2019年高考数学总复习检测第64讲 圆锥曲线的综合应用

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文档介绍

2019年高考数学总复习检测第64讲 圆锥曲线的综合应用

第64讲 圆锥曲线的综合应用 ‎ ‎ ‎1.(2014·新课标卷Ⅱ) 设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.‎ ‎ (1)根据c=及题设知M(c,),‎ 因为=,所以2b2=3ac,‎ 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,‎ 得2c2+3ac-2a2=0,解得=或=-2(舍去).‎ 故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,‎ 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2) 是线段MF1的中点,‎ 故=4,即b2=4a,①‎ 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.‎ 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 即 ‎ 代入C的方程,得+=1.‎ 将①及c=代入②得+=1,‎ 解得a=7,b2=4a=28,‎ 故a=7,b=2.‎ ‎2.(2016·北京卷)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率;‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎ (1)由题意得a=2,b=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ 又c==,所以离心率e==.‎ ‎(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x+4y=4.‎ 又A(2,0),B(0,1),‎ 所以直线PA的方程为y=(x-2).‎ 令x=0,得yM=-,从而|BM|=1-yM=1+.‎ 直线PB的方程为y=x+1.‎ 令y=0,得xN=-,‎ 从而|AN|=2-xN=2+.‎ 所以四边形ABNM的面积 S=|AN|·|BM|‎ ‎= ‎= ‎==2.‎ 从而四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎3.(2017·湖南省六校联考)在圆x2+y2=1上任取一个动点P,作PQ⊥x轴于Q,M满足=2,当P在圆上运动时,M 的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)曲线C与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B,直线y=kx(k>0)与曲线C交于E,F,当四边形AEBF面积最大时,求k的值.‎ ‎ (1)设M(x,y),P(x0,y0),‎ 则 得 ‎ 而P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,‎ 即x+y=1,故x2+=1,此即曲线C的方程.‎ ‎(2)由(1)知A(1,0),B(0,2),‎ 则直线AB的方程为2x+y-2=0.‎ 设E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即当k=2时,上式取等号,‎ 所以当四边形AEBF面积最大时,k=2.‎ ‎4.(2017·浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A(-,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(-
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