2009年天津市高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

2009年天津市高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

‎2009年天津市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. i是虚数单位，‎5i‎2-i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1+2i B.‎-1-2i C.‎1-2i D.‎‎-1+2i ‎2. 设变量x，y满足约束条件：x+y≥3‎x-y≥-1‎‎2x-y≤3‎‎ ‎，则目标函数z＝‎2x+3y的最小值为（ ）‎ A.‎6‎ B.‎7‎ C.‎8‎ D.‎‎23‎ ‎3. 命题“存在x‎0‎‎∈R，‎2x‎2‎-1≤0‎”的否定是（ ）‎ A.不存在x‎0‎‎∈R，‎2x‎0‎‎2‎-1>0‎ B.存在x‎0‎‎∈R，‎‎2x‎0‎‎2‎-1>0‎ C.对任意的x∈R，‎2x‎2‎-1≤0‎ D.对任意的x∈R，‎‎2x‎2‎-1>0‎ ‎4. 设函数f(x)=‎1‎‎3‎x-lnx(x>0)‎，则y=f(x)(‎       ‎‎)‎ A.在区间‎(‎1‎e, 1)‎，‎(1, e)‎内均有零点 B.在区间‎(‎1‎e, 1)‎，‎(1, e)‎内均无零点 C.在区间‎(‎1‎e, 1)‎内无零点，在区间‎(1, e)‎内有零点 D.在区间‎(‎1‎e, 1)‎内有零点，在区间‎(1, e)‎内无零点 ‎5. 阅读程序框图，则输出的S=(‎ ‎‎)‎ A.‎26‎ B.‎35‎ C.‎40‎ D.‎‎57‎ ‎6. 设a>0‎，b>0‎．若‎3‎是‎3‎a与‎3‎b的等比中项，则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为（ ）‎ A.‎8‎ B.‎4‎ C.‎1‎ D.‎‎1‎‎4‎ ‎7. 已知函数f(x)‎＝sin(ωx+π‎4‎)(x∈R, ω>0)‎的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)‎的图象(        )‎ A.向左平移π‎8‎个单位长度 B.向右平移π‎8‎个单位长度 C.向左平移π‎4‎个单位长度 D.向右平移π‎4‎个单位长度 ‎8. 已知函数f(x)=‎x‎2‎‎+4xx≥0,‎‎4x-‎x‎2‎x<0.‎若f(2-a‎2‎)>f(a)‎，则实数a的取值范围是(        )‎ A.‎(-∞, -1)∪(2, +∞)‎ B.‎‎(-1, 2)‎ C.‎(-2, 1)‎ D.‎‎(-∞, -2)∪(1, +∞)‎ ‎9. 设抛物线y‎2‎＝‎2x的焦点为F，过点M(‎3‎, 0)‎的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，‎|BF|‎＝‎2‎，则‎△BCF与‎△ACF的面积之比S‎△BCFS‎△ACF‎=(‎ ‎‎)‎ ‎ 12 / 12‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎7‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎10. ‎0(ax‎)‎‎2‎的解集中的整数恰有‎3‎个，则（ ）‎ A.‎-10)‎的公共弦的长为‎2‎‎3‎，则a=‎________．‎ ‎15. 在四边形ABCD中，AB‎→‎‎=DC‎→‎=(1, 1)‎，‎1‎‎|BA‎→‎|‎BA‎→‎‎+‎1‎‎|BC‎→‎|‎BC‎→‎=‎‎3‎‎|BD‎→‎|‎BD‎→‎，则四边形ABCD的面积是________．‎ ‎16. 用数字‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个（用数字作答）‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17. 已知：‎△ABC中，BC=1‎，AC=‎‎5‎，‎sinC=2sinA ‎（1）求AB的值．‎ ‎（2）求sin(2A-π‎4‎)‎的值．‎ ‎18. 在‎10‎件产品中，有‎3‎件一等品，‎4‎件二等品，‎3‎件三等品．从这‎10‎件产品中任取‎3‎件，求：‎ ‎(I)‎取出的‎3‎件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎(II)‎取出的‎3‎件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ ‎ 12 / 12‎ ‎19. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥‎平面ABCD，AD // BC // FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=‎1‎‎2‎AD，‎ ‎（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（2）证明平面AMD⊥‎平面CDE；‎ ‎（3）求二面角A-CD-E的余弦值．‎ ‎20. 已知函数f(x)=(x‎2‎+ax-2a‎2‎+3a)ex(x∈R)‎，其中a∈R．‎ ‎（1）当a=0‎时，求曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线方程；‎ ‎（2）当a≠‎‎2‎‎3‎时，求函数f(x)‎的单调区间和极值．‎ ‎21. 以知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两个焦点分别为F‎1‎‎(-c, 0)‎和F‎2‎‎(c, 0)(c>0)‎，过点E(a‎2‎c，0)‎的直线与椭圆相交于A，B两点，且F‎1‎A // F‎2‎B，‎|F‎1‎A|=2|F‎2‎B|‎．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F‎2‎B上有一点H(m, n)(m≠0)‎在‎△AF‎1‎C的外接圆上，求nm的值．‎ ‎22. 已知等差数列‎{an}‎的公差为d(d≠0)‎，等比数列‎{bn}‎的公比为q(q>1)‎．设sn‎=a‎1‎b‎1‎+a‎2‎b‎2‎+...+‎anbn，Tn‎=a‎1‎b‎1‎-a‎2‎b‎2‎+...+(-1‎‎)‎n-1‎anbn，n∈‎N‎+‎，‎ ‎(1)‎若a‎1‎‎(2)=b‎1‎(3)=1‎，d=2‎，q=3‎，求S‎3‎的值；‎ ‎(II)‎若b‎1‎‎(6)=1‎，证明‎(1-q)S‎2n-(1+q)T‎2n=‎‎2dq(1-q‎2n)‎‎1-‎q‎2‎，n∈(10)‎N‎+‎；‎ ‎(III)‎若正数n满足‎2≤n≤q，设k‎1‎，k‎2‎，…，kn和l‎1‎，l‎2‎，…，ln是‎1‎，‎2‎，…，n的两个不同的排列，c‎1‎‎=ak‎1‎b‎1‎+ak‎2‎b‎2‎+...+‎aknbn，c‎2‎‎=al‎1‎b‎1‎+al‎2‎b‎2‎+...+‎alnbn证明c‎1‎‎≠‎c‎2‎．‎ ‎ 12 / 12‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年天津市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.D ‎【分析】‎ 解：‎5i‎2-i‎=‎5i(2+i)‎‎5‎=-1+2i，‎ 故选D．‎ ‎2.B ‎【分析】‎ 画出不等式x+y≥3‎x-y≥-1‎‎2x-y≤3‎‎ ‎．表示的可行域，如图，‎ 让目标函数表示直线y=-‎2x‎3‎+‎z‎3‎在可行域上平移，‎ 知在点B自目标函数取到最小值，‎ 解方程组x+y=3‎‎2x-y=3‎‎ ‎得‎(2, 1)‎，‎ 所以zmin＝‎4+3‎＝‎7‎，‎ ‎3.D ‎【分析】‎ 解：结论的否定形式为：‎‎2x‎2‎-1>0‎ ‎∴ 原命题的否定为：D．‎ 故选D．‎ ‎4.C ‎【分析】‎ 解：由题得f'(x)=‎x-3‎‎3x，‎ 令f'(x)>0‎得x>3‎；‎ 令f'(x)<0‎得‎00‎，‎ f(e)=e‎3‎-1<0‎‎，f(‎1‎e)=‎1‎‎3e+1>0‎．‎ 故选C．‎ ‎5.C ‎【分析】‎ 解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+...+14‎的值 ‎∵ S=2+5+8+...+14=40‎．‎ 故选C．‎ ‎6.B ‎【分析】‎ 解：因为‎3‎a‎⋅‎3‎b=3‎，所以a+b=1‎，‎ ‎1‎a‎+‎1‎b=(a+b)(‎1‎a+‎1‎b)=2+ba+ab≥2+2ba‎⋅‎ab=4‎‎，‎ 当且仅当ba‎=‎ab即a=b=‎‎1‎‎2‎时“‎=‎”成立，‎ 故选择B．‎ ‎7.A ‎【分析】‎ 解：由题知ω=2‎，‎ 所以f(x)=sin(2x+π‎4‎)‎ ‎=cos[π‎2‎-(2x+π‎4‎)]‎ ‎=cos(2x-π‎4‎)=cos2(x-π‎8‎)‎‎，‎ ‎∴ f(x+π‎8‎)=cos2(x+π‎8‎-π‎8‎)=cos2x.‎ 故选A.‎ ‎8.C ‎【分析】‎ 解：‎f(x)=‎x‎2‎‎+4x=(x+2‎)‎‎2‎-4‎‎,x≥0‎‎4x-x‎2‎=-(x-2‎)‎‎2‎+4‎‎,x<0‎ 由f(x)‎的解析式可知，f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上是单调递增函数，‎ 再由f(2-a‎2‎)>f(a)‎，得‎2-a‎2‎>a ‎ 即a‎2‎‎+a-2<0‎，解得‎-2(ax‎)‎‎2‎ 即‎(a‎2‎-1)x‎2‎+2bx-b‎2‎<0‎，它的解应在两根之间，‎ 因此应有a‎2‎‎-1>0‎，解得a>1‎或a<-1‎，注意到‎01‎，‎ 故有‎△=4b‎2‎+4b‎2‎(a‎2‎-1)=4a‎2‎b‎2‎>0‎，‎ 不等式的解集为‎-ba-1‎‎1‎，并结合已知条件‎02a-2‎ b<3a-3‎ 又‎02a-2‎ ‎3a-3>0‎ 解得‎1‎‎2‎‎3‎，则‎-2aa-2‎，当x变化时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎的变化情况如下表：‎ x ‎(-∞, a-2)‎ a-2‎ ‎(a-2, -2a)‎ ‎-2a ‎(-2a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f(x)‎在‎(-∞, a-2)‎，‎(-2a, +∞)‎内是增函数，在‎(a-2, -2a)‎内是减函数 函数f(x)‎在x=a-2‎处取得极大值f(a-2)‎，且f(a-2)=(4-3a)‎ea-2‎，‎ 函数f(x)‎在x=-2a处取得极小值f(-2a)‎，且f(-2a)=3ae‎-2a．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解：当a=0‎时，f(x)=‎x‎2‎ex，f‎'‎‎(x)=(x‎2‎+2x)‎ex，故f‎'‎‎(1)=3e，‎ 所以曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线的斜率为‎3e，f(1)=e，‎ 所以该切线方程为y-e=3e(x-1)‎，‎ 整理得：‎3ex-y-2e=0‎．‎ ‎（2）解：‎f‎'‎‎(x)=[x‎2‎+(a+2)x-2a‎2‎+4a]‎ex 令f‎'‎‎(x)=0‎，解得x=-2a，或x=a-2‎．由a≠‎‎2‎‎3‎知，‎-2a≠a-2‎．‎ 以下分两种情况讨论．‎ ‎①若a>‎‎2‎‎3‎，则‎-2aa-2‎，当x变化时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎的变化情况如下表：‎ x ‎(-∞, a-2)‎ a-2‎ ‎(a-2, -2a)‎ ‎-2a ‎(-2a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f(x)‎在‎(-∞, a-2)‎，‎(-2a, +∞)‎内是增函数，在‎(a-2, -2a)‎内是减函数 函数f(x)‎在x=a-2‎处取得极大值f(a-2)‎，且f(a-2)=(4-3a)‎ea-2‎，‎ 函数f(x)‎在x=-2a处取得极小值f(-2a)‎，且f(-2a)=3ae‎-2a．‎ ‎21.（1）解：由F‎1‎A // F‎2‎B且‎|F‎1‎A|=2|F‎2‎B|‎，‎ 得‎|EF‎2‎EF‎1‎|=|F‎2‎BF‎1‎A|=‎‎1‎‎2‎，从而a‎2‎c‎-ca‎2‎c‎+c‎=‎‎1‎‎2‎ 整理，得a‎2‎‎=3‎c‎2‎，故离心率e=ca=‎‎3‎‎3‎ ‎（2）解：由‎(I)‎得b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=2‎c‎2‎，‎ 所以椭圆的方程可写为‎2x‎2‎+3y‎2‎=6‎c‎2‎ 设直线AB的方程为y=k(x-a‎2‎c)‎，即y=k(x-3c)‎．‎ 由已知设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则它们的坐标满足方程组y=k(x-3c)‎‎2x‎2‎+3y‎2‎=6‎c‎2‎ 消去y整理，得‎(2+3k‎2‎)x‎2‎-18k‎2‎cx+27k‎2‎c‎2‎-6c‎2‎=0‎．‎ 依题意，‎‎△=48c‎2‎(1-3k‎2‎)>0，得-‎3‎‎3‎0，得-‎3‎‎3‎‎li，同理可得c‎1‎‎-‎c‎2‎db‎1‎‎<-1‎，因此c‎1‎‎≠‎c‎2‎．综上c‎1‎‎≠‎c‎2‎．‎ ‎【分析】‎ ‎(I)‎解：由题设，可得an‎=2n-1‎，bn‎=‎‎3‎n-1‎，‎n∈‎N‎*‎ 所以，‎S‎3‎‎=a‎1‎b‎1‎+a‎2‎b‎2‎+a‎3‎b‎3‎=1×1+3×3+5×9=55‎ ‎(II)‎证明：由题设可得bn‎=‎qn-1‎则S‎2n‎=a‎1‎+a‎2‎q+a‎3‎q‎2‎+...+‎a‎2nq‎2n-1‎，①‎ T‎2n‎=a‎1‎-a‎2‎q+a‎3‎q‎2‎-a‎4‎q‎3‎+...-‎a‎2nq‎2n-1‎‎，‎ S‎2n‎-T‎2n=2(a‎2‎q+a‎4‎q‎3‎+...-a‎2nq‎2n-1‎)‎ ‎1‎式加上②式，得S‎2n‎+T‎2n=2(a‎1‎+a‎3‎q‎2‎+...+a‎2n-1‎q‎2n-2‎)‎③‎ ‎2‎式两边同乘q，得q(S‎2n+T‎2n)=2(a‎1‎q+a‎3‎q‎3‎+...+a‎2n-1‎q‎2n-1‎)‎ ‎ 12 / 12‎ 所以，‎‎(1-q)S‎2n-(1+q)T‎2n=(S‎2n-T‎2n)-q(S‎2n+T‎2n)‎ ‎=2d(q+q‎3‎+...+q‎2n-1‎)‎ ‎=‎2dq(1-q‎2n)‎‎1-‎q‎2‎，n∈‎N‎*‎ ‎(III)‎证明：‎c‎1‎‎-c‎2‎=(ak‎1‎-al‎1‎)b‎1‎+(ak‎2‎-al‎2‎)b‎2‎+...+(akn-aln)‎bn ‎=(k‎1‎-l‎1‎)db‎1‎+(k‎2‎-l‎2‎)db‎1‎q+...+(kn-ln)db‎1‎qn-1‎ 因为d≠0‎，b‎1‎‎≠0‎，所以c‎1‎‎-‎c‎2‎db‎1‎‎=(k‎1‎-l‎1‎)+(k‎2‎-l‎2‎)q++(kn-ln)‎qn-1‎ 若kn‎≠‎ln，取i=n 若kn‎=‎ln，取i满足ki‎≠‎li且kj‎=‎lj，i+1≤j≤n，‎ 由题设知，‎‎1‎li，同理可得c‎1‎‎-‎c‎2‎db‎1‎‎<-1‎，因此c‎1‎‎≠‎c‎2‎．综上c‎1‎‎≠‎c‎2‎．‎ ‎ 12 / 12‎