2009年湖北省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 若向量a‎→‎‎=(1, 1)‎，b‎→‎‎=(-1, 1)‎，c‎→‎‎=(4, 2)‎，则c‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎3a‎→‎+‎b‎→‎ B.‎3a‎→‎-‎b‎→‎ C.‎-a‎→‎+3‎b‎→‎ D.‎a‎→‎‎+3‎b‎→‎ ‎2. 函数y=x-2‎‎2x-1‎(x∈R，且x≠‎1‎‎2‎)‎的反函数是（ ）‎ A.‎y=x-2‎‎2x-1‎(x∈R，且x≠‎1‎‎2‎)‎ B.‎y=‎2x-1‎x-2‎(x∈R，且x≠2)‎ C.‎y=x+2‎‎2x-1‎(x∈R，且x≠‎1‎‎2‎)‎ D.‎y=‎2x-1‎x+2‎(x∈R，且x≠-2)‎ ‎3. “sinα=‎‎1‎‎2‎”是“cos2α=‎‎1‎‎2‎”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 从‎5‎位同学中选派‎4‎位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有‎2‎人参加，星期六、星期日各有‎1‎人参加，则不同的选派方法共有（ ）‎ A.‎40‎种 B.‎60‎种 C.‎100‎种 D.‎120‎种 ‎5. 已知双曲线x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎的准线经过椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(b>0)‎的焦点，则b=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎ B.‎5‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎6. 如图，在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，‎∠ACC‎1‎=‎‎60‎‎∘‎，‎∠BCC‎1‎=‎‎45‎‎∘‎，侧棱CC‎1‎的长为‎1‎，则该三棱柱的高等于（        ）‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎7. 函数y=cos(2x+π‎6‎)-2‎的图象F按向量a‎→‎平移到F'‎，F'‎的函数解析式为y=f(x)‎，当y=f(x)‎为奇函数时，向量a‎→‎可以等于(        )‎ A.‎(-π‎6‎, -2)‎ B.‎(-π‎6‎, 2)‎ C.‎(π‎6‎, -2)‎ D.‎‎(π‎6‎, 2)‎ ‎8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将‎100‎台洗衣机运往邻近的乡镇．现有‎4‎辆甲型货车和‎8‎辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用‎400‎元，可装洗衣机‎20‎台；每辆乙型货车运输费用‎300‎元，可装洗衣机‎10‎台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2000‎元 B.‎2200‎元 C.‎2400‎元 D.‎2800‎元 ‎9. 设x∈R，记不超过x的最大整数为‎[x]‎，令‎{x}=x-[x]‎，则‎{‎5‎‎+1‎‎2‎}‎，‎[‎5‎‎+1‎‎2‎]‎，‎5‎‎+1‎‎2‎‎(‎ ‎‎)‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 他们研究过图‎1‎中的‎1‎，‎3‎，‎6‎，‎10‎，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图‎2‎中的‎1‎，‎4‎，‎9‎，‎16‎…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 形数又是正方形数的是（ ）‎ A.‎289‎ B.‎1024‎ C.‎1225‎ D.‎‎1378‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11. 已知‎(1+ax‎)‎‎5‎=1+10x+a‎2‎x‎2‎+bx‎3‎+...+‎anxn，则a‎2‎‎=‎________．‎ ‎12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是‎0.8‎、‎0.6‎、‎0.5‎，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人没有达标的概率是________．‎ ‎13. 设集合A＝‎{x|log‎2‎x<1}‎，B＝‎{x|x-1‎x+2‎<0}‎，则A∩B＝________．‎ ‎14. 过原点O作圆x‎2‎‎+y‎2‎-6x-8y+20=0‎的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．‎ ‎15. 如图是样本容量为‎200‎的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在‎[6, 10]‎内的频数为________，数据落在‎(2, 10)‎内的概率约为________．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 在锐角‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎3‎a＝‎2csinA．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎确定角C的大小；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若c=‎‎7‎，且‎△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎2‎，求a+b的值．‎ ‎17. 围建一个面积为‎360‎m‎2‎的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为‎2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为‎45‎元‎/m，新墙的造价为‎180‎元‎/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．‎ ‎(1)‎将修建围墙的总费用y表示成x的函数；‎ ‎(2)‎当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．‎ ‎18. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥‎平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ(0<λ≤1)‎．‎ ‎（1）求证：对任意的λ∈(0, 1]‎，都有AC⊥BE；‎ ‎（2）若二面角C-AE-D的大小为‎60‎‎∘‎，求λ的值．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎19. 已知数列‎{an}‎是一个公差大于‎0‎的等差数列，且满足a‎3‎a‎6‎‎=55‎，‎a‎2‎‎+a‎7‎=16‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（2）数列‎{an}‎和数列‎{bn}‎满足等式an‎=b‎1‎‎2‎+b‎2‎‎2‎‎2‎+b‎3‎‎2‎‎3‎+…+bn‎2‎n(n∈N‎*‎)‎，求数列‎{bn}‎的前n项和Sn．‎ ‎20. 如图，过抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M‎1‎、‎N‎1‎ ‎（1）求证：FM‎1‎⊥FN‎1‎；‎ ‎（2）记‎△FMM‎1‎、‎△FM‎1‎N‎1‎，‎△FNN‎1‎的面积分别为S‎1‎、S‎2‎、S‎3‎，试判断S‎2‎‎2‎‎=4‎S‎1‎S‎3‎是否成立，并证明你的结论．‎ ‎21. 已知关于x的函数f(x)=-‎1‎‎3‎x‎3‎+bx‎2‎+cx+bc，其导函数为f'(x)‎．令g(x)=|f'(x)|‎，记函数g(x)‎在区间‎[-1、1]‎上的最大值为M．‎ ‎（I）如果函数f(x)‎在x=1‎处有极值‎-‎‎4‎‎3‎，试确定b、c的值：‎ ‎（II）若‎|b|>1‎，证明对任意的c，都有M>2‎ ‎（III）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2009年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.B ‎2.A ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.A ‎7.B ‎8.B ‎9.B ‎10.C 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11.‎‎40‎ ‎12.‎0.24‎,‎‎0.76‎ ‎13.‎‎{x|02)‎．‎ ‎(II)‎因为x>0‎，所以‎225x+‎360‎‎2‎x≥2‎225×‎‎360‎‎2‎=10800‎，‎ 所以y=225x+‎360‎‎2‎x-360≥10440‎，当且仅当‎225x=‎‎360‎‎2‎x时，等号成立．‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是‎10440‎元．‎ ‎18.解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D(0, 0, 0)‎，A(a, 0, 0)‎，‎ B(a, a, 0)‎‎，C(0, a, 0)‎，E(0, 0, λa)‎，（1）证明：∵ AC‎→‎‎=(-a, a, 0)‎，‎ BE‎→‎‎=(-a, -a, λa)‎‎，EA‎→‎‎=(a, 0, -λa)‎，EC‎→‎‎=(0, a, -λa)‎．‎ ‎∴ ‎AC‎→‎‎⋅BE‎→‎=(-a, a, 0)⋅(-a, -a, λa)‎ ‎=a‎2‎-a‎2‎+0⋅λa=0‎‎，‎ 即对任意的λ∈(0, 1]‎，都有AC⊥BE．‎ ‎（2）DC‎→‎‎=(0, a, 0)‎为平面ADE的一个法向量．‎ 设平面ACE的一个法向量为n=(x, y, z)‎，‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 则n⊥E，n⊥E，‎ ‎∴ 即x-λz=0‎y-λz=0‎ 取z=1‎，得n=(λ, λ, 1)‎．‎ ‎∴ cos‎60‎‎∘‎=‎|λ|‎‎2λ‎2‎+1‎⇔‎2λ‎2‎+1‎=2|λ|‎．‎ 由λ∈(0, 1]‎，解得λ=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎19.解：（1）设等差数列‎{an}‎的公差为d，‎ 则依题意可知d>0‎由a‎2‎‎+a‎7‎=16‎，‎ 得‎2a‎1‎+7d=16‎①‎ 由a‎3‎a‎6‎‎=55‎，得‎(a‎1‎+2d)(a‎1‎+5d)=55‎②‎ 由①②联立方程求得 得d=2‎，a‎1‎‎=1‎或d=-2‎，a‎1‎‎=‎‎20‎‎7‎（排除）‎ ‎∴ ‎an‎=1+(n-1)⋅2=2n-1‎ ‎（2）令cn‎=‎bn‎2‎n，则有an‎=c‎1‎+c‎2‎+...+‎cn an+1‎‎=c‎1‎+c‎2‎+...+‎cn+1‎ 两式相减得 an+1‎‎-an=‎cn+1‎‎，由（1）得a‎1‎‎=1‎，‎an+1‎‎-an=2‎ ‎∴ cn+1‎‎=2‎，即cn‎=2(n≥2)‎，‎ 即当n≥2‎时，‎ bn‎=‎‎2‎n+1‎‎，又当n=1‎时，‎b‎1‎‎=2a‎1‎=2‎ ‎∴ ‎bn‎=‎‎2,(n=1)‎‎2‎n+1‎‎，(n≥2)‎ 于是Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+b‎3‎+...+bn=2+‎2‎‎3‎+‎2‎‎4‎+..‎.2‎n+1‎=‎2‎n+2‎-6‎，n≥2‎，‎ Sn‎=‎‎2n=1‎‎2‎n+2‎‎-6n≥2‎‎．‎ ‎20.（1）证明：由抛物线的定义得 ‎|MF|=|MM‎1‎|‎‎，‎|NF|=|NN‎1‎|‎，‎ ‎∴ ‎∠MFM‎1‎=∠MM‎1‎F，‎‎∠NFN‎1‎=∠NN‎1‎F 如图，设准线l与x的交点为F‎1‎ ‎∴ ‎MM‎1‎ // NN‎1‎ // FF‎1‎ ‎∴ ‎∠F‎1‎FM‎1‎=∠MM‎1‎F，‎‎∠F‎1‎FN‎1‎=∠NN‎1‎F 而‎∠F‎1‎FM‎1‎+∠MFM‎1‎+∠F‎1‎FN‎1‎+∠N‎1‎FN=‎‎180‎‎∘‎ 即‎2∠F‎1‎FM‎1‎+2∠F‎1‎FN‎1‎=‎‎180‎‎∘‎ ‎∴ ‎‎∠F‎1‎FM‎1‎+∠F‎1‎FN‎1‎=‎‎90‎‎∘‎ 故FM‎1‎⊥FN‎1‎．‎ ‎（2）S‎2‎‎2‎‎=4‎S‎1‎S‎3‎成立，证明如下：‎ 证：设M(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎N(x‎2‎, y‎2‎)‎ 则由抛物线的定义得 ‎|MM‎1‎|=|MF|=x‎1‎+‎p‎2‎‎，‎|NN‎1‎|=|NF|=x‎2‎+‎p‎2‎，‎ 于是 S‎1‎‎=‎1‎‎2‎|MM‎1‎||F‎1‎M‎1‎|=‎1‎‎2‎(x‎1‎+p‎2‎)|y‎1‎|‎‎，‎ S‎2‎‎=‎1‎‎2‎|M‎1‎N‎2‎||FF‎1‎|=‎1‎‎2‎p|y‎1‎-y‎2‎|‎‎，‎ S‎3‎‎=‎1‎‎2‎|NN‎1‎||F‎1‎N‎1‎|=‎1‎‎2‎(x‎2‎+p‎2‎)|y‎2‎|‎‎，‎ ‎∵ ‎S‎2‎‎2‎‎=4S‎1‎S‎3‎⇔(‎1‎‎2‎p|y‎1‎-y‎2‎‎|‎‎2‎=4×‎1‎‎2‎(x‎1‎+p‎2‎)|y‎1‎|⋅‎1‎‎2‎(x‎2‎+p‎2‎)|y‎2‎|‎ ‎⇔‎1‎‎4‎p‎2‎[(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4y‎1‎y‎2‎]=[x‎1‎x‎2‎+p‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)+p‎2‎‎4‎]|y‎1‎y‎2‎|‎‎，‎ 将x‎1‎‎=my‎1‎+‎p‎2‎x‎2‎‎=my‎2‎+‎p‎2‎与y‎1‎‎+y‎2‎=2mpy‎1‎y‎2‎‎=-‎p‎2‎代入上式化简可得 p‎2‎‎(m‎2‎p‎2‎+p‎2‎)=p‎2‎(m‎2‎p‎2‎+p‎2‎)‎‎，此式恒成立．‎ 故S‎2‎‎2‎‎=4‎S‎1‎S‎3‎成立．‎ ‎21.（I）解：∵ f‎'‎‎(x)=-x‎2‎+2bx+c，由f(x)‎在x=1‎处有极值‎-‎‎4‎‎3‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 可得f'(1)=-1+2b+c=0‎f(1)=-‎1‎‎3‎+b+c+bc=-‎‎4‎‎3‎ 解得b=1‎c=-1‎，或b=-1‎c=3‎ 若b=1‎，c=-1‎，则f‎'‎‎(x)=-x‎2‎+2x-1=-(x-1‎)‎‎2‎≤0‎，此时f(x)‎没有极值；‎ 若b=-1‎，c=3‎，则f‎'‎‎(x)=-x‎2‎-2x+3=-(x+3)(x-1)‎ 当x变化时，f(x)‎，f‎'‎‎(x)‎的变化情况如下表：‎ x ‎(-∞, -3)‎ ‎-3‎ ‎(-3, 1)‎ ‎1‎ ‎(1, +∞)‎ f‎'‎‎(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值‎-12‎ ‎↗‎ 极大值‎-‎‎4‎‎3‎ ‎↘‎ ‎∴ 当x=1‎时，f(x)‎有极大值‎-‎‎4‎‎3‎，故b=-1‎，c=3‎即为所求．‎ ‎（II）证法‎1:g(x)=|f‎'‎(x)|=|-(x-b‎)‎‎2‎+b‎2‎+c|‎ 当‎|b|>1‎时，函数y=f‎'‎(x)‎的对称轴x=b位于区间‎[-1.1]‎之外．‎ ‎∴ f‎'‎‎(x)‎在‎[-1, 1]‎上的最值在两端点处取得 故M应是g(-1)‎和g(1)‎中较大的一个，‎ ‎∴ ‎2M≥g(1)+g(-1)=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4‎，即M>2‎ 证法‎2‎（反证法）：因为‎|b|>1‎，所以函数y=f‎'‎(x)‎的对称轴x=b位于区间‎[-1, 1]‎之外，‎ ‎∴ f‎'‎‎(x)‎在‎[-1, 1]‎上的最值在两端点处取得．‎ 故M应是g(-1)‎和g(1)‎中较大的一个 假设M≤2‎，则M=maxg{(-1), g(1), g(b)}‎ 将上述两式相加得：‎4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|>4‎，导致矛盾，∴ ‎M>2‎ ‎（III）解法‎1:g(x)=|f‎'‎(x)|=|-(x-b‎)‎‎2‎+b‎2‎+c|‎ ‎（1）当‎|b|>1‎时，由‎(II)‎可知f‎'‎‎(b)-f‎'‎(±1)=b(‎∓‎1‎)‎‎2‎≥0‎；‎ ‎（2）当‎|b|≤1‎时，函数y=f‎'‎(x)‎的对称轴x=b位于区间‎[-1, 1]‎内，‎ 此时M=max{g(-1), g(1), g(b)}‎ 由f‎'‎‎(1)-f‎'‎(-1)=4b，有f‎'‎‎(b)-f‎'‎(±1)=b(‎∓‎‎1‎)‎‎2‎≥0‎ ‎①若‎-1≤b≤0‎，则f‎'‎‎(1)≤f‎'‎(-1)≤f‎'‎(b)‎，∴ g(-1)≤max{g(1), g(b)}‎，‎ 于是M=max{|f'(1),|f'(b)|}≥‎1‎‎2‎(|f'(1)|+f'(b)|)≥‎1‎‎2‎|f'(1)-f'(b)|=‎1‎‎2‎(b-1‎)‎‎2‎≥‎‎1‎‎2‎ ‎②若‎0‎‎1‎‎2‎ 综上，对任意的b、c都有M≥‎‎1‎‎2‎ 而当b=0,c=‎‎1‎‎2‎时，g(x)=|-x‎2‎+‎1‎‎2‎|‎在区间‎[-1, 1]‎上的最小值M=‎‎1‎‎2‎ 故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为‎1‎‎2‎．‎ 解法‎2:g(x)=|f‎'‎(x)|=|-(x-b‎)‎‎2‎+b‎2‎+c|‎ ‎（1）当‎|b|>1‎时，由‎(II)‎可知M>2‎ ‎（2）当‎|b|≤1‎ y=f‎'‎(x)‎时，函数的对称轴x=b位于区间‎[-1, 1]‎内，‎ 此时M=max{g(-1), g(1), g(b)}‎ ‎4M≥g(-1)+g(1)+2g(b)=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b‎2‎+c|≥|-1-2b+c+(-1+2b+c)-2(b‎2‎+c)|=|2b‎2‎+2|≥2‎‎，‎ 即M≥‎‎1‎‎2‎ 下同解法‎1‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页