高考压轴题导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题：导数题型及解题方法 ‎（自己总结供参考）‎ 一．切线问题 题型1 求曲线在处的切线方程。‎ 方法：为在处的切线的斜率。‎ 题型2 过点的直线与曲线的相切问题。‎ 方法：设曲线的切点，由求出，进而解决相关问题。‎ 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。‎ 例 已知函数f（x）=x3﹣3x．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：）‎ ‎（2）若过点A可作曲线的三条切线，求实数的取值范围、‎ ‎（提示：设曲线上的切点（）；建立的等式关系。将问题转化为关于的方程有三个不同实数根问题。（答案：的范围是）‎ 题型3 求两个曲线、的公切线。‎ 方法：设曲线、的切点分别为（）。（）；‎ 建立的等式关系，，；求出，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。‎ 例 求曲线与曲线的公切线方程。（答案）‎ 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。‎ 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。‎ 例 已知函数 ‎（1）求函数的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）‎ ‎（2）若，求函数的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）‎ 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。‎ 方法1：研究导函数讨论。‎ 方法2：转化为在给定区间上恒成立问题， ‎ 方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。‎ 注意：“函数在上是减函数”与“函数的单调减区间是”的区别是前者是后者的子集。‎ 例 已知函数+在上是单调函数，求实数的取值范围．‎ ‎ （答案）‎ ‎ ‎ 题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。‎ 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调 方法2:研究导函数是零点问题，再检验。‎ 方法3:直接研究不单调，分情况讨论。‎ 例 设函数，在区间内不单调，求实数的取值范围。‎ ‎（答案：））‎ 三．极值、最值问题。‎ 题型1 求函数极值、最值。‎ 基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。‎ 例 已知函数，求在的极小值。‎ ‎ （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）‎ 题型2 已知函数极值，求系数值或范围。‎ 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。‎ 方法2.转化为函数单调性问题。‎ 例 函数。0是函数的极值点。求实数值。（答案：1）‎ 题型3 已知最值，求系数值或范围。‎ 方法：1.直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。‎ 例 设，函数．若函数，在处取得最大值，求的取值范围． （答案：）‎ 四．不等式恒成立（或存在性）问题。‎ 一些方法 ‎1.若函数，＞恒成立，，则 ‎2.对任意，恒成立。则。‎ ‎3.对，成立。则。‎ ‎4.对，恒成立。转化恒成立 ‎4. 对，成立。则。‎ ‎5. 对，成立。则 ‎6. 对，成立。则构造函数。 转化证明在是增函数。‎ 题型1 已知不等式恒成立，求系数范围。‎ 方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。‎ ‎（2）讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。‎ ‎（3）数形结合：‎ ‎（4）变更主元 解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法（用讨论法，或构造新函数）。‎ 方法：分离法。‎ 求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。‎ 例 函数。在恒成立，求实数取值范围。（方法：分离法，多次求导答案：）‎ 方法：讨论法。 ‎ 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。‎ 例 设函数f(x)=.若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.‎ ‎（答案：的取值范围为）‎ 方法：数形结合。‎ 数形结合解不等式恒成立问题的步骤：（1）不等式等价变形（2）把不等式两端的式子分别看成两个函数（其中一个函数的图像为直线，）。（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值，图像的凹凸性。（4）画出两个函数图像。（5）根据不等式关系和图形的位置关系，列式求解。‎ 例 （2012新课标全国卷理科21题第二问）‎ 已知函数满足；若，求的最大值。‎ ‎0‎ y x C:‎ ‎1‎ M L：‎ 解：，令得：得：，‎ ‎(变形)又，‎ ‎(设函数)设， 。‎ ‎(画函数图像)的图像是过（0，1）‎ 的曲线C，曲线C随着的增大值增大且图像下凹。‎ ‎ 的图像是过点（0，b）且斜率为 的直线L，如图一。‎ ‎(列式求解)由，则曲线C必在直线L的上方或曲线C与直线L相切。‎ 设曲线C与直线L的切点为M，曲线C在点M的切线方程为L:，切线的斜率为，在轴上的截距为。又直线L的斜率为，在轴上的截距为，则有，，‎ 所以×=，设，，，当，＞0当，＜0，故有最大值，所以，的最大值为。‎ 方法：变更主元 例：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，，若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. （答案：）‎ 五．函数零点问题 题型1：判断函数零点的个数。‎ 方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理 例.设．若函数有零点，求的取值范围．‎ ‎ （提示：当时，，，所以成立，答案）‎ 题型2：已知函数零点，求系数。‎ 方法：图象法(研究函数图象与x轴交点的个数)；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。）‎ 例.函数在（1,3）有极值，求实数的取值范围。（答案）‎ 六．不等式证明问题 方法1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。‎ 方法2：讨论法。‎ 方法2.研究两个函数的最值。如证，需证的最小值大于的最大值即可。‎ 方法：讨论法 例：已知函数，曲线在点处的切线方程为。证明：当，且时，。‎ 方法：构造函数 例：已知函数与函数为常数，（1）若图象上一点处的切线方程为：，设是函数的图象上两点，，证明：‎ 方法：构造函数，不等式放缩 例.已知函数 ‎(I)；若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且a>b>0, 为f(x)的导函数，求证：‎ ‎(II)求证 ：‎ 方法：求同项。‎ 方法：数学归纳法。‎ 七．导数在实际中的应用