中考数学总复习题

中考数学总复习题

初中数理部分： 类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ） 　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4 　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 　　故选C 　　举一反三： 　　【变式1】下列说法中正确的是（ ） 　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数 　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， 　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． 　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确． 　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、 　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C． 　　【变式3】 　　【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0 　　　　　　∴ 类型二．计算类型题 　　2．设，则下列结论正确的是（ ） 　　A. 　　　　　　B. 　　C. 　　　　　　D. ‎ ‎ 　　解析：（估算）因为，所以选B 　　举一反三： 　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________. 　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 　　【变式2】求下列各式中的 　　（1） 　　　（2）　　　　（3） 　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 　　解析：在数轴上找到A、B两点， 　　举一反三： 　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）． 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2 　　【答案】选C 　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　化简 　　【答案】： 　　　　 　　　 　　　　　　　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| 　　　　　　【变式1】化简：‎ ‎ 　　　　5．已知：=0，求实数a, b的值。 　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：‎3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。 　　解：由题意得 　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=±7 　　　　由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。 　　　　∴只取a=7 　　　　把a=7代入(1)得b=‎3a=21 　　　　∴a=7, b=21为所求。 　　举一反三： 　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。 　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0 　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0, 　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。 　　　　∴ 解这个方程组得 　　　　∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________ 　　【答案】初中阶段的三个非负数： ， 　　　　　　a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2 　　　　　∴只取x=15(cm) 　　答：新的正方形边长应取‎15cm。 　　举一反三： 　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ 　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？ 　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多‎3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积 　　　　 多‎24cm2，求中间小正方形的边长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是： 　　　　　　　 ，所以面积为= 　　　　　　　 大正方形的面积=， 　　　　　　　 一个长方形的面积=。 　　　　　　　 所以， 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积， 　　　　　　　　　发现的规律是：（或） 　　　 　(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长： 　　　　　　 ，即 ， 　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多‎24 cm2 　　　　　　 所以有， 　　　　　　 化简得： 　　　　　　 将代入，得： 　　　　　　 cm 　　　　　　 答：中间小正方形的边长‎2.5 cm。‎ 易错题 　　7．判断下列说法是否正确 　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是±‎ ‎15. 　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数 　　解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 　　 　　 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根， 　 　　　　　　故的平方根是. 　　　　　（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义， 　 　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0. 　　　　　（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数. 引申提高 　　8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值. 　　　　　　（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③ 　　（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分． 　　解：由 得　　 　　　　的整数部分a=5, 的小数部分， 　　　　∴ 　　　　　　　　　 　　 　　（2）解：(1) 设x= ① 　　 　　　　　　则 ② 　　 　　　　　　②-①得 　　 　　　　　　9x=6 　　 　　　　　　∴ . 　　　　　　 (2) 设 ① 　　 　　　　　　则 ②‎ ‎ 　　 　　　　　　②-①，得 　　 　　　　　　99x=23 　　 　　　　　　∴ . 　　　　　 　(3) 设 ① 　　 　　　　　　则 ② 　　 　　　　　　②-①，得 　　 　　　　　　999x=107， 　　 　　　　　　∴ .‎ ‎　　一、选择题： 　　1．的算术平方根是 （ ） 　　A．0.14 　　　B．0.014　　　 C． 　　　D． 　　2．的平方根是 （ ） 　　A．－6 　　　B．36　　　 C．±6 　　　D．± 　　3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④， 　 　　其中正确的个数有 （ ） 　　A．1个 　　　B．2个　　　 C．3个 　　　D．4个 　　4．在下列各式中，正确的是 （ ） 　　A．; 　　B．;　　 C．;　　 D． 　　5．下列说法正确的是 （ ） 　　A．有理数只是有限小数 　　B．无理数是无限小数　　 C．无限小数是无理数 　　D．是分数 　　6．下列说法错误的是 （ ） 　　A． 　B． 　C．2的平方根是 　D． 　　7．若，且，则的值为 （ ） 　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．‎ ‎ 　　8．下列结论中正确的是 （ ） 　　A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; 　　　B．数轴上任一点都表示唯一的无理数; 　　C. 两个无理数之和一定是无理数; 　　　　　D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 　　9．-27 的立方根与的平方根之和是 （ ） 　　A．0 　　　B．6　　　 C．0或-6　　　 D．-12或6 　　10．下列计算结果正确的是 （ ） 　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 　　二．填空题: 　　11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、 　　　　⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有 　　　　__________；无理数的有__________.（填序号） 　　12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________. 　　13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________. 　　14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________． 　　15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍. 　　三、解答题： 　　16．计算或化简： 　　(1) 　　　　　(2) 　　　　　(3) 　　(4) 　　　　(5) 　　(6) 　　17．已知 ，且x是正数，求代数式的值。 　　18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，‎ ‎⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ 　　⑵估计边长的值在哪两个整数之间。 　　⑶把边长在数轴上表示出来。‎ ‎ 参考答案： 　　一、选择题： 　　1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B 　　二．填空题: 　　11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、；‎0.6. 13‎、；. 14、； ． 15、3. 　　三、解答题： 　　16、计算或化简： 　　(1) (2) (3) (4) (5) (6) 　　17、解： 25x2=144 　　　　　　 又∵x是正数 　　　　　　 ∴x= 　　　　　　 ∴ 　　18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是 　　　　　　②边长的值在4与5之间 　　　　　　③‎ ‎2012全国中考真题解析梯形 ‎2. （2011新疆乌鲁木齐，9，4）如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝，则此梯形的面积为（　　）‎ ‎ A、2 B、1＋ C、 D、2＋ 考点：等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC＝∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠ACB＝45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积．‎ 解答：解：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，‎ ‎∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB，‎ ‎∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC＝∠ACB，‎ ‎∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴OB＝OC，‎ ‎∵OF⊥BC，∴OF＝BF＝CF＝BC＝，由勾股定理得：OB＝，‎ ‎∵∠BAC＝60°，∴∠ABO＝30°，由勾股定理得：OA＝1，AB＝2，‎ 同法可求OD＝OA＝1，AD＝，OE＝，‎ S梯形ABCD＝（AD＋BC）•EF＝×（）×（＋）＝2＋‎ 故答案为：2＋．‎ 点评：本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．‎ ‎ 3.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4，EF=5，则梯形ABCD的面积是（　　）‎ ‎ A、40 B、30‎ ‎ C、20 D、10‎ 考点：梯形；全等三角形的判定与性质。‎ 分析：‎ 作延长DE交AB延长线上点G，过点G作GH⊥FE，交FE的延长线上于点H，然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HGFA的面积，根据条件首先证明GE=ED，再证出GH=DF，进而得到GH+AF）的长，HF的长，即可得到答案．‎ 解答：解：延长DE交AB延长线上点G，过点G作GH⊥FE，交FE的延长线上于点H，‎ ‎∵CD∥BA，E是AB中点，‎ ‎∴△CED≌△BGE，‎ ‎∴GE=ED，即点E也是GD的中点，‎ ‎∵∠GHF=∠DFH=90°，‎ ‎∴CD∥HG，‎ ‎∵点E也是GD的中点，‎ ‎∴△GHE≌△DFE，‎ ‎∴GH=DF，HE=EF=5，‎ ‎∴GH+AF=AF+DF=AD=4，‎ ‎∴梯形ABCD与梯形HGFC的面积相等，‎ ‎∵S梯形HGFC=（GH+AF）•HF=×4×2×5=20，‎ ‎∴S梯形ABCD=20．‎ 故选：C．‎ 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，梯形的面积公式，解决问题的关键是通过作辅助线，把梯形ABCD的面积转化为梯形HGFC的面积求解．‎ ‎ 4. 从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件，“这个四边形是等腰梯形”．下列推断正确的是（　　）‎ A、事件是不可能事件 B、事件是必然事件 ‎ ‎ C、事件发生的概率为 D、事件发生的概率为 ‎ ‎【答案】B ‎【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；等腰梯形的判定；随机事件；概率公式．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】连接BE，根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质求出∠ABE=AEB=36°，求出∠CBE=72°，推出BE∥CD，得到四边形BCDE是等腰梯形，即可得出答案．‎ ‎【解答】解： 连接BE，∵正五边形ABCDE，∴BC=DE=CD=AB=AE， 根据多边形的内角和定理得：∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED= =108°， ∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠A）=36°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°， ∴∠C+∠CBE=180°，∴BE∥CD， ∴四边形BCDE是等腰梯形，即事件M是必然事件，故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查对正多边形与圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，必然事件，概率，随机事件，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．‎ ‎ 5. （2011北京，4，4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D． 考点：相似三角形的判定与性质；梯形。‎ 专题：证明题。‎ 分析：根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是梯形，‎ ‎∴AD∥CB，‎ ‎∴△AOD∽△COB，‎ ‎∴,‎ ‎∵AD=1，BC=3．‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．‎ ‎6. （2011江苏连云港，7，3分）如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N.下列说法错误的是（ ）‎ A．四边形EDCN是菱形 B．四边形MNCD是等腰梯形 ‎ C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等 ‎ ‎ 考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；菱形的判定；等腰梯形的判定。‎ 分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案．‎ 解答：解：∵在正五边形ABCDE中，‎ ‎∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，‎ ‎∴四边形EDCN是平行四边形，‎ ‎∴▱EDCN是菱形；故A正确；‎ 同理：四边形BCDM是菱形，‎ ‎∴CN=DE，DM=BC，‎ ‎∴CN=DM，‎ ‎∴四边形MNCD是等腰梯形，故B正确；‎ ‎∴EN=ED=DM=AE=CN=BM=CD，‎ ‎∵AN=AC﹣CN，EM=BE﹣BM，‎ ‎∵BE=AC，‎ ‎∴△AEN≌△EDM（SSS），故D正确．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．‎ ‎7. （2011，台湾省，32,5分）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为何？（　　）‎ ‎ A、6 B、8 ‎ C、10﹣2 D、10+2 考点：梯形；菱形的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长，利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可．‎ 解答：解：四边形ABCD为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，‎ 又AD∥HE⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，‎ 作DM⊥HE于M点，则△DEM为30°﹣60°﹣90°的三角形，‎ 又DE=4⇒EM=2，DM=2，‎ 且四边形EFGH为正方形⇒∠H=∠I=90°，‎ 即四边形IDMH为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，‎ 梯形HEDI面积==8．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了梯形的面积的计算，解题的关键是正确的利用菱形和正方形的性质计算梯形的底和高．‎ ‎8. （2011山东济南，11，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）‎ A．AC=BD B．∠OBC=∠OCB ‎ C．S△AOB=S△DOC D．∠BCD=∠BDC 考点：等腰梯形的性质。‎ 分析：由四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，根据等腰梯形的对角线相等，即可证得AC=BD，又由△ABC≌△DCB与△AOB≌△DOC，证得B与C正确，利用排除法即可求得答案．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，‎ ‎∴AB=CD，AC=BD，故A正确；‎ ‎∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，‎ ‎∴△ABC≌△DCB（SAS），‎ ‎∴∠OBC=∠OCB，故B正确；‎ ‎∴∠ABO=∠DCO，‎ ‎∵∠AOB=∠DOC，‎ ‎∴△AOB≌△DOC（AAS），‎ ‎∴S△AOB=S△DOC，故C正确．‎ 利用排除法，即可得D错误．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的性质与全等三角形的判定与性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用．‎ ‎11. （2011山东淄博7，3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC，BD⊥CD，则AD+BC等于（　　）‎ ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 考点：等腰梯形的性质。‎ 分析：由AD∥BC，BD平分∠ABC，易证得△ABD是等腰三角形，即可求得AD=AB=1，又由四边形ABCD是等腰梯形，易证得∠C=2∠DBC，然后由BD⊥CD，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得∠DBC=30°，则可求得BC的值，继而求得AD+BC的值．‎ 解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，‎ ‎∴∠C=∠ABC，∠ADB=∠DBC，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABC=2∠DBC，∠ABD=∠DBC，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴AD=AB=1，‎ ‎∴∠C=2∠DBC，‎ ‎∵BD⊥CD，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴∠DBC+∠C=90°，‎ ‎∴∠C=60°，∠DBC=30°，‎ ‎∴BC=2CD=2×1=2，‎ ‎∴AD+BC=1+2=3．‎ 故选B．‎ ‎12..（2011年四川省绵阳市，11，3分）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（　　）‎ A、 cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm2‎ 考点：等腰梯形的性质．‎ 专题：几何图形问题．‎ 分析：由已知∠ABD=30°，可得∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．‎ 解答：解： ∵AC⊥BC，∠ABD=30°， ∴∠CAB=30°， ∵AB=8cm， ∴BC=4cm，AC=4 cm， ∴S△ABC= ×4×4 =8 cm， ∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB， ∴∠CAB=∠DCA=30°， ∵∠CAB=30°， ∴∠DAC=∠DCA=30°， ∴CD=AD=BC=4cm， ∴D0= ， ∴S△ADO= ××4= ， ∴S△AOB=S△ABC-S△ADO= ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∴（）2= ∴S△DOC=， 故选A．‎ 点评：此题主要考查等腰梯形的性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形两条对角线相等．‎ ‎13. （2011•宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（　　）‎ ‎ A、∠HGF=∠GHE B、∠GHE=∠HEF ‎ C、∠HEF=∠EFG D、∠HGF=∠HEF 考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定与性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，进而可以得到结论．‎ 解答：解：连接BD，‎ ‎∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，‎ ‎∴HE∥GE=BD，HE=GE=BD ‎∴四边形HEFG是平行四边形，‎ ‎∴∠HGF=∠HEF，‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形．5. （2011陕西，16，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值 ．‎ 考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，得到四边形ADEC是平行四边形，推出AC=DE，AD=CE=3，∠BFH=∠BDE=90°，求出BH=EH=DH=5，根据梯形的面积公式（AD+BC）•DH，即可求出答案．‎ 解答：解：‎ 过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，‎ ‎∵DE∥AC，AD∥BC，‎ ‎∴四边形ADEC是平行四边形，‎ ‎∴AC=DE，AD=CE=3，∠BFH=∠BDE=90°，‎ ‎∴BH=EH=（3+7）=5， DH=5，‎ ‎∴梯形的面积的最大值是（AD+BC）•DH=×10×5=25，‎ 故答案为：25．‎ 点评：本题主要考查对梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．‎ ‎8. （2011湖北咸宁，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，‎ ‎，点E在AB边上，且CE平分，DE平分 ‎，则点E到CD的距离为 ．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形。‎ 分析：首先由过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，即可得四边形ABHD是矩形，又由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的长，继而在Rt△DHC中求得DH的长，则可得点E到CD的距离．‎ 解答：解：过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，‎ ‎∵AD∥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴∠A=∠B=90°‎ ‎∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，‎ ‎∴AE=EF，BE=EF，‎ ‎∴EF=AE=BE=AB，‎ ‎∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，‎ ‎∴DF=AD=2，CF=CB=4，‎ ‎∴CD=6，‎ ‎∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠A=∠B=∠BHD=90°，‎ ‎∴四边形ABHD是矩形，‎ ‎∴DH=AB，BH=AD=2，‎ ‎∴CH=BC﹣BH=2，‎ 在Rt△DHC中，DH=4，‎ ‎∴EF=2．‎ 三、解答题 ‎1. （2011江苏苏州，23，6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌ECB； （2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．‎ 考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质．‎ 分析：（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌ECB． （2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．‎ 解答：解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠EBC． ‎ ‎∵CE⊥BD，∠A=90°， ∴∠A=∠CEB，‎ ‎ 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB； （2）∵∠DBC=50°，BC=BD， ∴∠EDC=65°， 又∵CE⊥BD， ∴∠CED=90°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=25°．‎ 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．‎ ‎4. （2011重庆市，24，10分） 如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎⑴ 求证：AD=AE；‎ ‎⑵ 若AD=8，DC=4，求AB的长.‎ 考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．‎ 分析：（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可； （2）设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可．‎ 答案：24．解：（1）连接AC ‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠ACD=∠BAC ‎∵AB=BC ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∴∠ACD=∠ACB ‎ ‎∵AD⊥DC AE⊥BC ‎∴∠D=∠AEC=900 ‎ ‎∵AC=AC ‎ ‎∴△ADC≌△AEC ‎ ‎∴AD=AE ‎ ‎（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC 设AB＝x, 则BE=x－4 ，AE=8 ‎ 在Rt△ABE中 ∠AEB=900‎ 由勾股定理得： ‎ 解得：x=10‎ ‎∴AB=10 ‎ 点评：本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．‎ ‎5. （2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．‎ ‎（1）求EG的长；‎ ‎（2）求证：CF=AB+AF．‎ A B E G C D F ‎24题图 考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；‎ ‎（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．‎ 解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，‎ ‎∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=BC=．‎ 答：EG的长是．‎ ‎（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，‎ A B E G C D F ‎24题答图 ‎∵BD⊥CD，BE⊥CE，‎ ‎∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，‎ ‎∵∠EFB=∠DFC，‎ ‎∴∠EBF=∠DCF，‎ ‎∵DB=CD，BA=CH，‎ ‎∴△ABD≌△HCD，‎ ‎∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠DBC=45°，‎ ‎∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，‎ ‎∴∠ADB=∠HDB，‎ ‎∵AD=HD，DF=DF，‎ ‎∴△ADF≌△HDF，‎ ‎∴AF=HF，‎ ‎∴CF=CH+HF=AB+AF，‎ ‎∴CF=AB+AF．‎ 点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．‎ ‎6.（2011•贺州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（　　）‎ ‎ A、 B、 ‎ C、 D、 考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理。‎ 分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AD，BC的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比．‎ 解答：解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，‎ ‎∵EF是梯形的中位线，‎ ‎∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，‎ ‎∴AM=CM，BN=DN．‎ ‎∴EM=CD，NF=CD．‎ ‎∴EM=NF，‎ ‎∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，‎ ‎∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，‎ ‎∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，‎ S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，‎ S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，‎ S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，‎ ‎∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，‎ 图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，‎ ‎∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．‎ 故选：C．‎ ‎11. （2011•南充，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．‎ 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质。‎ 专题：证明题；几何综合题。‎ 分析：（1）过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，得到CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，根据ADPQ是矩形，AD=PQ，推出BC=2AD，由点M是BC的中点，推出BM=CM=AD=AB=CD，根据等边三角形的判定即可得到答案；‎ ‎（2）△AEF的周长存在最小值，理由是连接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，推出∠BME=∠AMF，证出△BME≌△AMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出△EMF是等边三角形，根据MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，即可求出△AEF的周长．‎ 解答：（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，‎ ‎∵∠C=∠B=60°‎ ‎∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，‎ 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，‎ 故BC=2AD，‎ 由已知，点M是BC的中点，‎ BM=CM=AD=AB=CD，‎ 即△MDC中，CM=CD，∠C=60°，‎ 故△MDC是等边三角形．‎ ‎（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：‎ 连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，‎ ‎△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，‎ ‎∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，‎ ‎∴∠BME=∠AMF，‎ 在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，‎ ‎∴△BME≌△AMF（ASA），‎ ‎∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，‎ ‎∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，‎ ‎∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，‎ ‎△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，‎ ‎△AEF的周长的最小值为2+，‎ 答：存在，△AEF的周长的最小值为2+．‎ ‎12. （2011四川攀枝花，19）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为．‎ ‎（1）求证：∠ACD=30°；‎ ‎（2）DE的长度．‎ 考点：等腰梯形的性质；解直角三角形。‎ 分析：（1）利用梯形的两底平行和等腰三角形的性质可以得到AC平分∠DCB，从而得证；（2）利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和DC的长即可求得DE的长．‎ 解答：解：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠BCA，‎ ‎∵AB=CD=AD，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠B=60°，‎ ‎∴∠DCA=∠BCA，‎ ‎∴∠ACD=30°；‎ ‎（2）作DG⊥BC于G点，‎ ‎∵∠B=60°，梯形的高为，‎ ‎∴DC=DG÷sin∠DCG=÷=2，‎ ‎∴DE=DC×sin∠ACD=2×=1．‎ ‎∴DE的长为1．‎ 点评：本题考查了等腰梯形的性质及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的利用等腰梯形的性质．‎ ‎13. （2011杭州，22，10分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．‎ ‎ （1）求证：△FOE≌△DOC； （2）求sin∠OEF的值； （3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义．‎ 专题：证明题；代数几何综合题．‎ 分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC； （2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值； （3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入中求值．‎ 解答：解：（1）∵EF是△OAB的中位线， ∴EF∥AB，EF= AB， 而CD∥AB，CD=AB， ∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC， ∴△FOE≌△DOC ‎； （2）∵在Rt△ABC中，AC= ， ∴sin∠OEF=sin∠CAB= ==； （3）∵AE=OE=OC，EF∥CD， ∴△AEG∽△ACD， ∴，即EG= CD， 同理FH= CD， ∴．‎ 点评：本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系