ‎【答案】A ‎18. (2011四川绵阳7,3)下列关于矩形的说法中正确的是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分 ‎【答案】D ‎19. (2011四川乐山9,3分)如图(5),在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD的中点,AE交BF于点H,CG∥AE交BF于点G。下列结论:①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④.其中正确的序号是 ‎ A.①②③ B.②③④ C. ①③④ D.①②④‎ ‎【答案】D ‎20.(2011江苏无锡,5,3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )‎ A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角互补 ‎【答案】A ‎21. (2011湖北武汉市,12,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论: ‎ ‎  ①△AED≌△DFB;  ②S四边形 BCDG=  CG2;‎ ‎③若AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论 A.只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③.‎ A B C D E F G H 第12题图 ‎【答案】D ‎22. (2011广东茂名,5,3分)如图,两条笔直的公路、相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A.B、D,已知AB=BC=CD=DA=‎5公里,村庄C到公路的距离为‎4公里,则村庄C到公路的距离是 A.3公里 B.4公里 C.5公里 D.6公里 ‎【答案】B ‎23. (2011湖北襄阳,10,3分)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形 ‎【答案】D ‎24. (2011湖南湘潭市,5,3分)下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. (2011山东滨州,17,4分)将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.‎ ‎(第17题图)‎ ‎【答案】62°‎ ‎2. (2011山东德州16,4分)长为1,宽为a的矩形纸片(),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为________.‎ 第一次操作 第二次操作 ‎【答案】或 ‎3. (2011湖北鄂州,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为_______.‎ A B C D ‎ 第5题图 ‎【答案】28 ‎ ‎4. (2011山东烟台,17,4分)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎5. (2011 浙江湖州,16,4)如图,甲类纸片是边长为2的正方形,乙类纸片是边长为1的正方形,丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形.现有甲类纸片1张,乙类纸片4张,则应至少取丙类纸片 张,才能用它们拼成一个新的正方形.‎ ‎【答案】4‎ ‎6. (2011浙江绍兴,15,5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折,并沿图3中过矩形顶点的斜线(虚线)剪开,那剪下的①这部分展开,平铺在桌面上,若平铺的这个图形是正六边形,则这张矩形纸片的宽和长之比为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎7. (2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为 。‎ ‎……‎ ‎【答案】‎ ‎8. (2011江苏泰州,18,3分)如图,平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,其中点A、C分别在直线L1和L4上,该正方形的面积是 平方单位.‎ ‎【答案】5或9‎ ‎9. (2011山东潍坊,16,3分)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE的长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎10.(2011山东潍坊,17,3分)已知长方形ABCD,AB=‎3cm,AD=‎4cm,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为_______________.‎ ‎【答案】 ‎11. (2011‎ 四川内江,16,5分)如图,点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足 条件时,四边形EFGH是菱形.‎ A B C D E F G H ‎【答案】AB=CD ‎12. (2011重庆綦江,14,4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH= .‎ ‎【答案】:‎ ‎13. (2011江苏淮安,17,3分)在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)‎ ‎【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD ‎(答案不唯一,写出一种即可)‎ ‎14. (2011江苏南京,12,2分)如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为_________㎝2.‎ ‎(第12题)‎ B A D C E ‎【答案】 ‎ ‎15. (2011江苏南通,15,3分)如同,矩形纸片ABCD中,AB=‎2cm,点E在BC上,且 AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点重合,则AC= ▲ cm.‎ ‎【答案】4‎ ‎16. (2011四川绵阳17,4)如图,将长‎8cm,宽‎4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长为_____cm.‎ ‎【答案】2 ‎17. (2011四川凉山州,17,4分)已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则的值是 。‎ ‎【答案】或 ‎18. (2011湖北黄冈,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为_______.‎ A B C D ‎ 第5题图 ‎【答案】28‎ ‎19. (2011湖北黄石,13,3分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍,如图(4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为 。‎ ‎【答案】AB=2BC ‎20.(2011山东日照,16,4分)正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM= 时,四边形ABCN的面积最大. ‎ ‎【答案】2; ‎ ‎21. (2011河北,14,3分)如图6,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴对应的数分别为-4和1,则BC=__. ‎ ‎【答案】5‎ ‎22. (2010湖北孝感,16,3分)已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是 .‎ ‎【答案】15°或75°‎ 三、解答题 ‎1. (2011浙江省舟山,23,10分)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.‎ ‎(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);‎ ‎(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE;‎ ‎② 求证:HE=HG;‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. ‎ ‎(第23题图2)‎ ‎(第23题图3)‎ ‎(第23题图1)‎ ‎【答案】(1)四边形EFGH是正方形.‎ ‎    (2) ①∠HAE=90°+a.‎ 在□ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a;‎ ‎∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°,‎ ‎∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a.‎ ‎②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形,∴AE=AB,DG=CD,‎ 在□ABCD中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE.‎ ‎∵△HAD是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG.‎ ‎③四边形EFGH是正方形.‎ 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,‎ 又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,‎ ‎∴四边形EFGH是正方形.‎ ‎2. (2011安徽,23,14分)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、(>0,>0,>0).‎ ‎(1)求证:=;‎ l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ h1‎ h2‎ h3‎ A B C D ‎(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=;‎ ‎(3)若,当变化时,说明正方形ABCD的面积S随的变化情况.‎ l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ h1‎ h2‎ h3‎ A B C D E F G ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【答案】(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CG⊥l3交l3于点G,‎ ‎∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即=;‎ ‎(2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC,∴△AFD≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2,∴S=;‎ ‎ (3)由题意,得, 所以 ‎,‎ 又,解得0<h1<‎ ‎∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小;‎ ‎ 当h1=时,S取得最小值;‎ 当<h1<时,S随h1的增大而增大.‎ ‎3. (2011福建福州,21,12分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.‎ ‎ (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长;‎ ‎(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,‎ ①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.‎ ②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.‎ 图10-1‎ 图10-2‎ 备用图 ‎【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形 ‎∴∥‎ ‎∴,‎ ‎∵垂直平分,垂足为 ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形为平行四边形 又∵‎ ‎∴四边形为菱形 ‎②设菱形的边长,则 ‎ 在中,‎ 由勾股定理得,解得 ‎∴‎ ‎(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形 ‎ ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,‎ ‎∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒 ‎∴,‎ ‎∴,解得 ‎∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.‎ ②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.‎ 分三种情况:‎ i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得 ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得 iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得 综上所述,与满足的数量关系式是 ‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎4. (2011广东广州市,18,9分)‎ ‎ 如图4,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.‎ ‎ 求证:△ACE≌△ACF.‎ 图4‎ A B C D E F ‎【答案】∵四边形ABCD为菱形 ‎∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF,AC=AC ‎∴△ACE≌△ACF(SAS)‎ ‎5. (2011山东滨州,24,10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。‎ ‎(第24题图)‎ ‎【答案】‎ 当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,‎ 四边形AECF是矩形………………2分 证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3,‎ ‎∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5分 同理,FO=CO………………6分 ‎∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2,∠4=∠5,‎ ‎∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°‎ ‎∴∠2+∠4=90°………………9分 ‎∴四边形AECF是矩形………………10分 ‎6. (2011山东济宁,22,8分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,与的比值是多少?‎ 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,所以.可求出和的值,进而可求得与的比值.‎ ‎(1) 请按照小明的思路写出求解过程.‎ ‎(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.‎ ‎(第22题)‎ ‎(1)解:过作直线平行于交,分别于点,, ‎ 则,,.‎ ‎∵,∴. 2分 ‎∴,.‎ ‎∴. 4分 ‎(2)证明:作∥交于点, 5分 则,.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴. 7分 ‎∴. 8分 ‎(第22题)‎ ‎7. (2011山东威海,24,11分)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.‎ ‎(1)若∠1=70°,求∠MNK的度数.‎ ‎(2)△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由.‎ ‎(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值.‎ ‎(备用图)‎ ‎【答案】 解:∵ABCD是矩形,‎ ‎∴AM∥DN,‎ ‎∴∠KNM=∠1.‎ ‎∵∠KMN=∠1,‎ ‎∴∠KNM=∠KMN.‎ ‎∵∠1=70°,‎ ‎∴∠KNM=∠KMN=70°.‎ ‎∴∠MNK=40°.‎ ‎(2)不能.‎ 过M点作ME⊥DN,垂足为点E,则ME=AD=1,‎ 由(1)知∠KNM=∠KMN.‎ ‎∴MK=NK.‎ 又MK≥ME,‎ ‎∴NK≥1.‎ ‎∴.‎ ‎∴△MNK的面积最小值为,不可能小于.‎ ‎(3)分两种情况:‎ 情况一:将矩形纸片对折,使点B与点D重合,此时点K也与点D重合.‎ 设MK=MD=x,则AM=5-x,由勾股定理,得 ‎,‎ 解得,.‎ 即.‎ ‎∴. (情况一)‎ 情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕为 AC.‎ 设MK=AK= CK=x,则DK=5-x,同理可得 即.‎ ‎∴.‎ ‎∴△MNK的面积最大值为1.3. (情况二)‎ ‎8. (2011山东烟台,24,10分)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.‎ ‎(1)求证:AB=BC;‎ A B C D E ‎(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.‎ ‎【答案】(1)证明:连接AC,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴AB2+BC2=AC2.‎ ‎∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.‎ ‎∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,‎ ‎∴AB=BC.‎ ‎(2)证明:过C作CF⊥BE于F.‎ ‎∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形.‎ ‎∴CD=EF.‎ ‎∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF.‎ ‎∴AE=BF.‎ ‎∴BE=BF+EF =AE+CD.‎ ‎9. (2011 浙江湖州,22,8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且 BE=DF.‎ ‎(1) 求证:四边形AECF是平行四边形;‎ ‎(2) 若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长 .‎ ‎【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC,∵BE=DF,‎ ‎∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.‎ ‎(2)∵四边形AECF是,∴AE=CE,∴∠1=∠2,∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90°-∠2,∠4=∠90°-∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE=BC=5.‎ ‎10.(2011宁波市,23,8分)如图,在□ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点,BD是对角线,过A点作AGDB交CB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:DE∥BF;‎ ‎(2)若∠G=90,求证四边形DEBF是菱形.‎ 解:(1)□ABCD 中,AB∥CD,AB=CD ‎∵E、F分别为AB、CD的中点 ‎∴DF=DC,BE=AB ‎∴DF∥BE,DF=BE ‎∴四边形DEBF为平行四边形 ‎∴DE∥BF ‎(2)证明:∵AG∥BD ‎∴∠G=∠DBC=90°‎ ‎∴DBC 为直角三角形 又∵F为边CD的中点.‎ ‎∴BF=DC=DF 又∵四边形DEBF为平行四边形 ‎∴四边形DEBF是菱形 ‎11. (2011浙江衢州,22,10分)如图,中,是边上的中线,过点作,过点作与分别交于点、点,连接 求证:;‎ 当时,求证:四边形是菱形;‎ 在(2)的条件下,若,求的值.‎ ‎(第22题)‎ ‎【答案】.证明:(1)‎ 解法1:因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形,‎ 所以AE//BD且AE=BD,又因为AD是边BC上的中线,所以BD=CD,‎ 所以AE平行且等于CD,所以四边形ADCE是平行四边形,所以AD=EC.‎ 解法2:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)解法1:‎ 证明是斜边上的中线 ‎ ‎ ‎ 又四边形是平行四边形 ‎ 四边形是菱形 解法2‎ 证明:‎ ‎ ‎ ‎ 又四边形是平行四边形 ‎ 四边形是菱形 解法3‎ 证明:‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ 又 四边形是菱形 解法1‎ 解:四边形是菱形 的中位线,则 解法2‎ 解:四边形是菱形 ‎12. (2011浙江省嘉兴,23,12分)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.‎ ‎(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);‎ ‎(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE;‎ ‎② 求证:HE=HG;‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. ‎ ‎(第23题图2)‎ ‎(第23题图3)‎ ‎(第23题图1)‎ ‎【答案】(1)四边形EFGH是正方形.‎ ‎    (2) ①∠HAE=90°+a.‎ 在□ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a;‎ ‎∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°,‎ ‎∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a.‎ ‎②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形,∴AE=AB,DG=CD,‎ 在□ABCD中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE.‎ ‎∵△HAD是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG.‎ ‎③四边形EFGH是正方形.‎ 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,‎ 又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,‎ ‎∴四边形EFGH是正方形.‎ ‎13. (2011福建泉州,21,9分)如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A‎1C1D1.‎ ‎(1)证明:△A1AD1≌△CC1B;‎ ‎(2)若∠ACB=30°,试问当点C1在线段AC上的什么位置时,四边形ABC1D1是菱形. (直接写出答案)‎ ‎【答案】‎ ‎∵矩形ABCD ‎ ‎∴BC=AD,BC∥AD ‎∴∠DAC=∠ACB ‎∵把△ACD沿CA方向平移得到△A‎1C1D1.‎ ‎∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1‎ ‎∴∠A1=∠ACB,A1D1=CB。‎C B A D A1‎ C1‎ D1‎ ‎(第21题)‎ ‎∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。……………6分 当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形,……………9分 ‎14. (2011甘肃兰州,27,12分)已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。‎ ‎(1)求证:四边形AFCE是菱形;‎ ‎(2)若AE=‎10cm,△ABF的面积为‎24cm2,求△ABF的周长;‎ ‎(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。‎ A B C D E F O ‎【答案】(1)由折叠可知EF⊥AC,AO=CO ‎∵AD∥BC ‎∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO ‎∴△AOE≌△COF ‎∴EO=FO ‎∴四边形AFCE是菱形。‎ ‎(2)由(1)得AF=AE=10‎ 设AB=a,BF=b,得 a2+b2=100 ①,ab=48 ②‎ ‎①+2×②得 (a+b)2=196,得a+b=14(另一负值舍去)‎ ‎∴△ABF的周长为‎24cm ‎(3)存在,过点E作AD的垂线交AC于点P,则点P符合题意。‎ A B C D E F O P 证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE ‎∴△AOE∽△AEP ‎∴,得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP 又AC=2AO ‎∴2AE2=AC·AP ‎15. ‎ ‎(2011广东株洲,23,8分)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点, PO的延长线交BC于Q.‎ ‎(1)求证: OP=OQ;‎ ‎(2)若AD=‎8厘米,AB=‎6厘米,P从点A出发,以‎1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.‎ ‎【答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC, ‎ ‎∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB, ‎ ‎∴△POD≌△QOB, ‎ ‎∴OP=OQ。 ‎ ‎(2)解法一: PD=8-t ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,‎ ‎∵AD=‎8cm,AB=‎6cm,∴BD=‎10cm,∴OD=‎5cm. ‎ 当四边形PBQD是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB,‎ ‎∴△ODP∽△ADB, ‎ ‎∴,即, ‎ 解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. ‎ 解法二:PD=8-t ‎ 当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(8-t)cm, ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在RT△ABP中,AB=‎6cm, ‎ ‎∴, ∴, ‎ 解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. ‎ ‎16. (2011江苏苏州,28,9分)(本题满分9分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1‎ 处;小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°,点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处).‎ 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.‎ 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;小慧又将正方形纸片AO‎1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°,……,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:‎ 问题①:若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程;‎ 问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是π?‎ 请你解答上述两个问题.‎ ‎【答案】解问题①:如图,正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段弧,即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3,‎ ‎∴顶点O运动过程中经过的路程为 ‎.‎ 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 ‎=1+π.‎ 正方形OABC经过5次旋转,顶点O经过的路程为 ‎.‎ 问题②:∵方形OABC经过4次旋转,顶点O经过的路程为 ‎∴π=20×π+π.‎ ‎∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.‎ ‎17. (2011江苏泰州,24,10分)如图,四边形ABCD是矩形,直线L垂直平分线段AC,垂足为O,直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.‎ ‎(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?‎ ‎(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC,所以AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA.‎ ‎(2)四边形AFCE是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,‎ 又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又AE∥CF,‎ ‎∴四边形AFCE为平行四边形,又AF=FC,所以平行四边形AFCE为菱形.‎ ‎18. (2011江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系xoy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.‎ ‎(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;‎ ‎(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;‎ ‎(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在Rt⊿AOB中,OA=AB=,在Rt⊿APB中,PA=AB=。∴点P的坐标为(,)‎ ‎(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°,∴∠MPA=∠NPB,又PA=PB,∴△PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点P都在∠AOB的平分线上;‎ ‎(3)<h≤。当点B与点O重合时,点P到AB的距离为,然后顶点A在x轴正半轴上向左运动,顶点B在y轴正半轴上向上运动时,点P到AB的距离逐渐增大,当∠BAO=45°时,PA⊥x轴,这时点P到AB的距离最大为,然后又逐渐减小到,∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ,‎ ‎∴点P到x轴的距离的取值范围是<h≤。‎ ‎19. (2011山东济宁,17, 5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和点F,求证:四边形BEDF是菱形.‎ 第17题 ‎【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD∥BC,OB=OD,…………………………………………1分 ‎∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,…………………………2分 ‎∴△OED≌△OFB,‎ ‎∴DE=BF,………………………………………………………3分 又∵DE∥BF,‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形,………………………………4分 ‎∵EF⊥BD,‎ ‎∴四边形BEDF是菱形.………………………………………5分 ‎20.(2011山东聊城,25,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=‎12cm,BC=‎8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为‎2cm/s,点F的速度为‎4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2).‎ ‎(1)当t=1秒时,S的值是多少?‎ ‎(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.‎ ‎(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似?请说明理由.‎ ‎【答案】(1)如图甲,当t=1秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,‎ 由S=S梯形EGCG-SEBF-SFCG=(10+2)×8-×10×4-×4×2=24‎ ‎(2)如图(甲),当0≤t≤2时,点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动,‎ 此时AE=2t,EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2)‎ ‎(3)如图乙,当点F追上点G时,4t=2t=8,解得t=4,‎ 当2<t≤4时,CF=4t-8,CG=2t,FG=CG-CF=8-2t,即S=-8t+32(2<t≤4),‎ ‎(3)如图(甲),当点F在矩形的边BC上移动时,0≤t≤2,在EFF和FCG中,B=C ‎=90,,①若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF②若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF,‎ 综上知,当t=或时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 ‎21. (2011山东潍坊,18,8分)已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.‎ ‎(1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值;‎ ‎(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.‎ ‎ ‎ ‎【解】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.‎ ‎∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.‎ 又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.‎ ‎∴PE+PF=OF+FB=OB=.‎ ‎(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.‎ ‎∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.‎ 又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.‎ ‎∴PE-PF=OF-BF= OB=.‎ ‎22. (2011四川广安,23,8分)如图5所示,在菱形ABCD中,∠ABC= 60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE=BE 图5‎ ‎【答案】证明:∵ABCD是菱形,∠ABC= 60°‎ ‎ ∴BC=AC=AD ‎ 又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形 ‎ ∴CE=AD=BC DE=AC ‎ ∴DE=CE=BC ‎ ∴DE=BE ‎23. (2011江苏南京,21,7分)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.‎ ‎⑴求证:△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎【答案】证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC.‎ 在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF.‎ ‎(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形.‎ 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.‎ 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.‎ 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.‎ ‎∴口ABEC是矩形.‎ ‎24. (2011江苏南通,26,10分)(本体满分10分)‎ ‎ 已知:如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连结EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△(如图2).‎ (1) 探究AE′与BF'的数量关系,并给予证明;‎ (2) 当α=30°时,求证:△AOE′为直角三角形.‎ ‎【答案】(1)AE′=BF 证明:如图2,‎ ‎∵在正方形ABCD中, AC⊥BD ‎∴∠=∠AOD=∠AOB=90°‎ 即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′‎ ‎∴∠AOE′=∠BOF′‎ 又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA ‎∴OE′=OF′‎ ‎∴△OAE′≌△OBF′‎ ‎∴AE′=BF ‎(2)作△AOE′的中线AM,如图3.‎ ‎ 则OE′=2OM=2OD=2OA ‎ ∴OA=OM ‎ ∵α=30°‎ ‎ ∴∠AOM=60°‎ ‎ ∴△AOM为等边三角形 ‎∴ MA=MO=ME′,∠=∠‎ 又∵∠+∠=∠AMO 即2∠=60°‎ ‎∴∠=30°‎ ‎∴∠+∠AOE′=30°+60°=90°‎ ‎∴△AOE′为直角三角形.‎ ‎25. (2011山东临沂,22,7分)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F ‎(1)求证:AC=AD;‎ ‎(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形;‎ ‎【解】(1)证明:∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠BCA,‎ ‎∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B,‎ ‎∵AD平分∠FAC,‎ ‎∴∠FAD=∠B,‎ ‎∴AD∥BC,……………………………………………………………………(2分)‎ ‎∴∠D=∠DCE,‎ ‎∵CD平分∠ACE,‎ ‎∴∠ACD=∠DCE,‎ ‎∴∠D=∠ACD,………………………………………………………………(3分)‎ ‎∴AC=AD;……………………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)证明:∵∠B=60°,‎ ‎∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°,‎ ‎∴∠DCE=∠B=60°,………………………………………………………(5分)‎ ‎∴DC∥AB,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形,……………………………………………(6分)‎ 又由(1)知AC=AD,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形.……………………………………………………(7分)‎ ‎26. (2011山东临沂,25,11分)如图1,奖三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.‎ ‎ (1)求证:EF=EG;‎ ‎(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求的值.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,‎ ‎ ∴∠DEF=GEB,………………………………………………( 1分)‎ ‎ 又∵ED=BE,‎ ‎ ∴Rt△FED≌Rt△GEB,…………………………………………( 2分)‎ ‎ ∴EF=EG.……………………………………………………( 3分)‎ ‎(2)成立.……………………………………………………………………( 4分)‎ ‎ 证明:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,‎ ‎ 则EH=EI,∠HEI=90°,…………………………………( 5分)‎ ‎ ∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,‎ ‎ ∴∠IEF=∠GEH,……………………………………………( 6分)‎ ‎ ∴Rt△FEI≌Rt△GEH,‎ ‎ ∴EF=EG.………………………………………………………(7分)‎ ‎ ‎ ‎ (3)解:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N ,‎ 则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD,………………………( 8分)‎ ‎ ∴==,‎ ‎ ∴==, …………………………………………(9分)‎ ‎ ∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,‎ ‎ ∴∠FEN=∠GEM,‎ ‎∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………(10分)‎ ‎∴==.…………………………………………(11分)‎ ‎ ‎ ‎27. (2011上海,23,12分)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE.联结BF、CF、AC.‎ ‎(1)求证:四边形ABFC是平行四边形;‎ ‎(2)如果DE2=BE·CE,求证四边形ABFC是矩形.‎ ‎【答案】(1)连接BD.‎ ‎∵DE⊥BC,EF=DE,‎ ‎∴BD=BF,CD=CF.‎ ‎∵在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形.‎ ‎∴BD=AC.‎ ‎∴AC=BF,AB=CF.‎ ‎∴四边形ABFC是平行四边形.‎ ‎(2)∵DE2 =BE·CE,EF=DE,‎ ‎∴EF2 =BE·CE.‎ ‎∴.‎ 又∵DE⊥BC,‎ ‎∴∠CEF=∠FEB=90°.‎ ‎∴△CEF∽△FEB.‎ ‎∴∠CFE=∠FBE.‎ ‎∵∠FBE+∠BFE=90°,‎ ‎∴∠CFE +∠BFE=90°.‎ 即∠BFC=90°.‎ 由(1)知四边形ABFC是平行四边形,‎ ‎∴证四边形ABFC是矩形.‎ 20. ‎(2011四川乐山20,10分)如图,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上 的点,且AE=DF。求证:BE=CF ‎【答案】‎ 证明:∵四边形ABCD为矩形 ‎ ∴OA=OB=OC=OD‎ ‎AB=CD ‎ ∵AE=DF ‎ ∴OE=OF ‎ 在ΔBOE与ΔCOF中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)‎ ‎ ∴BE=CF ‎29. (2011湖南衡阳,26,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合),连结PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.‎ ‎(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;‎ ‎(2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)‎ ‎(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.‎ ‎【解】(1) 假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合(如下图),‎ ‎∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,‎ 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP,‎ 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴,‎ ‎∴,∴或8,∴存在点P使得点Q与点C重合,出此时AP的长2 或8.‎ ‎(2) 如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴,即,∴.‎ ‎∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC,,即,∴.‎ ‎(3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图),‎ ‎∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP,‎ ‎∴PB=DA=4,AP=BQ=,‎ ‎∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:‎ S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=‎ ‎==16(4<≤8).‎ ‎30. (2011贵州贵阳,18,10分)‎ 如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连接EB、EA,延长BE交边AD于点F.‎ ‎(1)求证:△ADE≌△BCE;(5分)‎ ‎(2)求∠AFB的度数.(5分)‎ ‎(第18题图)‎ ‎【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.‎ ‎∵△CDE是等边三角形,‎ ‎∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ‎ ‎∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,‎ ‎∴∠ADE=∠BCE=30°.‎ ‎∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,‎ ‎∴△ADE≌△BCE.‎ ‎(2)∵△ADE≌△BCE,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∴∠BAE=∠ABE.‎ ‎∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE,‎ ‎∴∠DAE=∠AFB.‎ ‎∵AD=CD=DE,‎ ‎∴∠DAE=∠DEA.‎ ‎∵∠ADE=30°,‎ ‎∴∠DAE=75°,‎ ‎∴∠AFB=75°.‎ ‎31. (2011广东肇庆,20,7分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.‎ ‎(1)求证:△BEC≌△DEC;‎ ‎(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB = 140°,求∠AFE的度数. ‎ A B C D E F ‎【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD=CB, ‎ ‎∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA ‎ 又 CE = CE ∴△BEC≌△DEC ‎ ‎(2)∵∠DEB = 140° 由△BEC≌△DEC可得∠DEC =∠BEC=140°¸2=70°, ‎ ‎∴∠AEF =∠BEC=70°,‎ 又∵AC是正方形的对角线, ∠DAB=90° ∴∠DAC =∠BAC=90°¸2=45°, ‎ 在△AEF中,∠AFE=180°— 70°— 45°=65° ‎ ‎32. (2011广东肇庆,22,8分)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.‎ ‎(1)求证:四边形OCED是菱形;‎ ‎(2)若∠ACB=30°,菱形OCED的面积为,求AC的长.‎ A B C D E O ‎【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC ,CE∥OD,∴四边形OCED是平行四边形. ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=OC=BO=OD ‎ ‎∴四边形OCED是菱形. ‎ A B C D E O 图8‎ F ‎(2)∵∠ACB=30° ∴∠DCO = 90°— 30°= 60°‎ 又∵OD= OC, ∴△OCD是等边三角形 ‎ 过D作DF⊥OC于F,则CF=OC,设CF=,则OC= 2,AC=4‎ 在Rt△DFC中,tan 60°= ∴DF=FC× tan 60° ‎ 由已知菱形OCED的面积为得OC× DF=,即 , ‎ ‎ 解得 =2, ∴ AC=4´2=8 ‎ ‎33. (2011湖北襄阳,25,10分)‎ 如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.‎ ‎(1)求证:∠ADP=∠EPB;‎ ‎(2)求∠CBE的度数;‎ ‎(3)当的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由. ‎ 图9‎ ‎【答案】‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD=90° 1分 ‎∵∠DPE=90° ∴∠APD+∠EPB=90°‎ ‎∴∠ADP=∠EPB. 2分 ‎(2)过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠EGP=∠A=90° 3分 又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE,∴△PAD≌△EGP ‎∴EG=AP,AD=AB=PG,∴AP=EG=BG 4分 ‎∴∠CBE=∠EBG=45°. 5分 ‎(3)方法一:‎ 当时,△PFE∽△BFP. 6分 ‎∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF 7分 设AD=AB=a,则AP=PB=,∴BF=BP· 8分 ‎∴,‎ ‎∴ 9分 又∵∠DPF=∠PBF=90°,∴△ADP∽△BFP 10分 方法二:‎ 假设△ADP∽△BFP,则. 6分 ‎∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF 7分 ‎∴, 8分 ‎∴, 9分 ‎∴PB=AP, ∴当时,△PFE∽△BFP. 10分 ‎34. (2011湖南永州,25,10分)探究问题:‎ ‎⑴方法感悟:‎ 如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.‎ 感悟解题方法,并完成下列填空:‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,‎ 因此,点G,B,F在同一条直线上.‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.‎ ‎∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°.‎ 即∠GAF=∠_________.‎ 又AG=AE,AF=AF ‎∴△GAF≌_______.‎ ‎∴_________=EF,故DE+BF=EF. ‎ ‎(第25题)①‎ ‎⑵方法迁移:‎ 如图②,将沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.‎ ‎(第25题)②‎ ‎⑶问题拓展:‎ 如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).‎ ‎(第25题)③‎ ‎【答案】⑴EAF、△EAF、GF.‎ ‎⑵DE+BF=EF,理由如下:‎ 假设∠BAD的度数为,将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,‎ 因此,点G,B,F在同一条直线上.‎ ‎∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=‎ ‎∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=.‎ 即∠GAF=∠EAF 又AG=AE,AF=AF ‎∴△GAF≌△EAF.‎ ‎∴GF=EF,‎ 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF. ‎ ‎(第25题)②解得图 ‎⑶当∠B与∠D互补时,可使得DE+BF=EF.‎ ‎35. (2011江苏盐城,27,12分)‎ 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.‎ 观察图2可知:与BC相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °.‎ 图1 图2‎ 问题探究 如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.‎ 图3‎ 拓展延伸 如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.‎ 图4‎ ‎【答案】情境观察 AD(或A′D),90 ‎ 问题探究 结论:EP=FQ. ‎ 证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.‎ 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. ‎ 拓展延伸 结论: HE=HF. ‎ 理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.‎ ‎∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,‎ ‎∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ = . ‎ 同理△ACG∽△FAQ,∴ = . ‎ ‎∵AB= k AE,AC= k AF,∴ = = k,∴ = . ∴EP=FQ. ‎ ‎∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.‎ ‎36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,‎ 求证:四边形BCDE是菱形.‎ 答案:证明:∵AD⊥BD,‎ ‎∴∠ADB=90°。‎ 又E为AB中点,∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE ‎∴∠ DBE =∠EDB 又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB ‎∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ‎∴BC∥DE.‎ ‎∵EB∥CD ‎∴四边形BCDE是平行四边形 ‎∵BC=CD ‎∴四边形BCDE是菱形。‎ ‎37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. ‎ ‎(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.‎ ‎(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为 ‎“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.‎ ‎①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;‎ ‎②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中 ‎∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)∠B=72°,∠E=36°‎ ‎(2)5个;‎ ‎(3)图略 ‎38. (2011贵州安顺,25,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.‎ ‎⑴说明四边形ACEF是平行四边形;‎ ‎⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.‎ 第25题图 ‎【答案】(1)证明:由题意知∠FDC =∠DCA = 90°.∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ‎∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ‎∴△AEC≌△EAF,∴EF = CA,∴四边形ACEF是平行四边形 .‎ ‎(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形 .‎ 理由是:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=,∵DE垂直平分BC,∴ BE=CE 又∵AE=CE,∴CE=,∴AC=CE,∴四边形ACEF是菱形.‎ ‎39. (2011河北,23,9分)如图12,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.‎ ‎(1)求证:①DE=EG;‎ ‎②DE⊥EG;‎ ‎(2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明);‎ ‎(3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想;‎ ‎(4)当时,请直接写出的值.‎ ‎【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°,‎ 又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.‎ 又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.‎ ‎(2)如图 ‎(3)四边形CEFK为平行四边形。‎ 证明:设CK,DE相交于M点,∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,‎ ‎∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.‎ ‎∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。‎ ‎(4)=‎ ‎40. (2011湖南湘潭市,24,8分)(本题满分8分)‎ 两个全等的直角三角形重叠放在直线上,如图⑴,AB=‎6cm,BC=‎8cm,∠ABC=90°,将Rt△ABC在直线上左右平移,如图⑵所示.‎ ‎⑴ 求证:四边形ACFD是平行四边形;‎ ‎⑵ 怎样移动Rt△ABC,使得四边形ACFD为菱形;‎ ‎⑶ 将Rt△ABC向左平移,求四边形DHCF的面积.‎ 图(1)‎ A(D)‎ B(E)‎ C(F)‎ D 图(2)‎ F E C B A H ‎【答案】 (1)证明:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF,‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形;‎ ‎(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=‎10cm,要使四边形ACFD为菱形,则AC=CF,‎ ‎∴可将Rt△ABC向左平移‎10cm或向右平移‎10cm;‎ ‎(3)在Rt△ABC中,.‎ ‎∴当Rt△ABC向左平移时,EC=BC-BE=8-4=4(cm),‎ 在Rt△HEC中,.‎ ‎∴四边形DHCF的面积为:cm2.‎ ‎41. (2011湖北荆州,19,7分)(本题满分7分)如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连接EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由.‎ ‎【答案】△ABE是等边三角形,理由如下:‎ 因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的 所以△PEA≌△PCD,且AE与DC所夹的锐角为60°‎ 所以AE=DC 又因为四边形ABCD是矩形 所以DC=AB且DC∥AB 所以AE=AB且∠EAB=60°‎ 所以△ABE是等边三角形.‎ ‎ ‎
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