高考数学快速提升成绩题型训练——导数
n 运算能力主要是指在运算定律和定理的指导下，对数和式的组合或分解变形能力，包括数字的计算，代数式和某些超越式的恒等变形，集合的运算，解方程和不等式，三角恒等变形，数列极限的计算，几何图形中的计算等。
n 运算准确 运算熟练 运算合理（是核心）运算的简捷。
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——导数
1. 讨论函数的增减性。
2 证明函数在区间上是单调增加的。
3. 求函数在区间上的最大值及最小值．
4. 已知某商品的需求函数为（为商品的价格），总成本函数为，若工厂有权自定价格，求每天生产多少个单位产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？
5. 已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.
6. 设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你
的结论.
7. 知a＞0，函数，x∈[0，+∞)，设x1＞0，记曲线y＝f (x)在点M (x1，f (x1))处的切线为l．
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为(x2，0)，证明：①x2≥，②若，则．
8. 函数)
（1）已知的展开式中的系数为，求常数
（2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，
恒成立？如存在，求出
的值，如不存在，说明理由.
9. 已知m为实数，函数f(x)=(x2－9)（x－m）在[-3,3]上都是递减的，求m取值范围。
10. 求函数的单调递增区间。
11. （1）已知：证明：
（2）证明：方程 只有一个实根：.
12. 已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围。
13. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元。已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？
14. 已知的图象相切.
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围。
15. 已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时，C 和C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。
16. 已知在与x=1时都取得极值。（1）求b、c之值；（2）若对任意，恒成立。求d的取值范围。
17. 研究函数的单调性.
18. 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.
19. 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
20. （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
21. 设，求函数的单调区间.
22. 求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
23. 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间
24. 若函数y=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围
25. 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间
26. 设f（x）=x3－－2x+5
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈［1，2］时，f（x）
0,
0
+
0
-
↗
极大
↘
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,
若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,
…………（12分）
6．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，
，即恒成立
…………4分 ，
时，取极小值，解得…6分
（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分
假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别为，
且…………（*）…………10分
、，
此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………12分
7．(1)解：，∴曲线y＝f (x)在点M (x1，f (x1))处的切线的斜率
∴切线l的方程为，即…… 4分
(2)解：令y＝0得
①≥0 (*)
∴，当且仅当时等号成立．
∵，∴(*)中“＝”不成立，故 ………8分
∵ ∴，故x2＜x1
∴当时，成立． ………………………12分
8．解（1）Tr+1=C 由 解得……3分
……6分
（2） 要使（
只需……8分 10当时，设
（0，
（，+）
—
0
+
极小值
……10分
20当时，不成立 30当时，不成立 故当……12分
另解法 只需
9. 很多学生认为，函数单调递增（递减）的充要条件是
（）。事实上，（）只是函数单调递增（递减）的充分条件，而非必要条件。例如，我们知道函数在R上是增函数，但其导数0在R上恒成立，因此，函数在上单调递增（递减）的充要条件是：（）且在的任意子区间上都不恒为0。因此，本题的正确答案为.
10. 定义域作为构成函数的三要素之一，它直接制约着函数的解析式、图像和性质，在解题过程中，必须优先考虑函数的定义域，且单调区间应该是定义域的子区间。本题中的定义域为，所以正确答案为.
11. 证明：（1）构造函数.。在上为增函数。
又。
（2）构造函数
上是增函数。
又，
12. 解法1（数形结合法）：依定义有，则。若
，则在上可设图的抛物线，当且仅当上满足，即在上是增函数，故的取值范围是。
解法2（变量分离法）：有，令，其图象为对称轴是直线，开口向上的抛物线，故要使在区间
上恒成立，即。而当时，，即在上是增函数，故。
13. 设生产件产品的利润为元，则
。当时，
的极大值点。故。因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元。
14. （Ⅰ）依题意，令
（Ⅱ）
x
x0
（
+
0
+
于是不是函数的极值点.
的变化如下：
x
x1
（
+
0
—
0
+
由此，的极小值点.
综上所述，当且仅当
15. 解 ：设公切线L切C于P(x,y),切C于P(x,y),
则L的方程有两种表达方式：①;②.
∵
∴①、②变为和
于是消去,得，由题意知，，此时，重合。
故当时，和有且仅有一条公切线，且公切线方程为.
16. 解 ⑴
由题意知,是方程的两根,于是
⑵
当时,
当时,
当时,
当时,有极大值
又时, 的最大值为
对任意恒成立即
或
17. 解:
① 当时,由得
+
-
-
+
从上表中的符号随取值的变化规律发现,此时的单调区间是和,单调减区间是和.
② 当时, 此时的定义域为
因此在内单调递增.
③ 当时,定义域为
此时单调区间是和没有单调减区间.
18. 解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立.
① 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾.
② 由,得
在上连续递增,且所有值都小于1,所以
综合①②可知,当时,函数在区间上是单调函数.
19. 解: 令
① 当时,由得且当时当时,
是的最小值.
在上恒成立即
② 当时,由得
x
(-x,-)
(-,0)
(0,)
(,+x)
f(x)
1
+
-
+
从上表可知f(x)=- a +2是极大值f()是极小值且为f(x)在(-,+)上的最小值．
因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0,
即-20时，x>1或x<－，
当（x）<0时，－1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数
依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，+∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6
∴5≤a≤7∴a的取值范围为［5，7］
25. 解：由f(x)的解析式得，
若a>0, 则 , f(x) 单调,矛盾；
若a=o，则 ,f(x)单调；
若a<0, 则
由此可知，当a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：,,增区间
26. 解：（1）（x）=3x2－x－2=0，得x=1，－在（－∞，－）和［1，+∞)上（x）>0，f（x）为增函数；在［－，1］上（x）<0，f（x）为减函数所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］
（2）当x∈［1，2］时，显然（x）>0，f（x）为增函数，f（x）≤f（2）=7
∴m>7
27. 解：（x）=3x2－a，（1）3x2－a>0在R上恒成立，∴a<0
又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0
（2）3x2－a<0在（－1，1）上恒成立，即a>3x2在（－1，1）上恒成立，即a>3
又a=3，f（x）=x3－3x－1，（x）=3（x2－1）在（－1，1）上，（x）<0恒成立，即f（x）在（－1，1）上单调递减，∴a≥3
（3）当x=－1时，f（－1）=a－20，得x∈（－，0）∪（，+∞），
则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞）
29. 证：（1）
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上
∴ 恒成立
（2）原式 令
∴
∴
∴
（3）令
∴
∴
30. 解：
当时
（i）当时，对所有，有
即，此时在内单调递增
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即
解得
因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增
令，
解得
因此，函数在区间内单调递减
