六年级下册数学试题-奥数中的容斥问题 人教版 含解析

六年级下册数学试题-奥数中的容斥问题 人教版 含解析

奥数中的容斥问题 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。‎ 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C） 。‎ 例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？‎ 分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。‎ 两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）‎ 三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|‎ 详细推理如下：‎ ‎1、 等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C ‎2、维恩图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C ‎3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：‎ 那么A∪B∪C还缺部分7。‎ ‎4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，‎ 减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。‎ ‎5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，‎ 则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。‎ 例1.‎ 某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？‎ 分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。‎ 答案：25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3‎ 例2.‎ 某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：‎ 短跑 游泳 投掷 短跑 游泳 短跑 投掷 游泳 投掷 短跑 游泳 投掷 ‎1 7‎ ‎1 8‎ ‎1 5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ 求这个班的学生共有多少人？‎ 分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。‎ ‎4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）‎ 例3.‎ 在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？‎ 分析：‎ 很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。‎ 若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？‎ 解答 解一：[10，12，15]=60，设木棍60厘米 ‎60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4(厘米 ‎10等分的为第一种刻度线，共10－1=9(条)‎ ‎12等分的为第二种刻度线，共12－1=11(条)‎ ‎15等分的为第三种刻度线，过15－1=14(条)‎ 第一种与第二种刻度线重合的[6，5]=30，60÷30－1=2－1=1(条)‎ 第一种与第三种刻度线重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(条)‎ 第二种与第三种刻度线重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(条)‎ 三种刻度线重合的没有，[6、5、4]=60‎ 因此，共有刻度线9+11+14－1－4－2=27条，木棍总共被锯成27+1=28段。‎ 解二：‎ ‎10、12、15的最小公倍数是60，假设木棍就是长60，‎ ‎1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是 ‎0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60‎ ‎2、分成12等分的每份就是5，‎ ‎0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60‎ ‎3、分成15等分的每份就是4，‎ ‎0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60‎ ‎4、把相同刻度的合并，就是有刻度如下：‎ ‎0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60 ‎ 例4:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89题。‎ ‎ 　　问题：‎ ‎ 　　①小明和小刚都最对的题目至少有几题？‎ ‎ 　　②小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题？‎ ‎ 　　③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题？‎ ‎ 　　解析：‎ ‎ 　　①小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人 ‎ 　　②小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2×100=58人 ‎ 　　③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3×100=47人。‎