2019年高考数学总复习检测第37讲 等比数列的概念及基本运算

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2019年高考数学总复习检测第37讲 等比数列的概念及基本运算

第37讲 等比数列的概念及基本运算 ‎              ‎ ‎1.(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=(A)‎ A.1 B.±1 ‎ C.2 D.±2‎ ‎ 因为a2a3a4=a=8,所以a3=2,即a1q2=2,‎ 所以a1>0,又a2a3a4=a1q·a1q2·a1q3=a·a1q6=a·a7=8a=8,所以a1=1或a1=-1(舍去),故选A.‎ ‎2.(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(C)‎ A.2 B.1‎ C. D. ‎ 由题意可得a3a5=a=4(a4-1),‎ 所以a4=2,所以q3==8,所以q=2.‎ 所以a2=a1q=.‎ ‎3.(2017·湖南五市十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的(B)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ 若A=B=0,则Sn=0,故数列{an}不是等比数列;‎ 若数列{an}是等比数列,当q=1时,Sn=A+B,所以an=0(n≥2)与数列{an}是等比数列矛盾,所以q≠1,Sn=,‎ 所以A=-,B=,所以A=-B,‎ 因此“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件.‎ ‎4.(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{an}中,a2=,a3=,则=(D)‎ A. B. C. D. ‎ 依题意知等比数列{an}的公比q==,‎ 故===.‎ ‎5.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,则a1= -1 .‎ ‎ 因为a5是a3与a11的等比中项,所以a=a3·a11.‎ 即(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+10d),解得a1=-1.‎ ‎6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6= 126 .‎ ‎ 因为{an}是等比数列,‎ 所以S2,S4-S2,S6-S4成等比数列.‎ 所以=,故S6=126.‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2;‎ ‎(2)求证:数列{an}是等比数列;‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式.‎ ‎ (1)由S1=(a1-1),得 a1=(a1-1),所以a1=-.‎ 又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.‎ ‎(2)证明:当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),‎ 得=-,所以数列{an}是等比数列.‎ ‎(3)由(1)、(2)可知{an}是a1=-,公比为-的等比数列,‎ 所以an=a1·qn-1=-×(-)n-1=(-)n.‎ ‎8.(2017·湖南三湘名校联盟三模)一个等比数列{an}的前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有(B)‎ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 ‎ 设首项为a1,公比为q,共有n项.‎ 前三项的积为aq3=2,‎ 最后三项的积为aq3n-6=4,‎ 两式相乘得aq3(n-1)=8,即aqn-1=2,‎ 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,‎ 所以aq=64.则(aqn-1)n=642,‎ 所以2n=642,所以n=12.‎ ‎9.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20= 50 .‎ ‎ 因为a1a20=a10a11=a9a12=e5,‎ 所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1·a2·…·a20)‎ ‎=ln[(a1·a20)·(a2·a19)·…·(a10·a11)]‎ ‎=ln(e5·e5·…·e5)=ln e50=50.‎ ‎10.(2017·新课标卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.‎ ‎(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若T3=21,求S3.‎ ‎ 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q≠0).‎ ‎(1)由a2+b2=2得d+q=3,①‎ 由a3+b3=5得2d+q2=6.②‎ 联立①和②解得(舍去), 因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.‎ ‎(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.‎ 解得q=-5或q=4.‎ 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.‎ 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.‎
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