南京市中考数学试题及答案解析

南京市中考数学试题及答案解析

第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 计算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的结果是（ ）‎ A． 7 B． 8 C． 21 D．36‎ ‎【答案】C 考点：有理数的混合运算 ‎2. 计算的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据乘方的意义及幂的乘方，可知=.‎ 故选：C 考点：同底数幂相乘除 ‎3. 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙间学：它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是 （ ）‎ A．三棱柱 B．四棱柱 C． 三棱锥 D．四棱锥 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.‎ 故选：D 考点：几何体的形状 ‎4. 若，则下列结论中正确的是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据二次根式的近似值可知，而，可得1＜a＜4.‎ 故选：B 考点：二次根式的近似值 ‎5. 若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是 （ ）‎ A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 C.是19的算术平方根 D．是19的平方根 ‎【答案】C 考点：平方根 ‎6. 过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）‎ A．（4，） B．（4，3） C.（5，） D．（5，3）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可知，解得r=，因此圆心的纵坐标为，因此圆心的坐标为（4，）.‎ 故选：A 考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎7. 计算： ； ．‎ ‎【答案】3，3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据绝对值的性质，可知|-3|=3，根据二次根式的性质，可知.‎ 故答案为：3，3.‎ 考点：1、绝对值，2、二次根式的性质 ‎8. 2016年南京实现约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 ．‎ ‎【答案】1.05×104‎ 考点：科学记数法的表示较大的数 ‎9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】x≠1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-1≠0，解得x≠1.‎ 故答案为：x≠1.‎ 考点：分式有意义的条件 ‎10. 计算的结果是 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据二次根式的性质化简后合并同类二次根式可得==.‎ 故答案为：.‎ 考点：合并同类二次根式 ‎11. 方程的解是 ．‎ ‎【答案】x=2‎ 考点：解分式方程 ‎12. 已知关于的方程的两根为-3和-1，则 ； ．‎ ‎【答案】4，3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3.‎ 故答案为：4，3.‎ 考点：一元二次方程的根与系数的关系 ‎13. 下面是某市2013~2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年．‎ ‎【答案】2016，2015‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据条形统计图可知私家车拥有最多的年份为2016年，由折线统计图可知2015年的私家车的拥有量增长率最高.‎ 故答案为：2016，2015.‎ 考点：1、条形统计图，2、折线统计图 ‎14. 如图，是五边形的一个外角，若，则 ．‎ ‎【答案】425‎ 考点：1、多边形的内角和，2、多边形的外角 ‎15. 如图，四边形是菱形，⊙经过点，与相交于点，连接，若，则 ．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据菱形的性质可知AD=DC，AD∥BC，因此可知∠DAC=∠DCA，，然后根据三角形的内角和为180°，可知∠DAC=51°，即∠ACE=51°，然后根据等弧所对的圆周角可知∠DAE=∠D=78°，因此可求得∠EAC=78°-51°=27°.‎ 故答案为：27.‎ 考点：1、菱形的性质，2、圆周角的性质，3、三角形的内角和 ‎16. 函数与的图像如图所示，下列关于函数的结论：①函数的图像关于原点中心对称；②当时，y随x的增大而减小；③当时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．‎ ‎【答案】①③‎ 考点：一次函数与反比例函数 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 计算.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据分式的混合运算的法则，可先算括号里面的（通分后相加减），然后把除法转化为乘法，再约分化简即可.‎ 试题解析：‎ ‎.‎ 考点：分式的混合运算 ‎18. 解不等式组 请结合题意，完成本题的解答.‎ ‎（1）解不等式①，得 ，依据是______.‎ ‎（2）解不等式③，得 .‎ ‎（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来.‎ ‎（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别求解两个不等式，系数化为1时可用性质2或性质3，然后画数轴，确定其公共部分，得到不等式组的解集.‎ 考点：解不等式 ‎19. 如图，在中，点分别在上，且相交于点.求证.‎ ‎【答案】证明见解析 试题解析：∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 考点：1、平行四边形的性质，2、全等三角形的判定与性质 ‎20. 某公司共25名员工，下标是他们月收入的资料.‎ 月收入/元 ‎45000‎ ‎18000‎ ‎10000‎ ‎5500‎ ‎4800‎ ‎3400‎ ‎5000‎ ‎2200‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元.‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元.你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由.‎ ‎【答案】（1）3400，3000. （2）利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现最多的为众数；‎ ‎（2）根据表格信息，结合中位数、平均数、众数说明即可.‎ 试题解析：（1）3400，3000.‎ ‎（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，‎ 用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势.‎ 考点：1、中位数，2、众数 ‎21. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：‎ ‎（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；‎ ‎（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率. ‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ 考点：概率 ‎22. “直角”在初中几何学习中无处不在.‎ 如图，已知，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）.‎ 小丽的方法 如图，在上分别取点，以为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若，则.‎ ‎【答案】作图见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图.‎ 方法2：如图②，在上分别取点，以为直径画圆.‎ 若点在圆上，则.‎ 考点：基本作图——作直角 ‎23. 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具.设购买个甲种文具时，需购买个乙种文具.‎ ‎（1）①当减少购买一个甲种文具时， ， ；‎ ‎②求与之间的函数表达式.‎ ‎（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元.甲，乙两种文具各购买了多少个？‎ ‎【答案】（1）①99，2②（2）甲、乙两种文具各购买了60个和80个 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）①根据“每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具”可直接求解；‎ ‎②根据①的结论直接列式即可求出函数的解析式；‎ ‎（2）根据题意列出二元一次方程组求解即可.‎ 考点：1、一次函数，2、二元一次方程组 ‎24. 如图，是⊙的切线，为切点.连接并延长，交的延长线于点，连接，交⊙于点.‎ ‎（1）求证：平分.‎ ‎（2）连结，若，求证.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质和角平分线的概念可证明；‎ ‎（2）根据角平分线的性质可证明△ODB是等边三角形，然后根据平行线的判定得证.‎ 试题解析：（1）如图，连接.‎ ‎∵是⊙的切线，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平分.‎ 又，‎ ‎∴是等边三角形.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 考点：1、圆的切线，2、角平分线的性质与判定，3、平行线的判定 ‎25. 如图，港口位于港口的南偏东方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正西方向的处，它沿正北方向航行5，到达处，测得灯塔在北偏东方向上.这时，处距离港口有多远？‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】35km ‎【解析】‎ 试题分析：过点作，垂足为.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又为的中点，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 因此，处距离港口大约为35.‎ 考点：解直角三角形 ‎26. 已知函数（为常数）‎ ‎（1）该函数的图像与轴公共点的个数是（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.1或2‎ ‎（2）求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.‎ ‎（3）当时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）D（2）证明见解析（3）‎ 试题解析：（1）.‎ ‎（2），‎ 所以该函数的图像的顶点坐标为.‎ 把代入，得.‎ 因此，不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.‎ ‎（3）设函数.‎ 当时，有最小值0.‎ 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.‎ 又当时，；当时，.‎ 因此，当时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是.‎ 考点：二次函数的图像与性质 ‎27. 折纸的思考.‎ ‎【操作体验】‎ 用一张矩形纸片折等边三角形.‎ 第一步，对折矩形纸片（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）.‎ 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，得到.‎ ‎（1）说明是等边三角形.‎ ‎【数学思考】‎ ‎（2）如图④.小明画出了图③的矩形和等边三角形.他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.‎ ‎（3）已知矩形一边长为3，另一边长为.对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围.‎ ‎【问题解决】‎ ‎（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4和1的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 .‎ ‎【答案】（1）是等边三角形（2）答案见解析（3），，；‎ ‎（4）‎ 试题解析：（1）由折叠， ，‎ 因此，是等边三角形.‎ ‎（2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，‎ 如图，以点为中心，在矩形中把逆时针方向旋转适当的角度，得到；‎ 再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上，得到.‎ ‎（3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，‎ ‎ ‎ ‎（4）.‎ 考点：1、规律探索，2、矩形的性质，3、正方形的性质，4、等边三角形