高考数学考试万能工具包第一篇考前必看公式与结论专题1_3跳出10个解题陷阱

高考数学考试万能工具包第一篇考前必看公式与结论专题1_3跳出10个解题陷阱

专题 03 跳出 10 个解题陷阱 “陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情 况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手 编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题. 这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷. 陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质 例 1 【2018 四川省广元市统考】已知 a 是实数， i 是虚数单位，若  2 1 1z a a i    是纯虚数，则 a __________． 易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解. ▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清 楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念. 跟踪集训 【2018 湖北省稳派教育联考】若 0, 0x y  ，则“ 2 2 2x y xy  ”的一个充分不必要条件是 A. x y B. 2x y C. 2,x  且 1y  D. ,x y 或 1y  陷阱二 错用结论——公式定理要记准 例 2 【2018 东北四校联考】已知函数   2sin 2 6f x x      ，现将  y f x 的图象向左平移 12  个单 位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数  y g x 的图象，则  g x 在 50, 24      的值域为（ ） A.  1,2 B.  0,1 C.  0,2 D.  1,0 易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记 错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系. 【答案】A ▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记 相关的规律.如函数 y=f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位,得到函数 y=f(x+m)的图象;若向右平移 m(m>0)个 单位,得到函数 y=f(x-m)的图象.若函数 y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数 y=f 的图象. 跟踪集训 已知函数   22sin 2 2cos 14 8f x x x               ，把函数  f x 的图象向右平移 8  个单位，得到函数  g x 的图象，若 1 2,x x 是   0g x m  在 0, 2      内的两根，则  1 2sin x x 的值为（ ） A. 2 5 5 B. 5 5 C. 5 5  D. 2 5 5  陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记 例 3 已知椭圆 + =1 的半焦距为 c,曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距 离大 c. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线,交于点P,判断 · 是否为定值. 若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由. 易错分析 直线 l 过点 F 交曲线Γ于 A,B 两点,经常设直线 l 的方程为 y=k(x-1),k≠0,漏掉了过点 F 的 直线 l 与 x 轴垂直这一特殊情况,导致错误. 正确解析 (1)因为椭圆 + =1 的半焦距为 c,所以 c= =1, 因为曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1, 所以曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点 F(1,0)的距离等于到直线 x=-1 的距离. 根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线. 设抛物线Γ的方程为 y2=2px(p>0), 所以 =1,解得 p=2,所以曲线Γ的方程为 y2=4x. (2) · 为定值 0.证明如下: ①当过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直时,则直线 l 的方程为 x=1, 根据抛物线的对称性知,点 P 在 x 轴上, 所以 PF⊥AB,所以 · =0. 由 y2=4x(y<0),得 y=-2 ,y'=- ,所以过点 B 的切线 PB 的方程为 y-y2=- (x-x2),即 y=- - ; 由 得 即 P .所以直线 PF 的斜率 kPF= =- , 所以 kPF·k=- ×k=-1, 所以 PF⊥AB. 综上所述, · 为定值,且定值为 0. ▲跳出陷阱 破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度, 还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三 是注意适时转化,如例 3,将判断 · 是否为 0 转化为判断两直线斜率的积是否为-1. 跟踪集训 数列 na 的前 n 项和是 nS ，  1 11,2 n na S a n N    ，则 na  __________． 陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当 例 4 已知函数     2 2 ln 0,f x x x a x x x a R      ． （Ⅰ）求函数  y f x 的单调区间； （Ⅱ）当 1a  时，证明：对任意的 0x  ，   2 2xf x x x e    ． 【解析】（1）函数  f x 的定义域为 0, ，    2 2 af x x a x       1 2x x a x   ， 当 0a  时，  f x 对任意的  0,x  恒成立，所以函数单调递增； 当 x 变化时，  g x 和  g x 变化情况如下表 x  00, x 0x  0,x   g x - 0 +  g x 递减 递增    0ming x g x  0 0 0 0 1ln 2 2xe x xx      ， 因为 0 0x  ，且 0 1x  ，所以  min 2 1 2 0g x    ，因此不等式得证． 易错分析 该题易出现的问题是讨论 f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复 或遗漏. 正确解析 【解析】（1）函数  f x 的定义域为 0, ，    2 2 af x x a x       1 2x x a x   ，   1 0xg x e x    ，此时方程有唯一解 0x ，满足 0 0 1 0xe x   当 x 变化时，  g x 和  g x 变化情况如下表 x  00, x 0x  0,x   g x - 0 +  g x 递减 递增    0ming x g x  0 0 0 0 1ln 2 2xe x xx      ， 因为 0 0x  ，且 0 1x  ，所以  min 2 1 2 0g x    ，因此不等式得证． ▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱. 明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序 为①最高次幂系数是否为 0;②方程 f '(x)=0 是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后 确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与 x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区 间. 【变式训练】 已知    xf x e ax a R   （ e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论  f x 的单调性； （Ⅱ）若  f x 有两个零点 1 2,x x ，求 a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 1 2 2lnx x a  ． 陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏 例 5 用 1,2,3,4,5,6 组成各位数字不重复的六位数,满足 1 不在左、右两端,2,4,6 三个偶数中有且只 有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( ) A.432 B.288 C.216 D.144 易错分析 该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉或错用题中的限制条件. 答案 B 正确解析 解法一:先考虑只有 2,4 相邻,可以用 2,4 相邻的个数减去 2,4 与 6 相邻的个数. 2,4 相邻,把 2,4 捆绑在一起,与另外 4 个数排列(相当于 5 个元素排列),1 不在左、右两侧,则这样的六 位数的个数为 2!·3·4!=144. 第三步,两组偶数插空(1,3,5 全排列后形成 4 个空),不同的方法有 种. 由分步乘法计数原理可得,满足只有两个偶数相邻的排法种数有 =432. 其中 1 在左、右两端的情况: 第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),不同的方法有 种; 第二步,1,3,5 排列,且 1 在两端,不同的方法有 种; 第三步,两组偶数插空(1在两端,两组偶数只能插在1,3,5排好后形成4个空中的3个),不同的方法有 种. 故 1 在左、右两端的排法种数有 =144. 所以满足条件的排法种数有 432-144=288.即满足题意的六位数的个数为 288.故选 B. ▲跳出陷阱 排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些限制条件是解决问题的关键.一般 来说要遵循排列组合的基本策略:先组后排,特殊优先.组合中要注意均分问题,记住相应的规律,如本题有 两个偶数相邻——捆绑法;只有两个相邻,即与第三个偶数不相邻——插空法,明确处理此类问题的基本顺 序,然后逐步求解即可. 【变式训练】 【2018 河南省中原名校联考】已知函数   22sin 4f x x      ，   1 cos 2 4 xg x       的图象在区间 ,2 2m m      上有且只有 9 个交点，记为   , 1,2, ,9i ix y i   ，则   9 1 i i i x y    （ ） A. 9 2  B. 8 C. 9 82   D. 9 92   陷阱六 推理不当——归纳类比要合理 例 6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是:夹在两个 平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等.设由曲线 x2=4y 和直线 x=4,y=0 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的 旋转体为Γ1,由同时满足 x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4 的点(x,y)构成的平面图形绕 y 轴旋转 一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理,通过类比Γ2 可以得到Γ1 的体积为 . 易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共 性,导致错误类比. 答案 32π 正确解析 如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕 y 轴旋转一周得到的旋转体Γ'的体积为 V',则 V'=2 ,两图形绕 y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为 8 的平行平面之间,用任意一个与 y 轴垂直的平面 截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积 S1=π(42-4|y|),S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以 S1=S2,由祖暅原理知,Γ'与Γ2 的体积相等. 因为Γ2 由同时满足 x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4 的点(x,y)构成的平面图形绕 y 轴旋转一 周所得的旋转体,所以它应该为一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为 ·43-2· ·23=64π, 所以Γ1 的体积为 32π. ▲跳出陷阱 类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上 才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键. 【变式训练】【2018 湖北省沙市中学模拟】“求方程 3 4 15 5 x x           的解”有如下解题思路：设   3 4 5 5 x x f x            ，则  f x 在 R 上单调递减，且  2 1f  ，所以原方程有唯一解 2x  .类比上述解题 思路，不等式    6 3 22 2x x x x     的解集是__________． 陷阱七 画图不准——数化“形”要准确 例 7 【2018 河北省定州中学模拟】若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1］时 f(x)=1-x2, 函数   , 0{ 1, 0 lg x xg x x   ,则函数      h x f x g x  在区间［-5，10］内零点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数. 【答案】B 【解析】因为 f(x+2)=f(x)，所以 f(x)周期为 2，，作图可知交点有 14 个，所以选 B. ▲跳出陷阱 该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图 象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、周期性与单调性等.如该题中 的函数 y=f(x),根据题意知,该函数图象既有对称中心,又有对称轴,所以该函数也具有周期性——其周期就 是对称中心到相邻对称轴距离的 4倍,所以该函数的周期为T=2×4=8.所以,可以利用周期性作出函数在已知 区间之外的图象. 【变式训练】设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(2＋x)＝f(2－x)，当 x∈[－2,0)时，f(x)＝ 2 2 x      －1， 若关于 x 的方程 f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0 且 a≠1)在区间(－2,6)内恰有 4 个不等的实数根，则实数 a 的 取值范围是( ) A. 1 ,14      B. (1,4) C. (1,8) D. (8，＋∞) 陷阱八 计算跳步——步骤过程要合理 例 8 如图所示的四棱锥 A-BCDE,四边形 BCDE 是边长为 3 的正方形,AE⊥平面 BCDE,AE=3,P 是边 DE 上 的一个动点,连接 PA,PC. (1)若点 Q 为棱 AC 的中点,是否存在点 P,使得 PQ∥平面 AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理 由; (2)当 EP= ED 时,求平面 AEB 和平面 APC 所成二面角的正弦值. 易错分析 求平面法向量时,常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法 向量有误;求平面 AEB 和平面 APC 所成二面角的正弦值时,易与求直线与平面所成角相混淆,导致所求的结果 出错. 正确解析 (1)当 P 为 DE 的中点时,PQ∥平面 AEB. 理由如下: 取 AB 的中点 M,连接 EM,QM,如图所示. 由 Q 为 AC 的中点,得 MQ∥BC,且 MQ= BC, (2)因为 AE⊥平面 BCDE,BE⊥DE,所以以 E 为原点,EB,ED,EA 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, 因为四边形 BCDE 是边长为 3 的正方形,EP= ED,AE=3, 所以 B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0). 所以 =(3,1,0), =(0,-2,3). 易知平面 AEB 的一个法向量为 n1=(0,1,0), 设平面 APC 的法向量为 n2=(x,y,z), 由 得 取 y=3,得平面 APC 的一个法向量为 n2=(-1,3,2), 所以|cos|= = , 设平面 AEB 和平面 APC 所成的二面角为θ, 则 sin θ= = , 所以平面 AEB 和平面 APC 所成二面角的正弦值为 . ▲跳出陷阱 求两个平面所成角的正弦值需注意两处运算:一是求平面法向量,此时一定要认真求出点 的坐标,利用“终减起”,求出向量的坐标,再通过联立方程,求出法向量的坐标;二是求两个平面所成角的 正弦值,先计算两个平面所成角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系式,即可得结论. 【变式训练】 【2018 吉林省实验中一模】已知数列 na 中，  * 1 11, 3 n n n aa a n Na   ． （Ⅰ）求 na 的通项公式 na ； （Ⅱ）数列 nb 满足  3 1 2 n n nn nb a    ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ， 若不等式  11 2 n n n nT    对一 切 *n N 恒成立，求  的取值范围． 陷阱九 转化不当——由此及彼要等价 例 9 【2018 甘肃省张掖市一模】已知函数    2 xf x ax e a R   . （1）若曲线  y f x 在 1x  处的切线与 y 轴垂直，求  y f x  的最大值； （2）若对任意 1 20 x x  都有        2 2 1 12 2ln2 2 2ln2f x x f x x     ，求 a 的取值范围. 易错分析 该题易出现的问题是不能根据已知条件转化为函数单调性求解. 【解析】（1）由   2 xf x ax e   ，得，  1 2 0 2 ef a e a     ， 从而    2 2 2ln2 0xh x ax e     在 0, 上恒成立， 令    2 2 2ln2 xF x ax e    ，则   2 xF x a e  ， 当 1 2a  时，   0F x  ，所以函数  F x 在 0, 上单调递减，则    max 0 1 2ln2 0F x F    ， 当 1 2a  时，   2 0F x a ex    ，得 ln2x a ，所以函数  F x 在 0,ln2a 上单调递增，在 ln2 ,a  上单调递减，则    max ln2 2 2 2 2ln2 2 0F x F a alo a a      ，即 2 ln2 2 2ln2 2a a a   ， 通过求函数 lny x x x  的导数可知它在 1, 上单调递增，故 1 12 a  ， 综上，实数 a 的取值范围是  ,1 . ▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要 对式子进行等价变形,如该题中的第(2)问根据不等式结构特征，转化为函数具有单调性。 【变式训练】【2018 湖北省襄阳市调研】已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量， 2a i j b i j   ， ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A. 2 22 3 3              ， ， B. 1 2      ， C.   12 2 2        ， ， D. 1 2     ， 陷阱十 新定义不明——用新定义要明确 例 10 定义:用[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过 x 的最小整数.例如 [1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论: ①函数 f(x)=[sin x]是奇函数; ②2π是函数 f(x)=[sin x]的周期; ③若 x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)

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