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文档介绍
江苏专用高考数学总复习专题71不等式关系与不等式解法基本不等式及应用
专题 7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用 【三年高考】 1．【201.7 高考江苏】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买吨，运费为 6 万元/次，一 年的总存储费用为 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ． 【答案】30 【解析】总费用为 ，当且仅当 ，即 时 等号成立． 【考点】基本不等式求最值 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基 本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等 号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 2.【2015 高考江苏，7】不等式 的解集为________. 【答案】 【解析】由题意得： ，解集为 3.【2013 江苏，理 11】已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－4x，则不 等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为__________． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)． 【解析】∵函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x2－4x，则 f(x)＝ ∴原 不等式等价于 或 由此可解得 x＞5 或－5＜x＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．. 4. 【2017 山东，理 7】若 ，且 ，则下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 4x 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x + × = + ≥ × = 900x x = 30x = 2 2 4x x− < ( 1,2).− 2 2 1 2x x x− < ⇒ − < < ( 1,2).− 2 2 4 , 0, 0, 0, 4 , 0, x x x x x x x − > = − − < 2 0, 4 , x x x x > − > 2 0, 4 , x x x x < − − > 0a b> > 1ab = ( )2 1 log2a ba a bb + < < + ( )2 1log2a b a b a b < + < + ( )2 1 log 2a ba a bb + < + < ( )2 1log 2a ba b a b + < + < 【答案】B 【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数 或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知 识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 5 ．【 2017 天 津 ， 理 8 】 已 知 函 数 设 ， 若 关 于 x 的 不 等 式 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】 （当 时取等号）， 2 3, 1, ( ) 2 , 1. x x x f x x xx − + ≤= + > a∈R ( ) | |2 xf x a≥ + 47[ ,2]16 − 47 39[ , ]16 16 − [ 2 3,2]− 39[ 2 3, ]16 − A 2 22 22 2 x x x x + ≥ × = 2x = 所以 ， 综上 ．故选 A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足 转化为 去解决，由于涉及分 段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范 围，利用极端原理，求出对应的的范围. 6．【2017 天津，理 12】若 ， ，则 的最小值为___________. 【答案】 【解析】 ，（前一个等号成立条件是 ， 后 一 个 等 号 成 立 的 条 件 是 ， 两 个 等 号 可 以 同 时 取 得 ， 则 当 且 仅 当 时取等号）. 【考点】均值不等式 【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当 且仅当 时取等号；（2） ， ，当且仅当 时取等号；首先要 注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作 乘法”“1 的妙用”求最值. 7．【2016 高考浙江理数改编】已知 a，b，c 是实数，则下列命题①“若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤ 1，则 a2+b2+c2<100”； ② “ 若 |a2+b+c|+|a2+b–c| ≤ 1 ， 则 a2+b2+c2<100 ”；③ “ 若 |a+b+c2|+|a+b–c2| ≤ 1 ， 则 a2+b2+c2<100”；④“若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则 a2+b2+c2<100”中正确的是 ． 【答案】④ 2 3 2a− ≤ ≤ 47 216 a− ≤ ≤ ( ) 2 xf x a≥ + ( ) ( )2 2 x xf x a f x− − ≤ ≤ − ,a b∈R 0ab > 4 44 1a b ab + + 4 4 2 24 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b ab abab ab ab ab + + +≥ = + ≥ ⋅ = 2 22a b= 1 2ab = 2 22 2,2 4a b= = 2 2, , 2a b R a b ab∈ + ≥ a b= ,a b R+∈ 2a b ab+ ≥ a b= 考点：不等式的性质． 【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个 选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式． 8．【2016 高考上海理数】设 x ,则不等式 的解集为__________. 【答案】 【解析】 试题分析： 由题意得： ，即 ，故解集为 . 考点：绝对值不等式的基本解法. 【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平 方的方法.本题较为容易. 9.【2015 高考陕西，理 9】设 ，若 ， ， ，则 的大小关系是_____________. 【答案】 10.【2015 高考湖北，理 10】设 ， 表示不超过 的最大整数. 若存在实数，使得 ， ，…， 同时成立，则正整数的最大值是_________. 【答案】4 【解析】因为 表示不超过 的最大整数.由 得 ，由 得 ，由 R∈ 13 <−x (2,4) 1 3 1x− < − < 2 4x< < (2,4) ( ) ln ,0f x x a b= < < ( )p f ab= ( )2 a bq f += 1 ( ( ) ( ))2r f a f b= + , ,p q r p r q= < x∈R [ ]x x [ ] 1t = 2[ ] 2t = [ ]nt n= [ ]x x 1][ =t 21 <≤ t 2][ 2 =t 32 2 <≤ t 得 ，所以 ，所以 ，由 得 ，所以 ，由 得 ，与 矛盾，故正整数的最大值是 4. 11.【2015 高考四川，理 9】如果函数 在区 间 上单调递减，则 mn 的最大值为__________. 【答案】18 12.【2015 高考天津，文 12】已知 则当 a 的值为 时 取得最大值. 【答案】4 【2018 年高考命题预测】 纵观 2017 各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查 不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式 形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．对不等式性质的考查，要注意不等式性质 运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，一般是选填题，属于容易题．对不等关系的考查， 要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，一般是选填题，部分 省市在大题中出现，属于容易题或中档题．对不等式解法的考查，主要是二次不等式的解法， 往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查， 会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解． 不 3][ 4 =t 54 4 <≤ t 52 2 <≤ t 52 2 <≤ t 3][ 3 =t 43 3 <≤ t 546 5 <≤ t 5][ 5 =t 65 5 <≤ t 546 5 <≤ t ( ) ( ) ( ) ( )21 2 8 1 0 02f x m x n x m n= − + − + ≥ ≥， 1 22 ， 0, 0, 8,a b ab> > = ( )2 2log log 2a b⋅ 等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解 析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、 函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题．问题多属于中档题甚至是难题， 对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测 2018 年可能有一道选择或者填空出现，考查不 等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，也可能与导数结合出一道解答题． 【2018 年高考考点定位】 高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查 不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函 数、方程等知识的相联系． 【考点 1】不等式性质 【备考知识梳理】 1．不等式的基本性质：（1） （2） （3） ， （4） 2．不等式的运算性质：（１）加法法则： （２）减法法则： ，（３）乘法法则： （４）除法法则： ，（５）乘方法则： （６）开方法则： 【规律方法技巧】 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找 到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识， 比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可 以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【考点针对训练】 a b b a> ⇔ < ,a b b c a c> > ⇒ > a b c a c b+ < ⇔ < − a b a c b c> ⇔ + > + 0 0 0 c ac bc a b c ac bc c ac bc > ⇒ > > = ⇒ = < ⇒ < ,a b c d a c b d> > ⇒ + > + ,a b c d a d b c> > ⇒ − > − 0, 0 0a b c d ac bd> > > > ⇒ > > 0, 0 0a ba b c d d c > > > > ⇒ > > 0 0( , 2)n na b a b n N n> > ⇒ > > ∈ ≥ 0 0( , 2)n na b a b n N n> > ⇒ > > ∈ ≥ 1.如果 ,那么下列不等式① ② ③ ④ 成立的 是 ． 【答案】④ 【解析】因 ，故 ，①错，④正确， ，②错； ，③ 错． 2. 设 ，则下列不等式① ② ③ ④ 成立的是 . 【答案】④ 【解析】取 ，代入可知①②③错，又∵ ，∴ ，故选④. 【考点 2】不等关系 【备考知识梳理】 在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系， 再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等， 用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关 系. 【规律方法技巧】 区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号 表示，而不 等式则是表现两者的不等关系，可用 等式子表示，不等关系 是通过不等式表现． 【考点针对训练】 1.若 a，b，c 为实数，且 ，则下列不等式① ② ③ ④ 正确的是 ． 【答案】④ 【解析】试题分析：因为 ,所以 即 ， 均不成立；当 时， 不成立；故填④. 2.已知定义域为 R 的奇函数 的导函数为 ，当 时， 0a b< < 1 1 a b < 2ab b< 2ab a− < − 1 1 a b − < − 0a b< < 1 1 0b a a b ab −− = > 1 1 a b ⇒ > 2 2( )b ab b b a b ab− = − ⇒ < 2 2 2( ) 0a ab a a b a ab a ab− = − > ⇒ > ⇒ − < − 10 <<< ba 3 3a b> 1 1 a b < 1ba > ( )lg 0b a− < 1 1,4 2a b= = 10 <<< ba ( )0 1 lg 0b a b a< − < ∴ − < ,> < ≠ ≥ ≤， , , ,aa b b b b b> < ≠ ≥ ≤，a , a , a 0a b< < 2 2ac bc< 1 1b a a b 2 2a ab b> > 0a b< < 1 1> , 1, 1,b a a b a b < > 1 1b a a b 2 0c = 2 2ac bc< ( )y f x= ( )y f x′= 0x ≠ ，若 ，则 的大小关 系正确的是______________. 【答案】 【考点 3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】 对于一元二次方程 的两根为 且 ，设 ，它的 解按照 ， ， 可分三种情况，相应地，二次函数 的 图像与 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集. 二次函数 （ ）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【规律方法技巧】 ( ) ( ) 0f xf x x ′ + > ( )1 1 1 1, 2 2 , ln ln2 2 2 2a f b f c f = = − − = , ,a b c a c b< < 2 0( 0)ax bx c a+ + = > 1 2x x、 1 2x x≤ acb 42 −=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 2y ax bx c= + + ( 0)a > x 2 0ax bx c+ + > ( 0)a > 2 0ax bx c+ + < ( 0)a > 2 4b ac∆ = − 0>∆ 0=∆ 0<∆ cbxaxy ++= 2 0>a 2 0 ( 0) ax bx c a + + = > 的根 )(, 2121 xxxx < a bxx 221 −== 的解集)0( 02 > >++ a cbxax { }21 xxxxx >< 或 −≠ a bxx 2 R 的解集)0( 02 > <++ a cbxax { }21 xxxx << ∅ ∅ 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解 集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】 1.已知关于 的不等式 的解集为 ． （1）求 的值； （2）当 时，解关于 的不等式 （用表示）． 的解集为 ，当 时，所求不等式的解集为 ，当 时，所求 不等式的解集为 . 2.若不等式 对任意满足 的实数 恒成立，则实数的最大值 为 ． 【答案】 【考点 4】基本不等式及应用 x 2 3 2 0ax x− + > { }1x x x b< >或 ,a b c∈R x 2 ( ) 0ax ac b x bc− + + < { }2x x c< < 2c < { }2x c x< < 2c = ∅ 2 2 22 ( )y x c x xy− ≥ − 0x y> > ,x y 422 − 【备考知识梳理】 1、 如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”） 推论： （ ） 2、 如果 ， ,则 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 推论： （ ， ）； 3、 【规律方法技巧】 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不 等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项， 并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【考点针对训练】 1.已知正数 a，b，c 满足 3a－b＋2c＝0，则 的最大值为 ． 【答案】 【解析】 ，当且仅当 时取等号，故 的最大值 为 2.设实数 满足 ，则 的最小值是 ． 【答案】 , Ra b∈ 2 2 2a b ab+ ≥ a b= 2 2 ab 2 a b+≤ , Ra b∈ 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ a b= 2ab ( )2 a b+≤ 0a > 0b > 2 2 2( )2 2 a b a b+ +≥ 2 22 ( 0, 0)1 1 2 2 a b a bab a b a b + +≤ ≤ ≤ > > + ac b 6 12 6 3 2 122 3 2 ac ac ac b a c a c = ≤ =+ ⋅ 3 2 2 ba c= = ac b 6 12 ,x y 2 2 14 x y− = 23 2x xy− 6 4 2+ 【解析】令 ，则 ，所以 ，则 ． 【两年模拟详解析】 1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017 届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的 ，都有 ，则实数的取值范围是__________． 【答案】 (或 ) 【解析】整理不等式可得： . 问题等价于在区间 上，过点 斜率为 的直线恒在抛物线 的上方，注意到点 三点共线，据此可得实数 a 的取值 范围是 ，即 1 2 x y t+ = 1 2 x y t − = ( )1 1 1 2 t t x t t y − = + = ， ， 2 2 2 43 2 6 2 6 4 2x xy t t − = + + +≥ 2．【2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】7 【解析】 ，所以 （当且仅当 时取等号） 而 （当且仅当 时取等号），因此 （当且仅当 时取等号），即 的最小值为 7. 3．【南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟】在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 面积的最大值为 ▲ ． a b 2 0ab a b− − = 2 22 1 4 a ba b − + − ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 22 8a b c+ + = ABC∆ 【答案】 【解析】 ， 而 ， 所以 ，当且 仅当 时取等号 4. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】当 时， ，所以 或 ， 解得 或 ，解集为 5. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】不等式 （ 且 ）对任 意 恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 ，所以 ，又 ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 ， 因 此 或 6. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】已知不等式 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围为 ． 2 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 ( ) 1 (8 3 )sin 1 cos ( ) ( )2 2 2 4 2 4ABC a b c cS ab C ab C ab ab∆ + − −= = − = − = − 2 2 2 22 8 2 4 2ab a b c ab c≤ + = − ⇒ ≤ − 2 2 2 2 2 2 2 21 (8 3 ) 1 1 5 (16 5 ) 2 5(4 ) (16 5 )2 4 4 4 52 5ABC c c cS c c c∆ − + −≤ − − = − ≤ = 2 8, 5a b c= = )(xf R 0>x xxxf 42 −=)( xxf >)( ( ) ( )5,0 5,− +∞ 0查看更多