2019年高考数学总复习检测第35讲 数列的概念及其表示法
第 35 讲 数列的概念及其表示法
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n，第 k 项满足 5
an－1 B．anan－1.
3．已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么 a100＝(A)
A．9900 B．9090
C．10010 D．10100
因为 an－an－1＝2(n－1)，
所以 an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
因为 a1＝0，所以 an＝n(n－1)．
所以 a100＝100×99＝9900.
4．(2016·河南洛阳模拟)设数列{an}满足 a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n
2(n∈N*)，则数列
{an}的通项公式是(C)
A．an＝ 1
2n B．an＝ 1
2n－1
C．an＝ 1
2n D．an＝ 1
2n＋1
设{2n－1an}的前 n 项和为 Tn，由条件 Tn＝n
2.
当 n≥2 时，2n－1an＝Tn－Tn－1＝n
2－n－1
2 ＝1
2，
所以 an＝
1
2
2n－1＝ 1
2n，
当 n＝1 时，20a1＝a1＝T1＝1
2，所以 a1＝1
2满足上式，
所以 an＝ 1
2n.
5．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项 an＝ 2n＋1－3 .
因为 an＋1＝2an＋3(n≥1)，
所以 an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，
即{an＋3}是以 a1＋3＝4 为首项，2 为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，
所以该数列的通项 an＝2n＋1－3.
6．(2014·新课标卷Ⅱ)数列{an}满足 an＋1＝ 1
1－an，a8＝2，则 a1＝ 1
2 .
由 an＋1＝ 1
1－an，得 an＝1－ 1
an＋1，
因为 a8＝2，所以 a7＝1－ 1
a8＝1－1
2＝1
2，
a6＝1－ 1
a7＝－1，a5＝1－ 1
a6＝2，…，
所以{an}是以 3 为周期的数列，所以 a1＝a7＝1
2.
7．(2016·新课标卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋
1＝0.
(1)求 a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
(1)由题意可得 a2＝1
2，a3＝1
4.
(2)由 a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0 得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以an＋1
an ＝1
2.
故{an}是首项为 1，公比为1
2的等比数列，
因此 an＝ 1
2n－1.
8．(2017·安徽黄山二模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，
则 S5＝(D)
A．31 B．42
C．37 D．47
因为 an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，即 Sn＋1－Sn＝Sn＋1，
所以 Sn＋1＋2＝2(Sn＋1)(n∈N*)，
所以数列{Sn＋1}是首项为 3，公比为 2 的等比数列，
所以 S5＋1＝3×24，解得 S5＝47.
9．(2016·广州市模拟)设数列{a n}的各项都是正数，且对任意 n∈N*，都有 4Sn＝a2n＋
2an，其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则数列{an}的通项公式为 an＝ 2n .
因为 4Sn＝a2n＋2an，①
当 n＝1 时，4a1＝a21＋2a1，得 a1＝2.
当 n≥2 时，4Sn－1＝a 2n－1＋2an－1，②
①－②得 4an＝a2n－a 2n－1＋2an－2an－1，
即 2(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)，
因为 an>0，所以 an－an－1＝2.
所以{an}是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 an＝2＋(n－1)×2＝2n.
10．(2018·河北五校高三联考)已知数列{an}满足： 1
a1＋ 2
a2＋…＋ n
an＝3
8(32n－1)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝log3
an
n ，求 1
b1b2＋ 1
b2b3＋…＋ 1
bnbn＋1.
(1) 1
a1＝3
8(32－1)＝3，
当 n≥2 时，因为
n
an＝( 1
a1＋ 2
a2＋…＋ n
an)－( 1
a1＋ 2
a2＋…＋n－1
an－1)＝3
8(32n－1)－3
8(32n－2－1)＝32n－1，
当 n＝1， n
an＝32n－1 也成立，所以 an＝ n
32n－1.
(2)bn＝log3
an
n ＝－(2n－1)．
因为 1
bnbn＋1＝ 1
(2n－1)(2n＋1)＝1
2( 1
2n－1－ 1
2n＋1)，
所以 1
b1b2＋ 1
b2b3＋…＋ 1
bnbn＋1＝1
2[(1－1
3)＋(1
3－1
5)＋…＋( 1
2n－1－ 1
2n＋1)]
＝1
2(1－ 1
2n＋1)＝ n
2n＋1.
