人教版数学选修4-5教案全册
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 01 课时 不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远
者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中
息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上
方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖
的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，
需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式
等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不
等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从
引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有 b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)
克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为
a
b
，加入 m 克糖 后的糖水浓度为
ma
mb
，只要证
ma
mb
>
a
b
即可。
怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
0 baba
0 baba
0 baba
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果 a>b，那么 b
b。(对称性)
②、如果 a>b，且 b>c，那么 a>c，即 a>b，b>c a>c。
③、如果 a>b，那么 a+c>b+c，即 a>b a+c>b+c。
推论：如果 a>b，且 c>d，那么 a+c>b+d．即 a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果 a>b，且 c>0，那么 ac>bc；如果 a>b，且 c<0，那么 acb >0，那么
nn ba (nN，且 n>1)
⑥、如果 a>b >0，那么 nn ba (nN，且 n>1)。
三、典型例题：
例 1、已知 a>b，cb-d．
例 2 已知 a>b>0，c<0，求证：
b
c
a
c
。
四、练习：
五、作业：
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 02 课时 含有绝对值的不等式的解法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础
上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下
面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，
化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
0
00
0
xx
x
xx
x
，如果
，如果
，如果
。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第 一 种 类 型 。 设 a 为 正 数 。 根 据 绝 对 值 的 意 义 ， 不 等 式 ax 的 解 集 是
}|{ axax ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a的点的集合是开区间（－a，a），如
图所示。
a 图 1-1 a
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。 设 a为正数。根据绝对值的意义，不等式 ax 的解集是
{ |x ax 或 ax }
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 ),(),,( aa 的并
集。如图 1-2 所示。
– a a
图 1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：
例 1、解不等式 213 xx 。
例 2、解不等式 xx 213 。
方法 1：分域讨论
★方法 2：依题意， xx 213 或 213 xx ，（为什么可以这么解？）
例 3、解不等式 52312 xx 。
例 4、解不等式 512 xx 。
解 本题可以按照例 3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点 x
到 1，2的距离的和大于等于 5。因为 1，2的距离为 1，所以 x在 2的右边，与 2的距离大于等于 2
（＝（5－1） )2 ；或者 x在 1的左边，与 1的距离大于等于 2。这就是说， 4x 或 .1x
例 5、不等式 31 xx > a，对一切实数 x都成立，求实数 a的取值范围。
三、小结：
四、练习：解不等式
1、 .1122 x 2、 01314 x
3、 423 xx . 4、 xx 21 .
5、 1422 xx 6、 212 xx .
7、 42 xx 8、 .631 xx
9、 21 xx 10、 .24 xx
五、作业：
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 03 课时 含有绝对值的不等式的证明
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关
于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1） baba （2） baba
（3） baba （4） )0( b
b
a
b
a
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质 baba 和 )0( b
b
a
b
a
可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；
而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明 baba 对于任意实数都
成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设 a为实数， a和 a 哪个大？
显然 aa ，当且仅当 0a 时等号成立（即在 0a 时，等号成立。在 0a 时，等号不成立）。
同样， .aa 当且仅当 0a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 aa 、 aa 及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例 1、证明 （1） baba ， （2） baba 。
证明（1）如果 ,0 ba 那么 .baba 所以 .bababa
如果 ,0 ba 那么 ).( baba 所以 babababa )()(
（2）根据（1）的结果，有 bbabba ，就是， abba 。
所以， baba 。
例 2、证明 bababa 。
例 3、证明 cbcaba 。
思考：如何利用数轴给出例 3的几何解释？
（设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段 .CBACAB 当且仅当 C
在 A，B之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的，取 c＝0（即 C为原点），就得到例 2的后
半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式 baba 的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例 1，例 2和例 3的
结果来证明。
例 4、已知
2
,
2
cbycax ，求证 .)()( cbayx
证明 )()()()( byaxbayx byax （1）
2
,
2
cbycax ，
∴ cccbyax
22
（2）
由（1），（2）得： cbayx )()(
例 5、已知 .
6
,
4
ayax 求证： ayx 32 。
证明
6
,
4
ayax ，∴
2
3,
2
2 ayax ，
由例 1及上式， aaayxyx
22
3232 。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号
方向相同的不等式。
三、小结：
四、练习：
1、已知 .
2
,
2
cbBcaA 求证： cbaBA )()( 。
2、已知 .
6
,
4
cbycax 求证： cbayx 3232 。
五、作业：
链接：不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和
绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速
而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效
地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式 121 xxx 。
题意即是在数轴上找出到 11 与 22 的距离之和不大于到点 13 的距离的所有流动点
x。
首先在数轴上找到点 11 ， 22 ， 13 （如图）。
3 1x 1 2 2x x
-1 0 1 2 3
从图上判断，在 1 与 2 之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到 1 与 2 的距离和正
好是 1，而到 3 的距离是 )21(1)1(2 xxx 。
现在让流动点 x由点 1 向左移动，这样它到点 3 的距离变，而到点 1 与 2 的距离增大，显然，
合乎要求的点只能是介于 13 与 11 之间的某一个点 1x 。
由 ),1()2()1( 111 xxx 可得 .
3
2
1 x
再让流动点 x由点 2 向右移动，虽然这种点到 1 与 2 的距离的和及到 3 的距离和都在增加，
但两相比较，到 1 与 2 的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点
2x 而止。
由 ),1()2()1( 222 xxx 可得 .42 x 从而不等式的解为 .4
3
2
x
2．画出不等式 1 yx 的图形，并指出其解的范围。
先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
0x ， 0y ， 1 yx .
其图形是由第一象限中直线 xy 1 下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式
1 yx 的图形是以原点 O为中心，四个等点分别在坐标轴上
的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1. 111 xx ; 2． .12 yx
A 组
1．解下列不等式：
（1）
2
132 x （2） 1 743 x
（3） 142 xx （4） xxx
2
122
2．解不等式： （1） 112 xx （2） 1
1
2
x
x
3．解不等式： （1） 321 xx （2） .0312 xx
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式 34 xx < a有解，a要满足什么条件？
5．已知 .
3
,
3
,
3
scCsbBsaA 求证：
（1） scbaCBA )()( ；（2） .)() scbaCBA
6．已知 ., ayax 求证： .axy
7．已知 .0, cychx 求证： .h
y
x
B 组
*****8．求证 .
111 b
b
a
a
ba
ba
*****9．已知 .1,1 ba 求证： .1
1
ab
ba
10．若 , 为任意实数， c为正数，求证： .)11()1( 222
c
c
（ 2222 ，而
2
1
1
22
22
c
c
c
c
）
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 03 课时 指数不等式的解法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
二、典型例题：
例 1、解不等式
)1(332 )
2
1(2
2 xxx
解：原不等式可化为： )1(332 22
2 xxx ∵底数 2>1
∴ )1(3322 xxx 整理得： 062 xx
解之，不等式的解集为{x|-32或
3
2log3x
∴不等式的解集为{x|x>2或
3
2log3x }
例 3、解不等式： )10(,422
aaaa xxx 且
(当 a>1时 ),4()1,( x 当 01时有 2
2
1
23
41
2
1
)12(234
034
012
2
2
x
x
x
x
xxx
xx
x
（其实中间一个不等式可省）
当 01时不等式的解集为
2
2
1 xx ；
当 01时有 0a
∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a, 01时原不等式化为： 2log
2
9)(log 2 xx aa
∴ 0)1log2)(4(log xx aa
∴
2
1log4log xx aa 或 ∴ axax 04或
∴原不等式的解集为 }10,|{ 4 aaxax 或 }1,0|{ 4 aaxaxx 或
三、小结：
四、练习：
解下列不等式
1． )102(log)43(log
3
1
2
3
1 xxx (-21 ax
a
x 110 或 ，
若 01时 mx 221 ∴ mx 2log
2
10
当 m=1时 0)12( 22 x ∴xφ
当 02或 x<1
当 1cot 即=
4
时 xφ
当 )1,0(cot 即(
4
,
2
)时 0232 xx ∴11时 B=[1,a]
当 a>2时 AB
当 1≤a≤2时 AB
当 a≤1时 A∩B仅含一个元素
例 6、方程 )0,10(,0
2
1cos
2
1sin 2 xaaxxa 有相异两实根，求 a的取值范
围。
解：原不等式可化为 01coscos2 2 xxa ，令： xt cos 则 ]1,1[t
设 12)( 2 tattf 又∵a>0
1
4
1
4
1
1
0
8
1
1
4
11
022)1(
02)1(
081
a
aa
a
a
a
a
af
af
a
或
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1． 01log)1(log
2
1
2
2
1 x
a
ax
xa
xaaa
xaa
aa
aa
时
时或当
时或当
1,
)
2
1()
2
1(110
)
2
1()
2
1(011
1
1
2． }13|{ xxxA }0,|1||{ aaxxB 若 BA
求 a的取值范围 (a≥1)
3． )0(,3 22 aaxxa )0
2
( xa
4． )0(,21log axax xa
)01,10( 2222 axaxaaxaa 或时当时当
5．当 a在什么范围内方程： 01log
4
1)4(log 2
22
2 axax 有两个
不同的负根
)24,4()
4
1,0(
6．若方程 05)2(2 mxmx 的两根都对于 2，求实数 m的范围。 4,5
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 07 课时 不等式的证明方法之一：比较法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
0 baba
0 baba
0 baba
二、典型例题：
例 1、设 ba ，求证： )(23 22 babba 。
例 2、若实数 1x ，求证： .)1()1(3 2242 xxxx
证明：采用差值比较法：
2242 )1()1(3 xxxx
= 324242 2221333 xxxxxxx
= )1(2 34 xxx
= )1()1(2 22 xxx
= ].
4
3)
2
1[()1(2 22 xx
,0
4
3)
2
1(,0)1(,1 22 xxx 且从而
∴ ,0]
4
3)
2
1[()1(2 22 xx
∴ .)1()1(3 2242 xxxx
讨论：若题设中去掉 1x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例 3、已知 ,, Rba 求证 .abba baba
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 ba, 对称，不妨设 .0 ba
0)(
0
bababbabba babababa
ba
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设 ,0 ba
,0,1 ba
b
a .1)( ba
ab
ba
b
a
ba
ba
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差
（或作商）、变形、判断符号。
例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时
间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度 n行走。如果 nm ，问甲、乙
两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是 S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 21 , tt 。
要回答题目中的问题，只要比较 21 , tt 的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是 S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 21 , tt ，
根据题意有 Sntmt
22
11 ， 222
t
n
S
m
S
，可得
nm
St
2
1 ，
mn
nmSt
2
)(
2
，
从而
mn
nmS
nm
Stt
2
)(2
21
mnnm
nmmnS
)(2
])(4[ 2
mnnm
nmS
)(2
)( 2
，
其中 nmS ,, 都是正数，且 nm 。于是 021 tt ，即 21 tt 。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果 nm ，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例 5、设 .1,0,12)( 2 qppqxxf 求证；对任意实数 ba, ，恒有
).()()( qbpafbqfapf （1）
证明 考虑（1）式两边的差。
).()()( qbpafbqfapf
＝ ]1)(2[)12()12( 222 qbpabqap
＝ .14)1(2)1(2 22 qppqabbqqapp （2）
,0,1 pqqp
pqabpqbpqa 422)2( 22
.0)(2 2 bapq
即（1）成立。
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1） 2x 与 12 xx ；（2） 12 xx 与
2)1( x .
2．已知 .1a 求证：（1） ;122 aa （2） .1
1
2
2 a
a
3．若 0 cba ，求证 .)( 3
cba
cba abccba
4．比较 a4-b4与 4a3(a-b)的大小．
解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
= - (a-b)2 0
3
2
3
3
22
bba (当且仅当 d＝b时取等号)
∴a4-b4 4a3(a-b)。
5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．
6．已知 x≠0，比较(x2+1)2与 x4+x2+1的大小．
7．如果 x>0，比较 21x 与 21x 的大小．
8．已知 a≠0，比较 1212 22 aaaa 与 11 22 aaaa 的大小．
9．设 x 1，比较 x3与 x2-x+1的大小．
说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”
的常用方法。
阅读材料：琴生不等式
例 5中的不等式 )()()( qbpafbqfapf 有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸
函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。
琴生在 1905年给出了一个定义：
设函数 )(xf 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 21 , xx ，都有
.
2
)()(
2
2121 xfxfxxf
（1）
则称 )(xf 为[a,b]上的凸函数。
若把（1）式的不等号反向，则称这样的 )(xf 为[a,b]上的凹函数。
凸函数的几何意义是：过 )(xfy 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲
线上。
其推广形式是：若函数 )(xf 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 nxxx ,, 21 ，都有
.
)()()( 2121
n
xfxfxf
n
xxx
f nn
（2）
当且仅当 nxxx 21 时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。
更为一般的情况是：设 )(xf 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 21 , xx ，
有 ),()()( 2121 qxpxfxqfxpf
其中 1,, qpRqp ，则称 )(xf 是区间 [a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有
),()()( 2121 qxpxfxqfxpf 则称 )(xf 是[a,b]上的凹函数。
其推广形式 ，设 1,,,, 2121
nn qqqRqqq ， )(xf 是[a,b]上的凸函数，则对任
意 ],,[,,, 21 baxxx n 有 )()()()( 22112211 nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf ，
当且仅当 nxxx 21 时等号成立。
若 )(xf 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于
一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 08 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者
在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路
方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等
式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是
“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐
步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的， ABBA 222 是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：
例 1、 ba, 都是正数。求证： .2
a
b
b
a
证明：由重要不等式 ABBA 222 可得
.22
a
b
b
a
a
b
b
a
本例的证明是综合法。
例 2、设 0,0 ba ，求证 .2233 abbaba
证法一 分析法
要证
2233 abbaba 成立.
只需证 )())(( 22 baabbababa 成立，
又因 0 ba ，
只需证 abbaba 22
成立，
又需证 02 22 baba 成立，
即需证 0)( 2 ba 成立.
而 0)( 2 ba 显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
abbababababa 22222 020)(
注意到 0,0 ba ，即 0 ba ，
由上式即得 )())(( 22 baabbababa ，
从而
2233 abbaba 成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例 3、已知 a，b，m都是正数，并且 .ba 求证： .
b
a
mb
ma
（1）
证法一 要证（1），只需证 )()( mbamab （2）
要证（2），只需证 ambm （3）
要证（3），只需证 ab （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 mab , 是正数，所以 ambm
两边同时加上 ab得 )()( mbamab
两边同时除以正数 )( mbb 得（1）。
读一读：如果用 QP 或 PQ 表示命题 P可以推出命题 Q（命题 Q可以由命题 P推出），
那么采用分析法的证法一就是 （1） ).4()3()2(
而采用综合法的证法二就是 ).1()2()3()4(
如果命题 P可以推出命题 Q，命题 Q也可以推出命题 P，即同时有 PQQP , ，那么我
们就说命题 P与命题 Q等价，并记为 .QP 在例 2中，由于 mbmb ,, 都是正数，实际上
).4()3()2()1(
例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的
水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 L，则
周长为 L的圆的半径为
2
L
，截面积为
2
2
L
；周长为 L的正方形为
4
L
，截面积为
2
4
L
。所以
本题只需证明
22
42
LL
。
证明：设截面的周长为 L，则截面是圆的水管的截面面积为
2
2
L
，截面是正方形的水管的
截面面积为
2
4
L
。只需证明：
22
42
LL
。
为了证明上式成立，只需证明
164
2
2
2 LL
。
两边同乘以正数 2
4
L
，得：
4
11
。
因此，只需证明 4 。
上式显然成立，所以
22
42
LL
。
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的
水管比横截面是正方形的水管流量大。
例 5、证明： cabcabcba 222
。
证法一 因为 abba 222 （2）
bccb 222 （3）
caac 222 （4）
所以三式相加得 )(2)(2 222 cabcabcba （5）
两边同时除以 2即得（1）。
证法二 因为 ,0)(
2
1)(
2
1)(
2
1)( 222222 accbbacabcabcba
所以（1）成立。
例 6、证明： .)())(( 22222 bdacdcba （1）
证明 （1） 0)())(( 22222 bdacdcba （2）
0)2( 222222222222 dbabcdcadbdacbca （3）
022222 abcddacb （4）
0)( 2 adbc （5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例 7、已知 cba ,, 都是正数，求证 .3333 abccba 并指出等号在什么时候成立？
分析：本题可以考虑利用因式分解公式
))((3 222333 cabcabcbacbaabccba
着手。
证明： abccba 3333
= ))(( 222 cabcabcbacba
= ].)()())[((
2
1 222 accbbacba
由于 cba ,, 都是正数，所以 .0 cba 而 0)()()( 222 accbba ，
可知 03333 abccba
即 abccba 3333 （等号在 cba 时成立）
探究：如果将不等式 abccba 3333 中的
333 ,, cba 分别用 cba ,, 来代替，并在两边同除以
3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：
27)1)(1)(1( accbba ，其中 cba ,, 是互不相等的正数，且 1abc .
三、小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或
代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都
和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、练习：
1、已知 ,0x 求证： .21
x
x
2、已知 ,,0,0 yxyx 求证 .411
yxyx
3、已知 ,0 ba 求证 .baba
4、已知 .0,0 ba 求证：
（1） .4))(( 11 baba
（2） .8))()(( 333322 babababa
5、已知 dcba ,,, 都是正数。求证：
（1） ;
2
cdabdcba
（2） .
4
4 abcddcba
6、已知 cba ,, 都是互不相等的正数，求证 .9))(( abccabcabcba
五、作业：
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 09 课时 不等式的证明方法之三：反证法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻
辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用
间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，
或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接
证明命题“若 p则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，
而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：
例 1、已知 0 ba ，求证： nn ba （ Nn 且 1n ）
例 1、设 233 ba ，求证 .2 ba
证明：假设 2 ba ，则有 ba 2 ，从而
.2)1(68126
,6128
2233
323
bbbba
bbba
因为 22)1(6 2 b ，所以 233 ba ，这与题设条件 233 ba 矛盾，所以，原不
等式 2 ba 成立。
例 2、设二次函数 qpxxxf 2)( ，求证： )3(,)2(,)1( fff 中至少有一个不小于
2
1
.
证明：假设 )3(,)2(,)1( fff 都小于
2
1
，则
.2)3()2(2)1( fff （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2)39()24(2)1(
)3()2(2)1()3()2(2)1(
qpqpqp
ffffff
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用
反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果
与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述
两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例 3、设 0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
4
1
证：设(1 a)b >
4
1
, (1 b)c >
4
1
, (1 c)a >
4
1
,
则三式相乘：ab < (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a <
64
1
①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
4
1
2
)1()1(0
2
aaaa
同理：
4
1)1( bb ,
4
1)1( cc
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤
64
1
与①矛盾
∴原式成立
例 4、已知 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由 a + b + c > 0, 则 b + c = a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若 a = 0，则与 abc > 0矛盾， ∴必有 a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
三、小结：
四、练习：
1、利用反证法证明：若已知 a，b，m都是正数，并且 ba ，则 .
b
a
mb
ma
2、设 0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于 1
3、若 x, y > 0，且 x + y >2，则
x
y1
和
y
x1
中至少有一个小于 2。
提示：反设
x
y1
≥2，
y
x1
≥2 ∵x, y > 0，可得 x + y ≤2 与 x + y >2矛盾。
五、作业：
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 10 课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，
再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方
法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：
例 1、若 n是自然数，求证 .21
3
1
2
1
1
1
2222
n
证明： .,,4,3,2,1
1
1
)1(
11
2 nk
kkkkk
nnn
)1(
1
32
1
21
1
1
11
3
1
2
1
1
1
2222
= )1
1
1()
3
1
2
1()
2
1
1
1(
1
1
nn
= .212
n
注意：实际上，我们在证明 21
3
1
2
1
1
1
2222
n
的过程中，已经得到一个更强的结论
nn
121
3
1
2
1
1
1
2222 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例 2、求证： .3
321
1
321
1
21
1
1
11
n
证明：由 ,
2
1
2221
1
321
1
1
kk
（ k是大于 2的自然数）
得
n
321
1
321
1
21
1
1
11
.3
2
13
2
11
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
111 1132
n
n
n
例 3、若 a, b, c, dR+，求证： 21
cad
d
bdc
c
acb
b
dba
a
证：记 m =
cad
d
bdc
c
acb
b
dba
a
∵a, b, c, dR+
∴ 1
cbad
d
badc
c
acba
b
dcba
am
2
cd
d
dc
c
ba
b
ba
am
∴1 < m < 2 即原式成立。
例 4、当 n > 2 时，求证： 1)1(log)1(log nn nn
证：∵n > 2 ∴ 0)1(log,0)1(log nn nn
∴
222
2
)1(log
2
)1(log)1(log
)1(log)1(log
nnn
nn nnn
nn
1
2
log
22
nn
∴n > 2时, 1)1(log)1(log nn nn
三、小结：
四、练习：
1、设 n为大于 1的自然数，求证 .
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1
nnnn
2、设 n为自然数，求证 .
!
1)122()52)(32)(12(
nn
n
nnn
五、作业：
A 组
1、对于任何实数 x，求证：
（1）
4
312 xx ；（2） .
4
111 2 xx
2、设 ba ，求证：
（1） )(23 22 babba ；（2） ).(46 224224 baabbbaa
3、证明不等式
3344 abbaba .
4、若 cba ,, 都是正数，求证： .)())(( 2222333 cbacbacba
5、若 ,0 cba 求证 .222 bacacbcba cbacba
6、如果 ba, 同号，且均不为 0. 求证： 2
a
b
b
a
，并指出等号成立的条件.
7、设 cba ,, 是互不相等的正数，求证： .3
c
cba
b
bac
a
acb
8、已知三个正数 cba ,, 的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于 9.
9、若
2
0 ，则 2cossin1 .
10、设
Ryx, ，且 ,1 yx 求证： .9)11)(11(
yx
11、已知 0x ，求证：（1） 1
1
1
2
2
x
x ；（2） 2
2
3
2
2
x
x
.
12、设 ba, 是互不相等的正数，求证： .81122
bab
a
a
b
b
a
a
b
13、已知 ba, 都是正数，求证：
（1） ;9)1)(1( 22 abbaba （2） .9))(( 222222 babaabbaba
14、已知 ,1,1 222222 zyxcba 求证： .1 czbyax
15、已知 ,1,1 2222 yxba 求证： .1 byax
16、已知 dcba ,,, 都是正数，且有 2222 , dcybax
求证： ))(( bcadbdacxy
17、已知 naaaa ,,, 321 都是正数，且 1321 naaaa ，
求证：
n
naaaa 2)1()1)(1)(1( 321
18、设 ABC 的三条边为 ,,, cba 求证 )(2222 cabcabcbacabcab .
19、已知 yxba ,,, 都是正数，设 .,,1 aybxvbyaxuba 求证： .xyuv
20、设 n是自然数，利用放缩法证明不等式 .2
3
1
3
1
2
1
1
1
nnnn
21、若 n是大于 1的自然数，试证 .111
3
1
2
1
1
1
2
1
222 nnn
B 组
22、已知 zyxcba ,,,,, 都是正数，且 ,
c
z
b
y
a
x
求证： .
c
z
cba
zyx
a
x
23、设 0 ba ，试用反证法证明
bxa
bxa
sin
sin
不能介于
ba
ba
与
ba
ba
之间。
24、若 n是自然数，求证 .
4
71
3
1
2
1
1
1
2222
n
链接：放缩法与贝努利不等式
在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式
edcba 里 ed和 都是正数，可以舍掉 ed和 ，从而得到一个明显成立的不等式
cbaedcba .
例如，对于任何 0x 和任何正整数 n，由牛顿二项式定理可得
.
321
)2)(1(
21
)1(1)1( 22 nn xxnnnxnnnxx
舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nxx n 1)1( .
在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当 n是
正整数的时候成立，而且当 n是任何大于 1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。
在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设 1x ，则在 1 或 0 时，
xx 1)1( ，在 10 时， .1)1( xx
阅读材料：贝努利家族小史
在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），
这个家族中的三代人中共出现了 8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。
其中，又以第一代的雅各布•贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（Johann Bernoulli，
1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿
子）最为著名。
在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的
“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解
析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利
数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，
取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。
贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：
（1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的 8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父
辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一
过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的
影响也是不容忽视的重要因素。
（2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术
交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布•贝努利、约翰•贝努利与他们那个时代的大数学家、
微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔•贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交
流成为数学史上的美谈。
（3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家
族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：
一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新
思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。
亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 11 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等
著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 dcba ,,, 均为实数，则
22222 )())(( bdacdcba ，
其中等号当且仅当 bcad 时成立。
证明：
几何意义：设 ， 为平面上以原点 O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ ba, ），
B（ dc, ），那么它们的数量积为 bdac ，
而
22|| ba ，
22|| dc ，
所以柯西不等式的几何意义就是： |||||| ，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 |||||| ，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理 3：（三角形不等式）设 332211 ,,,,, yxyxyx 为任意实数，则：
2
31
2
31
2
32
2
32
2
21
2
21 )()()()()()( yyxxyyxxyyxx
分析：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于 1的自然数， ii ba , （ i 1，2，…，n）为
任意实数，则：
2
11
2
1
2 )(
n
i
ii
n
i
i
n
i
i baba ，其中等号当且仅当
n
n
a
b
a
b
a
b
2
2
1
1 时成立（当 0ia
时，约定 0ib ， i 1，2，…， n）。
证明：构造二次函数：
22
22
2
11 )()()()( nn bxabxabxaxf
即构造了一个二次函数：
n
i
i
n
i
ii
n
i
i bxbaxaxf
1
2
1
2
1
2 )(2)()(
由于对任意实数 x， 0)( xf 恒成立，则其 0 ，
即： 0))((4)(4
1
2
1
22
1
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba ，
即： ))(()(
1
2
1
22
1
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba ，
等号当且仅当 02211 nn bxabxabxa ，
即等号当且仅当
n
n
a
b
a
b
a
b
2
2
1
1 时成立（当 0ia 时，约定 0ib ， i 1，2，…， n）。
如果 ia （ ni 1 ）全为 0，结论显然成立。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式 1 设 ),,,2,1(0, nibiRai
i
i
n
i i
i
b
a
b
a 2
1
2 )(
，等号成立当且仅当
)1( niab ii
变式 2 设 ai，bi同号且不为 0（i=1，2，…，n），则：
ii
i
n
i i
i
ba
a
b
a 2
1
)(
，等号成立当且仅当
nbbb 21 。
二、典型例题：
例 1、已知 122 ba ， 122 yx ，求证： 1|| byax 。
例 2、设 Rdcba ,,, ，求证：
222222 )()( dbcadcba 。
例 3、设 ,, 为平面上的向量，则 |||||| 。
例 4、已知 cba ,, 均为正数，且 1 cba ，求证： 9111
cba
。
方法 1：
方法 2：（应用柯西不等式）
例 5：已知 1a ， 2a ，…， na 为实数，求证：
2
11
2 )(1
n
i
i
n
i
i a
n
a 。
分析：
推论：在 n个实数 1a ， 2a ，…， na 的和为定值为 S时，它们的平方和不小于
21 S
n
，当且仅当
naaa 21 时，平方和取最小值
21 S
n
。
三、小结：
四、练习：
1、设 x1，x2，…，xn>0, 则
11
1
1
n
x
x
x
n
i
in
i i
i
2、设
Rxi （i=1，2，…，n）且 1
11
n
i i
i
x
x
求证:
nji
ji
n
i
i xxx
11
2 ．
3、设 a为实常数,试求函数 )cos(sin)( xaxxf (x∈R)的最大值．
4、求函数 xbxaxf cossin)( 在 )
2
,0(
上的最大值,其中 a，b为正常数．
五、作业：
1、已知： 122 ba ， 222 nm ,证明： 22 bnam 。
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
2、若 Rzyx ,, ，且 zyx = a， 222 zyx =
2
2
1 a )0( a ，求证： zyx ,, 都是不大
于 a
3
2
的非负实数。
证明：由 yxaz 代入
222 zyx =
2
2
1 a
可得 0
2
1)()(22 222 ayaxyax
∵ Rx ∴△≥0 即 0
2
1)(8)(4 2222
ayayya
化简可得 ： 023 2 ayy ∵ 0a ∴ ay
3
20
同理可得： ax
3
20 ， az
3
20
由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能
灵活运用，就能收到事半功倍的效果。
3、设 a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。
4、设 x，y，z为正实数，且 x+y+z=10，求
z
9
y
1
x
4
的最小值。
4
5
6
x
yz
D
F
E
A B
C
P
5、设 x，y，zR，求
222 zy2x
zyx2
的最大值。
6、ΔABC之三边长为 4，5，6，P为三角形內部一点 P，P到三边的距离分別为 x，y，z，求
x2+y2+z2的最小值。
解：s=
2
15
2
654
ABC面积=
4
715
2
3
2
5
2
7
2
15))()(( csbsass
且ABC=PAB+PBC+PAC
)654(
2
1
4
715 zyx 4x+5y+6z=
2
715
由柯西不等式
(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)
4
7152
(x2+y2+z2)77
x2+y2+z2
44
225
7、设三个正实数 a,b,c满足 )(2)( 4442222 cbacba ，求证： a，b，c一定是某三角
形的三边长。
8、求证 )3( nn 个正实数 a1，a2，…，an满足
))(1()( 44
2
4
1
222
2
2
1 nn aaanaaa
9、已知 Rzyx ,, ,且 1
2
x
x
求证: 1
222
222
z
z
y
y
x
x
。
10、设
Rzyx ,, , 求证: 122
2
22
2
22
2
xyyx
z
zxxz
y
yzzy
x
。
11、设
Rzyx ,, ,且 x+2y+3z=36,求
zyx
321
的最小值．
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 12 课时 几个著名的不等式之二：排序不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、问题：若某网吧的 3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45min，25 min和 30 min，
每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才
能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数： 1a ≤ 2a ≤ 3a ， 1b ≤ 2b ≤ 3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利
用排列组合的知识，我们知道共有 6个不同的和数，它们是：
对 应 关 系 和 备 注
（ 1a ， 2a ， 3a ）
（ 1b ， 2b ， 3b ）
3322111 bababaS 同序和
（ 1a ， 2a ， 3a ）
（ 1b ， 3b ， 2b ）
2332112 bababaS 乱序和
（ 1a ， 2a ， 3a ）
（ 2b ， 1b ， 3b ）
3312213 bababaS 乱序和
（ 1a ， 2a ， 3a ）
（ 2b ， 3b ， 1b ）
1332214 bababaS 乱序和
（ 1a ， 2a ， 3a ）
（ 3b ， 1b ， 2b ）
2312315 bababaS 乱序和
（ 1a ， 2a ， 3a ）
（ 3b ， 2b ， 1b ）
1322316 bababaS 反序和
根据上面的猜想，在这 6个不同的和数中，应有结论：
同序和 332211 bababa 最大，反序和 132231 bababa 最小。
2、对引例的验证：
对 应 关 系 和 备 注
（1，2，3）
（25，30，45）
2203322111 bababaS
同序和
（1，2，3）
（25，45，30）
2052332112 bababaS
乱序和
（1，2，3）
（30，25，45）
2153312213 bababaS
乱序和
（1，2，3）
（30，45，25）
1951332214 bababaS
乱序和
（1，2，3）
（45，25，30）
1852312315 bababaS
乱序和
（1，2，3）
（45，30，25）
1801322316 bababaS
反序和
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5个人的水桶需要的时间分别是 4分钟，
8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这 5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间
最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数： 1a ， 2a ， 3a ，…， na 与 1b ， 2b ， 3b ，…， nb ，且它们满足：
1a ≤ 2a ≤ 3a ≤…≤ na ， 1b ≤ 2b ≤ 3b ≤…≤ nb ，
若 1c ， 2c ， 3c ，…， nc 是 1b ， 2b ， 3b ，…， nb 的任意一个排列，则和数 nncacaca 2211 在
1a ， 2a ， 3a ，…， na 与 1b ， 2b ， 3b ，…， nb 同序时最大，反序时最小，即：
112122112211 bababacacacabababa nnnnnnn ，
等号当且仅当 naaa 21 或 nbbb 21 时成立。
分析：用逐步调整法
三、典型例题：
例 1、已知 cba ,, 为正数，求证： abc
cba
accbba
222222
。
例 2、设 1a ， 2a ， 3a ，…， na 为正数，求证： n
n
n
n aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
21
1
22
1
3
2
2
2
2
1 。
四、小结：
五、练习：
六、作业：
1、求证： dacdbcabdcba 2222
。
2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC ha+ hb +hc ．
3、若 a>0,b>0，则
2222
332266 babababa
．
4、在△ABC中，求证： abccbacbacbacba 3)()()( 222 ．（IMO）
5、若 a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证：
n
k
n
k
k
kk
a
11
2
1
．
6、若 x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤
2
1
，则
2
1)1()1)(1( 21 nxxx ．
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 13 课时 几个著名的不等式之三：平均不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、定理 1：如果 Rba , ，那么 abba 222 （当且仅当 ba 时取“=”）
证明：
222 )(2 baabba
0)(
0)(
2
2
baba
baba
时，当
时，当
abba 222
1．指出定理适用范围： Rba ,
强调取“=”的条件 ba 。
2、定理 2：如果 ba, 是正数，那么 abba
2
（当且仅当 ba 时取“=”）
证明：∵ abba 2)()( 22 ∴ abba 2
即： abba
2
当且仅当 ba 时 abba
2
注意：1．这个定理适用的范围：
Ra ；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理 3：如果
Rcba ,, ，那么 abccba 3333 （当且仅当 cba 时取“=”）
证明：∵ abcabbacbaabccba 333)(3 2233333
)(3])())[(( 22 cbaabccbabacba
]32)[( 222 abcbcacbabacba
))(( 222 cabcabcbacba
])()())[((
2
1 222 accbbacba
∵ Rcba ,, ∴上式≥0 从而 abccba 3333
指出：这里
Rcba ,, ∵ 0 cba 就不能保证。
推论：如果
Rcba ,, ，那么 3
3
abccba
。（当且仅当 cba 时取“=”）
证明： 333333333 3)()()( cbacba
33 abccba
3
3
abccba
4、算术—几何平均不等式：
①．如果
NnnRaaa n 且1,,,, 21 则：
n
aaa n 21 叫做这 n个正数的算术平
a
b
D
B
O
A
C
均数， n
naaa 21 叫做这 n个正数的几何平均数；
②．基本不等式：
n
aaa n 21 ≥ n
naaa 21 （ niRaNn i 1,,* ）
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
③． abba
2
的几何解释：
以 ba 为直径作圆，在直径 AB上取一点 C，过 C作弦 DD’AB 则 abCBCACD 2
，
从而 abCD ，而半径 abCDba
2
。
二、典型例题：
例 1、已知 cba ,, 为两两不相等的实数，求证： cabcabcba 222
。
证：∵ abba 222 2 2 2b c bc caac 222
以上三式相加： cabcabcba 222)(2 222
∴ cabcabcba 222
例 2、设 cba ,, 为正数，求证： abccbcacabbaab 16))(1( 2 。
例 3、设 1a ， 2a ， 3a ，…， na 为正数，证明：
n
n
aaa
n
n
aaa
111
21
21
。
例 4、若
Ryx, ，设
2
),(
22 yxyxQ
2
),( yxyxA
xyyxG ),(
yx
yxH
1
2),( 求证： ),(),(),(),( yxHyxGyxAyxQ
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：∵
244
2)
2
(
2222222
2 yxyxyxxyyxyx
∴
22
22 yxyx
即： ),(),( yxAyxQ （俗称幂平均不等式）
由平均不等式 ),(),( yxGyxA
),(
2
22),( yxGxy
xy
xy
yx
xyyxH
即： ),(),( yxHyxG
综上所述： ),(),(),(),( yxHyxGyxAyxQ
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1、若 Rbaba ,,1 求证
2
25)1()1( 22
b
b
a
a
证：由幂平均不等式：
2
)11(
)1()1(
2
22 b
b
a
a
b
b
a
a
2
25
2
)23(
2
)3(
2
)1( 2
22
b
a
a
b
b
ba
a
ba
r
h
a
O
A
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 14 课时 利用平均不等式求最大（小）值
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、重要的结论：
已知 x，y 都是正数，则：
(1)、如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 P2 ；
(2)、如果和 x+y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 2
4
1 S 。
二、典型例题：
例 1、当 x取什么值时，函数 2
2 94
x
xy 有最小值？最小值是多少？
例 2、求函数
1
622
x
xxy （ 0x ）的最小值。
例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的
维修费用约为：第一年为 200元，第二年 400元，第三年 600元，…，按等差数列递增。这台电脑
使用多少年报废最合算？
分析：
例 4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A点的水平距离是 a，那么电灯距
离桌面的高度 h等于多少时，A点处最亮？（亮度公式： sin2r
kI ，这里 k为常数，r是电灯到
照射点的距离， 是照射到某点的光线与水平面所成的角）
分析：
例 5、求函数 )0(,32 2 x
x
xy 的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一： 33 222 43212311232
xx
x
xx
x
x
xy
∴ 3
min 43y
解二： x
x
x
x
xy 6232232 22 当
x
x 32 2 即
2
123
x 时
63
3
min 32421232
2
1262 y
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在 x使得
xx
x 212 2 ；解二错在
x62 不是定值（常数）
正确的解法是： 333 222 36
2
3
2
93
2
3
2
323
2
3
2
3232
xx
x
xx
x
x
xy
当且仅当
x
x
2
32 2 即
2
63
x 时 3
min 36
2
3
y
例 6、若 14 x ，求
22
222
x
xx
的最值。
解： ]
)1(
1)1([
2
1]
1
1)1[(
2
1
1
1)1(
2
1
22
22 22
x
x
x
x
x
x
x
xx
∵ 14 x ∴ 0)1( x 0
)1(
1
x
从而 2]
)1(
1)1([
x
x 1]
)1(
1)1([
2
1
x
x
即 1)
22
22( min
2
x
xx
。
例 7、设
Rx 且 1
2
2
2
yx ，求
21 yx 的最大值
解：∵ 0x ∴ )
22
1(21
2
22 yxyx
又
2
3
2
1)
2
()
22
1(
2
2
2
2
yxyx
∴
4
23)
2
3
2
1(21 2 yx
即
4
23)1( max
2 yx
例 8、已知
Ryxba ,,, 且 1
y
b
x
a
，求 yx 的最小值
解： yx
y
xb
x
ayba
y
b
x
ayxyx ))((1)(
2)(2 ba
y
xb
x
ayba
当且仅当
y
xb
x
ay
即
b
a
y
x
时
2
min )()( bayx
三、小结：
四、练习：
1．求下列函数的最值：
1 、 )(,42 2 Rx
x
xy (min=6)
2、 )
2
0(,)2( 2 axxaxy (
27
2max
3a
)
2．1、 0x 时求
236 x
x
y 的最小值， x
x
y 36
2 的最小值 )4
2
9,9( 3
2、设 ]27,
9
1[x ，求 )3(log
27
log 33 xxy 的最大值(5)
3、若 10 x , 求 )1( 24 xxy 的最大值 )
3
32,
27
4( x
4、若
Ryx, 且 12 yx ，求
yx
11
的最小值 )223(
3．若 0 ba ，求证：
)(
1
bab
a
的最小值为 3
4．制作一个容积为
316 m 的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？
（不计加工时的损耗及接缝用料） )4,2( mhmR
五、作业：
1、将一块边长为 a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，
要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为 x
则其容积为 )
2
0(,)2( 2 axxaxV
)2()2(4
4
1 xaxaxV
27
2]
3
)2()2(4[
4
1 3
3 axaxax
当且仅当 xax 24 即
6
ax 时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为
6
a
时，铁盒的容积为
27
2 3a
2、某种汽车购买时的费用是 10 万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为 9 千元；汽车的
维修费平均为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车
使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?
解：设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为
)(1.02.0
2
)1(2.06.04.02.0 2 nnnnn
(万元)
年平均费用 y= 31
10
1021
10
10)(1.09.010 2
n
n
n
nn
nnn
当且仅当
10
10 n
n
即 n＝10 时取等号。
答：这种汽车使用 10 年报废最合算。
3、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm
2
，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下
各留 8cm 的空白，左、右各留 5cm 的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积
最小？(2001 年全国文科高考题)
解：设画面的宽为 x cm，则画面的高为
x
4840
cm，设纸张面积为 S
S= 676030252165000)3025(165000)164840)(10(
x
x
x
x
x
x
当且仅当 x＝
x
3025
，即 x= 55 cm，此时高 88
55
4840
1
8
5
88
55
答：画面高为 88cm，宽为 55cm 时，能使所用纸张面积最小。
评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意：
1 设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；
2 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
3 在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 15 课时 利用柯西不等式求最大（小）值
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、柯西不等式：
2
11
2
1
2 )(
n
i
ii
n
i
i
n
i
i baba 。
二、典型例题：
例 1、把一条长是 m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面
积和最小？
例 2、如图，等腰直角三角形 AOB的直角边为 1，在这个三角形内任意取一点 P，过 P分别引
三边的平行线，与各边围成以 P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的
最小值，以及取到最小值时点 P的位置。
分析：
三、小结：
四、练习：
五、作业：
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 16 课时 数学归纳法与不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立，这
是递推的基础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是递推的依据。
实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是 k＋1 步的推证，要有目标意识。
二、典型例题：
例 1、证明：
23333 )321(321 nn 。
例 2、设 1x ，
*Nn ，证明贝努利不等式： nxx n 1)1( 。
例 3、设 ba, 为正数，
*Nn ，证明：
n
nn baba )
2
(
2
。
例 4、设数列{a n }的前 n 项和为 S n，若对于所有的自然数 n，都有 S n ＝
2
)( 1 naan ，证明{a n }
是等差数列。 （94 年全国文）
例 5、已知数列 8 1
1 32 2
·
·
，得，…， 8
2 1 2 12 2
·
·
n
n n( ) ( )
，…。S n为其前 n项和，求 S 1、S 2、S 3、
S 4，推测 S n 公式，并用数学归纳法证明。 （93 年全国理）
解：计算得 S 1＝
8
9
，S 2＝
24
25
，S 3＝
48
49
，S 4＝
80
81
， 猜测 S n＝
( )
( )
2 1 1
2 1
2
2
n
n
(n∈N)
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这
是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和
例 6、设 a n＝ 1 2× ＋ 2 3× ＋…＋ n n( )1 (n∈N),证明： 1
2
n(n＋1)n (n>1 且 n∈N)。
2、已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n＝a n1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且 n∈N)。①．求
a 2和 a 3； ②.猜测 a n ，并用数学归纳法证明你的猜测。
3、用数学归纳法证明等式：cos x
2
·cos x
22
·cos x
23
·…·cos x
n2
＝ sin
sin
x
xn
n2
2
·
(81 年全国高考)
4、用数学归纳法证明：6
2 1n
＋1 (n∈N)能被 7 整除。
