天津高考数学理科试卷分析

天津高考数学理科试卷分析

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. ‎ 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. ‎ 祝各位考生考试顺利! ‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. ‎ 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. ‎ 参考公式: ‎ ‎·如果事件A, B互斥, 那么 ‎ ‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh，‎ 其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. ‎ ‎·如果事件A, B相互独立, 那么 ‎·球的体积公式 ‎ 其中R表示球的半径. ‎ 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 ‎ ‎ (A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]‎ 解析：本题主要考察不等式的解法，和集合的简单应用，属于简单题。‎ ‎(2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为 ‎ (A) －7 (B) －4‎ ‎ (C) 1 (D) 2‎ 解析：本题主要考查不等式中的线性规划，属于简单题。‎ ‎(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 ‎ (A) 64 (B) 73‎ ‎ (C) 512 (D) 585‎ 解析：本题主要考察程序框图，属于简单题。‎ ‎(4) 已知下列三个命题: ‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;‎ ‎②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ‎ ‎③直线x + y + 1 = 0与圆相切. ‎ 其中真命题的序号是:‎ ‎ (A) ①②③ (B) ①②‎ ‎ (C) ②③ (D) ②③‎ 解析：本题主要考察命题，直线与圆的位置关系，统计，空间几何体的体积，多个知识点的综合查考，属于简单题。‎ ‎(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = ‎ ‎ (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3‎ 解析：本题主要考察圆锥曲线中的双曲线和抛物线的方程和性质，属于中档题。‎ ‎(6) 在△ABC中, 则 = ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析：本题主要考察解三角形中，正余弦定理的应用，属于简单题。‎ ‎(7) 函数的零点个数为 ‎ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 解析：本题主要考察函数的零点，指对数函数的图像。属于中档题。‎ ‎(8) 已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ 解析：本题主要考函数的知识点，与不等式，集合结合。属于难题。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 理 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. ‎ ‎2. 本卷共12小题, 共110分.‎ 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. ‎ ‎(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .‎ 解析：本题主要是复数的查考，属于简单题。‎ (10) ‎ 的二项展开式中的常数项为 .‎ 解析：本题主要考察二项式定理，属于简单题。‎ (11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .‎ 解析：本题主要考察极坐标方程，与圆的知识的结合，属于简单题。‎ ‎(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ 解析：本题主要考察平面向量的知识。属于中档题。‎ (13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .‎ 解析：本题主要考察的事几何证明的知识，利用初中所学的圆的知识来求线段长度。属于中档题。‎ (13) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. ‎ 解析：本题主要考察不等式的性质，属于难题。‎ 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ‎ ‎(15) (本小题满分13分)‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. ‎ 解析：三角函数是每年高考必考题型，难度不大，理科主要考三角函数图像及性质 ‎(16) (本小题满分13分)‎ 一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). ‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. ‎ ‎(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. ‎ ‎ ‎ 解析：概率的难度也不大，考察考生的综合思维能力，一定要分析透彻，难度不大，一定要细心对待。‎ ‎(17) (本小题满分13分) ‎ 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. ‎ ‎(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; ‎ ‎(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. ‎ ‎(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. ‎ 解析：今年的立体几何较去年相比难度有所增加，所以 对于明年的立体几何题型要认真总结好相关题型。‎ ‎(18) (本小题满分13分)‎ 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ 解析：考察椭圆的的标准方程和几何性质，直线方程，向量的运算等，考察理解能力，难度较大，要做细致的讲解分析才能做好。‎ ‎(19) (本小题满分14分)‎ 已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. ‎ 解析：考察等差等比数列的概念和通项公式前n项和，及数列的基本性质，考察分类讨论运算能力和分析能力，今年的数列跟去年相比难度增大，但是主要是很函数结合到一起了。‎ ‎(20) (本小题满分14分)‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有 ‎.‎ 解析：难度较大，建议只做1.2问 总结：2013年天津理科数学14道小题的考点，重点和难点 简单题：复数，不等式的解法，二项式定理，极坐标方程，命题（空间几何体的体积，统计， 直线与圆），流程图，线性规划，解三角形。共计40分。‎ 中档题：平面向量，函数与方程（零点问题），几何证明，圆锥曲线（双曲线和抛物线）。共 计20分。‎ 难 题：函数与不等式，不等式的性质。共计10分。‎ 总结：2012年天津理科数学14道小题的考点，重点和难点。‎ 简单题：复数，不等式的解法，二项式定理，命题，流程图，统计（分层抽样），三视图，函 数与方程（零点问题）。共计40分。‎ 中档题：平面向量，解三角形，几何证明，圆锥曲线（抛物线与极坐标方程）共计20分。‎ 难 题：函数的图像，不等式的性质。共计10分