2014年天津市高考数学试卷（文科）

2014年天津市高考数学试卷（文科）

‎2014年天津市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（　　）‎ A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1‎ C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ ‎4．（5分）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a ‎5．（5分）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠‎ BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①BD平分∠CBF；‎ ‎②FB2=FD•FA；‎ ‎③AE•CE=BE•DE；‎ ‎④AF•BD=AB•BF．‎ 所有正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　 　名学生．‎ ‎10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　 　m3．‎ ‎11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为　 　．‎ ‎12．（5分）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是　 　．‎ ‎13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）‎ ‎（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．‎ ‎17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，‎ ‎（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；‎ ‎（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2‎ ‎，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．‎ ‎19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．‎ ‎20．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．‎ ‎（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；‎ ‎（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．‎ ‎　‎ ‎2014年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i ‎【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．‎ ‎【解答】解：复数==，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域，‎ 由z=x+2y，得y=﹣，‎ 平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．‎ 此时z的最小值为z=1+2×1=3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（　　）‎ A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1‎ C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ ‎【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a ‎【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，‎ 即a＞1，b＜0，0＜c＜1，‎ ‎∴a＞c＞b，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．‎ ‎【解答】解：∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，‎ ‎∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，‎ 由S1，S2，S4成等比数列，得：，‎ 即，解得：．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，‎ 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，‎ ‎∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，‎ ‎∴=2，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a2=5，b2=20，‎ ‎∴双曲线的方程为﹣=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①BD平分∠CBF；‎ ‎②FB2=FD•FA；‎ ‎③AE•CE=BE•DE；‎ ‎④AF•BD=AB•BF．‎ 所有正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④‎ ‎【分析】‎ 本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．‎ ‎【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，‎ ‎∴∠DBC=∠DAC．‎ ‎∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，‎ ‎∴∠FBD=∠BAF．‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAF=∠DAC．‎ ‎∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．‎ 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．‎ 由，FB2=FD•FA．即结论②成立．‎ 由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．‎ 正确结论有①②④．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【分析】根据f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值．‎ ‎【解答】解：∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，‎ 在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，‎ 设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　60　名学生．‎ ‎【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．‎ ‎【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，‎ 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　　m3．‎ ‎【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，‎ 其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，‎ ‎∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为　﹣4　．‎ ‎【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．‎ ‎【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；‎ 第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是　（﹣∞，0）　．‎ ‎【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．‎ ‎【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，‎ ‎∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；‎ 当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．‎ ‎∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．‎ 故答案为：（﹣∞，0）．‎ 方法二：原函数是由复合而成，‎ ‎∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；‎ 又y=lgt在其定义域上为增函数，‎ ‎∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，‎ ‎∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．‎ 故答案为：（﹣∞，0）．‎ ‎【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为　2　．‎ ‎【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF，‎ ‎∴=，=，‎ ‎=+=+=+，=+=+=+，‎ ‎∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，‎ ‎∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，‎ ‎∵•=1，‎ ‎∴（+）•（+）=++（1+）•=1，‎ 即×4+×4﹣2（1+）=1，‎ 整理得，‎ 解得λ=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为　（1，2）　．‎ ‎【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，‎ 作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，‎ 当a≤0，不满足条件，‎ ‎∴a＞0，‎ 当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，‎ 当a=1时，‎ 当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，‎ 由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x 得x2+4x+4=0，‎ 则判别式△=16﹣4×4=0，‎ 即此时直线y=﹣x与f（x）相切，‎ 此时y=a|x|与f（x）有五个交点，‎ ‎∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，‎ 则1＜a＜2，‎ 故答案为：（1，2）‎ ‎【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）‎ ‎（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．‎ ‎（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、‎ ‎（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、‎ ‎（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．‎ ‎（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，‎ 则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，‎ 故事件M发生的概率为 =．‎ ‎【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，‎ 代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，‎ ‎∴cosA===；‎ ‎（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，‎ 则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，‎ ‎（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；‎ ‎（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；‎ ‎（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；‎ ‎（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，‎ ‎∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，‎ ‎∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，‎ 又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．‎ 同理可证，FH∥平面PAB．‎ 又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，‎ ‎∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．‎ ‎∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．‎ 又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，‎ ‎∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．‎ ‎∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，‎ ‎∴PB⊥平面ABD，‎ ‎∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；‎ ‎（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，‎ ‎∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，‎ ‎∴BD，BA，BP两两垂直，‎ 以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，‎ 则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），‎ ‎∴=（，﹣，0），=（0，0，），‎ 设平面PBC的法向量为，‎ ‎∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，‎ 故=（1，1，0），‎ ‎∵E，F分别是棱AD，PC的中点，‎ ‎∴E（，，0），F（，﹣，），‎ ‎∴=（0，，），‎ ‎∴sinθ====﹣，‎ 即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分别用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e．‎ ‎（Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF1⊥PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，‎ ‎∵b2=a2﹣c2，‎ ‎∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，‎ ‎∴a2=2c2，‎ ‎∴e==．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=c2，‎ ‎∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）‎ 设P点坐标（csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O，‎ ‎∵PB为直径，‎ ‎∴BF1⊥PF1，‎ ‎∴kBF1•kPF1=•=﹣1，‎ 求得sinθ=﹣或0（舍去），‎ 由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，‎ cosθ==，‎ ‎∴P坐标为（﹣c，c），‎ ‎∴圆心O的坐标为（﹣c，c），‎ ‎∴r=|OB|==c，|OF2|==c，‎ ‎∵r2+|MF2|2=|OF2|2，‎ ‎∴+8=c2，‎ ‎∴c2=3，‎ ‎∴a2=6，b2=3，‎ ‎∴椭圆的方程为+=1．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，）‎ ‎（，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 递减 ‎0‎ 递增 ‎ ‎ 递减 所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，‎ 当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；‎ ‎（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．‎ 设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}‎ ‎，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅‎ 下面分三种情况讨论：‎ ‎①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；‎ ‎②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；‎ ‎③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．‎ 综上，a的取值范围是[]．‎ ‎【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．‎ ‎（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；‎ ‎（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．‎ ‎（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an﹣bn≤﹣1．‎ 由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（an﹣1﹣bn﹣1）qn﹣2+（an﹣bn）qn﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）qn﹣2﹣qn﹣1‎ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，‎ M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．‎ 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．‎ ‎（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（an﹣1﹣bn﹣1）qn﹣2+（an﹣bn）qn﹣1‎ ‎≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）qn﹣2﹣qn﹣1‎ ‎=（q﹣1）（1+q+…+qn﹣2）﹣qn﹣1‎ ‎=﹣qn﹣1‎ ‎=﹣1＜0．‎ ‎∴s＜t．‎ ‎【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎