2013年北京市高考理科数学试题及答案

2013年北京市高考理科数学试题及答案

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）在复平面内，复数对应的点位于 ‎ （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（3）“”是“曲线过坐标原点”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 开始 i=0，S=1‎ ‎ ‎ i=i+1‎ i≥2‎ 是 输出S 结束 否 ‎（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）1 （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（5）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 ‎ 线关于y轴对称，则 （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直，则l与C ‎ 所围成的图形的面积等于 ‎ （A） （B）2 （C） （D）‎ ‎（8）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足 ‎ ，求得m的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）在极坐标系中，点到直线的距离等于___________．‎ ‎（10）若等比数列满足，，则公比____；前n项和____．‎ a b c ‎（11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D．若，，则___________；___________．‎ A B C D P E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________．‎ ‎（13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c=λa+μb（λ，μ∈R），则___________．‎ ‎（14）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为___________．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ ‎ 在△ABC中，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求c的值．‎ ‎（16）（本小题共13分）‎ 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎（17）（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面⊥平面，，． （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求证二面角的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求 ‎ 的值．‎ ‎（18）（本小题共13分） 设L为曲线在点处的切线． （Ⅰ）求L的方程； （Ⅱ）证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方．‎ ‎（19）（本小题共14分） 已知A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点． （Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 已知是由非负整数组成的无穷数列．设数列前n项的最大值为，第n项之后各项，，…的最小值记为，． （Ⅰ）若为2，1，4，3，2，1，4，3，…是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，），‎ ‎ 写出、、、的值； （Ⅱ）设d是非负整数．证明：的充分必要条件是是公差为d的 ‎ 等差数列； （Ⅲ）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项 ‎ 为1．‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎ （1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎ （9）1 （10）2 （11） 4 ‎ ‎ （12）96 （13）4 （14） ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎ （15）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为，，，‎ ‎ 所以在△ABC中由正弦定理得．‎ ‎ 所以 故． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．‎ ‎ 又因为，所以．‎ ‎ 所以．在△ABC中 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎（16）（共13分）‎ ‎ 解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．‎ ‎ 根据题意，，且 ‎ （Ⅰ）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故X的期望 （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ ‎ （17）（共14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为，所以．‎ x z y ‎ 因为，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，‎ ‎ 所以⊥平面．‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥．‎ ‎ 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以．‎ D ‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，． 设平面的法向量为，则 ‎ 即 令z=3，则x=0，y=4，所以．同理可得平面的法向量为． 所以由题知二面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为 ‎ ‎ （Ⅲ）设点D是直线BC1上一点，且 ‎ 所以．解得 ‎ 所以由，即， 得．‎ ‎ 因为，所以在线段BC1上存在点D，使得．‎ ‎ 此时 ‎ （18）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）设，则．所以．所以L的方程为． （Ⅱ）令，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于 ‎ ．满足，且 ‎ ．‎ ‎ 当0＜x＜1时，所以故单调递减；‎ ‎ 当x＞1时，所以故单调递减． 所以 ‎ 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方． （19）（共14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）椭圆的右顶点B的坐标为（2，0）．‎ ‎ 因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．‎ ‎ 所以可设A（1，m），代入椭圆方程得，即 ‎ 所以菱形OABC的面积是 ‎ （Ⅱ）假设四边形OABC为菱形．‎ ‎ 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为 ‎ 由消去y并整理得 ‎ 设，，则 ‎ ‎ ‎ 所以AC的中点为 ‎ 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为 ‎ 因为，所以AC与OB不垂直．‎ ‎ 所以OABC不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC不可能是菱形．‎ ‎ （20）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ），． （Ⅱ）（充分性）因为是公差为d的等差数列，且d≥0，所以 ‎ ‎ ‎ 因此，，．‎ ‎ （必要性）因为，所以 ‎ 又因为，，所以于是，，‎ ‎ 因此，即是公差为d的等差数列．‎ ‎ （Ⅲ）因为，，所以，．‎ ‎ 故对任意n≥1，an≥B1=1．假设不存在大于2的项．‎ ‎ 设m为满足am＞2的最小正整数，‎ ‎ 则，并且对任意1≤k＜m，ak≤2．‎ ‎ 又因为，所以Am-1=2，且Am=am＞2．‎ ‎ 于是，‎ ‎ 故，与矛盾．‎ ‎ 所以对于任意n≥1，an≤2=a1，所以An=2．‎ ‎ 故 ‎ 因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且，即数列有无 ‎ 穷多项为1．‎