高考数学计算试题分类汇编——立体几何

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高考数学计算试题分类汇编——立体几何

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(本小题满分12分)‎ 如图,在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D‎1C1上的点(点E与B1不重合),且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。‎ ‎ (I)证明:AD//平面EFGH;‎ ‎ (II)设AB=2AA1=‎2a。在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E,F分别在棱A1B1‎ ‎, B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值。‎ K^S*5U.C#O ‎(2010全国卷1理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎(2010四川文数)(18)(本小题满分12分)‎ 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小; ‎ ‎(2010湖北文数)18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA。OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1‎ ‎(Ⅰ)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA;‎ ‎(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎(2010山东理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ABC=45°,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:因为ABC=45°,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得:,解得,‎ 所以,即,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥,‎ 又PA,所以,又AB∥CD,所以,又因为 ‎,所以平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则[来源:学+科+网]‎ ‎,又AB∥CD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO⊥平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,所以,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎(2010湖南理数)‎ ‎(2010湖北理数)18. (本小题满分12分)‎ 如图, 在四面体ABOC中, , 且 ‎(Ⅰ)设为为的中点, 证明: 在上存在一点,使,并计算的值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎(2010福建理数)‎ 概率为。‎ ‎(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;‎ ‎(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以,‎ 因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面,‎ 而平面,所以平面平面。K^S*5U.C#O%‎ ‎(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为 ‎=,又因为,‎ 所以=,当且仅当时等号成立,‎ 从而,而圆柱的体积,‎ 故=当且仅当,即时等号成立,‎ 所以的最大值是。K^S*5U.C#O%‎ ‎(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),‎ 因为平面,所以是平面的一个法向量,‎ 设平面的法向量,由,故,‎ 取得平面的一个法向量为,因为,‎ 所以。‎ ‎(2010安徽理数)18、(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在多面体中,四边形是正方形,∥,,,,,为的中点。‎ ‎ (Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小。‎ ‎(2010江苏卷)16、(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。‎ (1) 求证:PC⊥BC;‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900,得CD⊥BC,‎ 又PDDC=D,PD、DC平面PCD,‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD,故PC⊥BC。[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:‎ 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,‎ 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2,BC=1,得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1,所以。‎ 由PC⊥BC,BC=1,得的面积。‎ 由,,得,‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎
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