广州市各区中考模拟试题压轴题集锦及答案

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广州市各区中考模拟试题压轴题集锦及答案

‎(白云)25.(本小题满分14分)‎ 如图13,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D为BC边上的动点(D不与B、C重合),∠ADE=45°,DE交AC于点E.‎ B C A D E 图13‎ ‎(1)∠BAD与∠CDE的大小关系为  *  .请证明你的结论;‎ ‎(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长;‎ ‎(4)是否存在x,使△DCE的面积是△ABD面积的2倍?若存在,求出x的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎(白云)25.(本小题满分14分)‎ 解:(1)相等;………………………………………………………………1分 证明如下:∵∠BAC=90°,AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C=45°.如图1,‎ ‎∵∠1+∠B+∠ADB=180°,‎ ‎∴∠1+∠ADB=180°-∠B=135°.‎ 又∵∠2+∠ADE+∠ADB=180°,‎ ‎∴∠2+∠ADB=180°-∠ADE……………………………………2分 ‎=180°-45°=135°,‎ 即∠1+∠ADB=∠2+∠ADB,‎ B C A D E ‎1‎ ‎2‎ 图1‎ ‎∴∠1=∠2;…………………………………………………………………3分 (2) 由(1)知∠1=∠2,又∵∠B=∠C=45°,‎ ‎∴△DCE∽△ABD.………………………………………………………4分 若BD=x,则CD=BC-BD=2-x,‎ 由△DCE∽△ABD得 ‎,即,‎ CE=(2-x)x,‎ ‎=-+x,………………………………………………………5分 y=AE=AC-CE=2-(-+x)‎ ‎∴y=-x+2,…………………………………………………………6分 其中0<x<2;………………………………………………………………7分 (2) ‎∵点D不能与B点重合,∴AD=AE不能成立…………………8分 ‎(或:∵∠ADE=45°,若AD=AE,‎ 则∠AED=ADE=45°,从而∠DAE=90°,‎ 即B与D重合,这与已知条件矛盾).‎ ‎①当AE、DE为腰,即AE=DE时(如图2),‎ ‎∠EAD=∠EDA=45°,此时,AD平分∠BAC,‎ ‎∴D为BC边的中点(“三线合一”性质),‎ 且E也为AC边的中点,∴AE=1;…………………………………………9分 ‎②当AD、DE为腰,即AD=DE时(如图3),‎ 由(1)△ABD∽△DCE知,此时AD与DE为对应边,‎ ‎∴△ABD≌△DCE,DC=AB=2,‎ BD=BC-CD=2-2,AE=AC-EC ‎=2-BD=2-(2-2)=4-2;……………………………10分 综上所述,当△ADE是等腰三角形时,‎ B C A D E 图3‎ AE的长为1或4-2;……………………………………………………11分 B C A D E 图2‎ ‎(4)不存在.……………………………………………………………………12分 原因如下:∵△DCE∽△ABD,若△DCE的 面积是△ABD面积的2倍,则=2,‎ 从而=,CE=BD,-+x=x,‎ 解得x=0,即BD=0,就是说D点与B点重合,…………………………‎ ‎13分 这与已知条件矛盾,‎ ‎∴不存在x,使△DCE的面积是△ABD面积的2倍.……………………14分 ‎(从化)25.(本小题满分14分)‎ 在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ A B C M N P 图12-③‎ O ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ A B C M N D 图12-②‎ O A B C M N P 图12-①‎ O ‎(从化)25.(本小题满分14分)‎ 解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC.‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ AN=x. ……………………………………………………………2分 ‎∴ =.(0<<4) ……………………4分 ‎(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN.‎ A B C M N D 图 2‎ Q O 在Rt△ABC中,BC ==5.‎ ‎ 由(1)知 △AMN ∽ △ABC. ‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ……………………………………………………………6分 过M点作MQ⊥BC 于Q,则. ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ x=. ‎ ‎∴ 当x=时,⊙O与直线B C相切.…………………………………………8分 ‎(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.‎ A B C M N P 图 3‎ O F E ‎∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP. ‎ ‎∴ . AM=MB=2. ‎ 故以下分两种情况讨论: ‎ ‎① 当0<≤2时,. ‎ ‎∴ 当=2时, …………………………………………10分 ‎② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形, ‎ ‎∴ PN∥AM,PN=AM=x. ‎ 又∵ MN∥BC, ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形. ‎ ‎∴ FN=BM=4-x. ‎ ‎∴ . ‎ 又△PEF ∽ △ACB. ‎ ‎∴ .‎ ‎∴ . ………………………………………… 11分 ‎=.……………………12分 当2<<4时,. ‎ ‎∴ 当时,满足2<<4,. ‎ 综上所述,当时,值最大,最大值是2. ……………………………14分 ‎(番禺)25.(本小题满分14分)‎ 图16‎ 如图,已知抛物线与轴交于、,与轴交于点.‎ ‎(1)求此抛物线的函数表达式, 写出它的对称轴;‎ ‎(2)若在抛物线的对称轴上存在一点,使的周长最小, 求点的坐标;‎ ‎(3)若点为线段上的一个不与端点重合的动点, 过点作交于点,连结、,设的面积为,求当点运动到何处时的值最大?‎ ‎(番禺)25.解: (1)抛物线与轴交于点,‎ ‎. 1分 而抛物线过点、, 3分 解得.即此抛物线的函数表达式为. 4分 它的对称轴为直线. 5分 ‎(2)、关于对称轴直线对称, 在对称轴上,‎ ‎ 6分 所以当点共线时, 的周长最小. 7分 直线的解析式是:, 8分 令得.即点的坐标为(-2,-4) 9分 ‎(3)点为线段上的一个不与端点重合的动点, 10分 ‎,‎ ‎,,‎ 而,,即 10分 的面积 11分 即 13分 当时,的值最大, 最大值为. 14分 ‎(省实) 25.(14分)已知二次函数()的图象经过点,,,直线()与轴交于点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)在直线()上有一点(点在第四象限),使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似,求点坐标(用含的代数式表示);‎ ‎(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点,使得四边形为平行四边形?若存在,请求出的值及四边形的面积;若不存在,请说明理由.‎ y x O y x O B A D C ‎(x=m)‎ ‎(F2)F1‎ E1 (E2)‎ ‎(省实)25、(本小题满分14分)‎ ‎ 解:(1)根据题意,得 解得.‎ ‎.‎ ‎(2)当时,‎ 得或,‎ ‎∵,‎ 当时,得,‎ ‎∴,‎ ‎∵点在第四象限,∴.‎ 当时,得,∴,‎ ‎∵点在第四象限,∴.‎ ‎(3)假设抛物线上存在一点,使得四边形为平行四边形,则 ‎,点的横坐标为,‎ 当点的坐标为时,点的坐标为,‎ ‎∵点在抛物线的图象上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴(舍去),‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 当点的坐标为时,点的坐标为,‎ ‎∵点在抛物线的图象上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴(舍去),,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(广雅)25.(本小题满分14分)平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,6),D是BC边上的动点(与点B、C不重合).如图②,将△COD沿OD翻折,得到△FOD;再在AB边上选取适当的点E,将△BDE沿DE翻折,得到△GDE,并使直线DG,DF重合.‎ ‎(1)图①中,若△COD翻折后点F落在OA边上,写出 D、E点坐标,并且 求出直线DE的解析式.‎ ‎(2)设(1)中所求直线DE与x轴交于点M,请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数,在图①的图形中,通过计算验证你的猜想.‎ ‎(3)图②中,设E(10,b),求b的最小值.‎ 图①‎ 图②‎ ‎(广雅)25.解: ‎ ‎(1)据题意可知:D(6,6),E(10,2)‎ 设直线DE的解析式y=kx+b 则 6=6k+b ‎ ‎2=10K+b ∴‎ ‎∴直线DE的解析式:y=-x+12 ‎ ‎(2)直线DE的解析式:y=-x+12‎ 令y=0,得x=12,∴M(12,0)‎ 设过点M(12,0)、C(0,6)且关于y轴对称的抛物线为:y=ax2+c 可求 ‎ 猜想:直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点 证明:直线DE: y=-x+12代入抛物线: ,得:‎ ‎ ‎ 化简得: x2-24x+144=0‎ ‎∴‎ ‎∴直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点 设E(10,b),D(m,6)据题意可知:‎ ‎∠OCD=∠DBE=90°,∠CDO=∠FDO,∠BDE=∠GDE ‎∵∠CDO+∠FDO +∠BDE+∠GDE=180° ∴∠CDO+∠BDE=90°‎ ‎∵∠COD+∠CDO=90° ∴∠COD=∠BDE ‎∴△COD∽△BDE ‎ ‎∴ 据题意,可知:BE=6-b,BD=10-m,‎ ‎(一中)25.(本题满分14分)‎ 如图9,四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M、N分别从D、B同时出发,以1个单位/秒的速度运动,点M沿DA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连结MP。已知动点运动了x秒.‎ ‎(1)请直接写出PN的长;(用含的代数式表示)‎ ‎(2)若0秒≤x≤1秒,试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式,利用函数图象,求S的最大值。‎ ‎(3)若0秒≤x≤3秒,△MPA能否为一个等腰三角形?若能,试求出所有的对应值;若不能,试说明理由.‎ 图9‎ ‎(一中)25.解:⑴;‎ ‎⑵延长NP交AD于点Q,则PQ⊥AD,由⑴得:PN=,‎ 则。‎ 依题意,可得:‎ ‎∵0≤≤1.5 ‎ 即函数图象在对称轴的左侧,函数值S 随着的增大而增大。‎ ‎∴当时,S有最大值 ,S最大=。‎ ‎⑶△MPA能成为等腰三角形,‎ 共有三种情况,以下分类说明:‎ ‎①若PM=PA,‎ ‎∵PQ⊥MA ∴MQ=QA=‎ 又DM+MQ+QA=AD ∴,即 ‎②若MP=MA,则MQ=,PQ=,MP=MA=‎ 在Rt△PMQ中,由勾股定理得:‎ ‎∴,解得:(不合题意,舍去)‎ ‎③若AP=AM,‎ 由题意可得:,AM=‎ ‎∴,解得:‎ 综上所述,当,或,或时,△MPA是等腰三角形。‎ ‎(二中)25.(14分)如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(,0),点B在抛物线上.‎ ‎(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;‎ ‎(2)抛物线的关系式为 ;‎ ‎(3)设(2)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;‎ ‎(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达的位置.请判断点、是否在(2)中的抛物线上,并说明理由.‎ ‎(二中)‎ ‎25. 解: (1)A(0,2), B(,1).‎ ‎(2).‎ ‎(3)如图1,可求得抛物线的顶点D().‎ 设直线BD的关系式为, 将点B、D的坐标代入,求得,,‎ 图1‎ E D C′ ‎ ‎ x A ‎ B′ ‎ B ‎ C ‎ O ‎ y ‎∴ BD的关系式为.‎ 设直线BD和x 轴交点为E,则点E(,0),CE=.‎ ‎∴ △DBC的面积为.‎ ‎(4)如图2,过点作轴于点M,过点B作轴于点N,过点作轴于点P.‎ P 图2‎ M N B ‎ C′ ‎ ‎ x A ‎ B′ ‎ C ‎ O y 在Rt△AB′M与Rt△BAN中,‎ ‎∵ AB=AB′, ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM,‎ ‎∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN.‎ ‎∴ B′M=AN=1,AM=BN=3, ∴ B′(1,‎ 同理△AC′P≌△CAO,C′P=OA=2,AP=OC=1,可得点C′(2,1);‎ 将点B′、C′的坐标代入,可知点B′、C′在抛物线上.‎ ‎(事实上,点P与点N重合)‎ ‎(花都)25. (本小题满分14分)‎ 如图12,直线分别与x轴、y轴交于A、B两点;直线与交于点,与过点且平行于轴的直线交于点.‎ 点从点出发,以每秒1个单位的速度沿轴向 左运动.过点作轴的垂线,分别交直线、‎ 于、两点,以为边向右作正方形.设 正方形与△重叠部分(阴影部分)的面 积为(平方单位),点的运动时间为(秒).‎ ‎(1)求点的坐标. ‎ ‎(2)当时,求与之间的函数关系式.‎ 图12‎ ‎(3)求(2)中的最大值.(2分)‎ ‎(4)当时,直接写出点在正方形内部时的取值范围. ‎ ‎(花都) 25.(本小题满分14分)‎ ‎ ‎ 图12‎ ‎(2)根据题意,得 ‎∴点Q的纵坐标为,点P的纵坐标为,‎ ‎∴.‎ 当在上时,,∴. ‎ 当时,‎ 当时, --------8分 ‎(3)当时, ,∴时, .‎ 当时,,∵时,S随t的增大而减小,‎ ‎∴时, .‎ ‎∵>,∴S的最大值为. --------12分 ‎(4)或. --------14分 ‎(4)的答案供教师参考)‎ 易知:, ‎ ‎①当时,,M,则 可得 综上所述:或.‎ ‎(黄埔)‎(第25题)‎ 25.(本小题满分14分)如图,以1为半径的⊙与以2为半径的⊙内切于点A,直线过点A,且交⊙于另一点B,⊙的弦PQ⊥,交于点K,且,PC∥,QD∥,PC、QD分别交过点的⊙的切线于点C、D ‎(1)求圆心距;‎ ‎(2)求四边形PCDQ的边长;‎ ‎(3)若一动点H由点Q出发,沿四边形的边QP、PC、CD 移动到点D,设动点H移动的路程为x,△DQH的面积为y,‎ 求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围。‎ ‎(黄埔)25.(14分)‎ ‎(1)=1 (2分)‎ ‎(2)∵CD切⊙于,则CD⊥,又PQ⊥,‎ 则CD∥PQ 已知PC∥,QD∥,则PC∥QD,PC⊥QP ‎∵‎ ‎∴PC=PQ 故四边形PCDQ是正方形 (5分)‎ 设正方形PCDQ的边长为x 则, ,由,得 解得,,舍去 ‎∴这个四边形四条边的长都是 (8分)‎ ‎(3)当H点在QP边上移动时,则QH=x ‎∴ () (10分)‎ 当H点在PC边上移动时,‎ ‎∴ () (12分)‎ 当H点在CD边上移动时, ‎ ‎∴ ()‎ 综上所述 ‎ (14分)‎ 萝岗)25.(本小题满分14分)‎ 某经销商用元恰好购进三种新型的电动玩具共套,并且购进的每种玩具都不少于套,设购进种电动玩具套,购进种电动玩具套,三种电动玩具的进价和售价如下表:‎ 电动玩具型号 进价(单位:元/套)‎ 销售价(单位:元/套)‎ 用含、的代数式表示购进C种电动玩具的套数;‎ 求出用的代数式表示的与之间的函数关系式;‎ 假设所购进的电动玩具全部售出,且在购销这批玩具过程中需要另外支出各种费用共元.‎ ‎①求出利润P(元)用的代数式表示P的P与(套)之间的函数关系式;‎ ‎②求出利润的最大值,并写出此时购进三种电动玩具各多少套?‎ ‎(利润=销售收入-购进支出-另外支出)‎ ‎(萝岗)25.(本小题满分14分)‎ 解:(1)购进C种玩具套数为:……………………………………..……..1分 ‎(2)由题意得……………………………….2分 整理得.……………………………………………………………….3分 ‎(3)①利润=销售收入-购进支出-另外支出 ‎…………………………………4分 化简得.…………………………………………………………….5分 ‎②购进C种电动玩具的套数为:.………………………..6分 根据题意列不等式组,得 ‎,……………………………………………………………………9分 解得.………………………………………………………………10分 ‎∴x的范围为,且x为整数.……………………………………..11分 ‎∵是的一次函数,,‎ ‎∴随的增大而增大.………………………………………………………….12分 ‎∴当取最大值23时,有最大值,最大值为595元…………………… …..13分 此时购进A、B、C三种玩具分别为23套、16套、11套………………………14分 ‎(海珠)25.(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,且满足.‎ ‎(1)求点A、点B的坐标;‎ ‎(2)若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动,连结AP,设的面积为,点P的运动时间为秒,求与的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(海珠)25、解:(1)∵,‎ ‎∴,. ‎ ‎∴,. 3分 点,点分别在轴,轴的正半轴上,‎ ‎∴A(1,0),B(0,). 5分 ‎(2)由(1),得AC=4,,.‎ ‎   ∴.‎ ‎∴△ABC为直角三角形,. 7分 设CP=t,则 8分 ‎∴ 10分 ‎ (3)存在,满足条件的的有两个.‎ ‎, 12分 ‎…………………………………………………………………14分
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