2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第7练
第7练 三角函数的图象与性质[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度：三角函数的性质；三角函数的图象变换；由三角函数的图象求解析式.2.题目难度：三角函数的图象与性质常与三角变换相结合，难度为中低档.
考点一 三角函数的图象及变换
要点重组 (1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，作出对应点得到.
(2)图象变换：平移、伸缩、对称.
特别提醒 由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度.
1.(2018·兰州诊断)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)等于( )
A. B. C.0 D.－
答案 C
解析 由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，∵点在函数f(x)的图象上，∴sin＝0，
即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
∵x1＋x2＝，
∴＋＝2π，∴f(x1)＋f(x2)＝0.
2.若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小正值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 将y＝tan的图象向右平移个单位长度，得到y＝tan的图象，
由平移后的图象与y＝tan的图象重合，
得－＝kπ＋，k∈Z，
故ω＝－6k＋，k∈Z，
所以ω的最小正值为.
3.(2018·天津)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
答案 A
解析 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断选项A正确.
故选A.
4.设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A.(0，1) B.[1，2]
C.(0，1] D.(1，2)
答案 A
解析 画出函数f(x)在[0，2π]上的图象，如图所示：
若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0
0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－
C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝
答案 A
解析 ∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝2sin.
又f ＝2，
即2sin＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝a(0＜a＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递减区间是( )
A.[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z
B.[6kπ－3，6kπ]，k∈Z
C.[6k，6k＋3]，k∈Z
D.[6k－3，6k]，k∈Z
答案 D
解析 因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝a(0＜a＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以T＝＝8－2＝6，且当x＝＝3时函数取得最大值，所以ω＝，×3＋φ＝＋2nπ，n∈Z，所以φ＝－＋2nπ，n∈Z，所以f(x)＝Asin.由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，可得6k＋3≤x≤6k＋6，k∈Z.
12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，f(x)的图象向左平移个单位长度后关于直线x＝0对称，则f ＋f 的单调递增区间为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
答案 A
解析 易知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f 的图象关于直线x＝0对称，
∴π＋φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，
即f(x)＝sin.
∴f ＋f ＝sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f ＋f 的单调递增区间为，k∈Z.
1.为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sin 3x＋cos 3x＝sin＝sin，
又y＝cos 3x＝sin＝sin，
所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到.
2.将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g
(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象( )
A.关于点(－2，0)对称 B.关于点(0，－2)对称
C.关于直线x＝－2对称 D.关于直线x＝0对称
答案 B
解析 将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g(x)的解析式为g(x)＝3sin－4＝3sin－4＝3sin 2－4，f(x)＝3sin 2，故两个函数的图象关于点(0，－2)对称，故选B.
3.已知关于x的方程(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2在(0，π)上有实根，则实数t的最大值是____.
答案 －1
解析 由(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2，
得cos(x＋φ)＝t＋2，有解的条件为(t＋1)2＋t2≥(t＋2)2，解得t≥3或t≤－1.因为x∈(0，π)，
当t≥3时显然不成立，故t≤－1，
所以实数t的最大值是－1.
解题秘籍 (1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f(ωx)的图象得到f(ωx＋φ)的图象平移了个单位长度(ω≠0).
(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.
1.将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴方程是( )
A.x＝ B.x＝
C.x＝－ D.x＝－
答案 D
解析 将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y＝sin，再向左平移个单位长度，纵坐标不变，得函数y＝sin＝sin，把四个选项中的值代入函数，只有D代入后有sin＝sin＝－1是函数的最小值，因此x＝－
是函数的一条对称轴方程.
2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2，
又＝，∴f(x)的图象过点，
即sin＝1，又|φ|<，所以φ＝，
∴f(x)＝sin.
而x1＋x2＝－＋＝，
∴f(x1＋x2)＝f ＝sin＝sin ＝.
3.(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
答案 A
解析 f(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
f(x)＝－sin单调递减.
∵函数f(x)在[－a，a]上是减函数，
∴[－a，a]⊆，
∴0＜a≤，∴a的最大值为.
故选A.
4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f f
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
答案 D
解析 由f(x)≤恒成立知，x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f 0，又|φ|<π，所以φ＝，
即f(x)＝sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
5.已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，则θ的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 函数f(x)＝sin x＋cos x＝2sin(x∈R)，
先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
可得y＝2sin的图象，
再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，
得到y＝2sin的图象.
又得到的图象关于直线x＝对称，
可得2×＋－2θ＝kπ＋，k∈Z，
即θ＝－＋，k∈Z，
当k＝1时，θ的最小值为.故选A.
6.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )
A.y＝f(x)的最小正周期为π，且在上单调递增
B.y＝f(x)的最小正周期为π，且在上单调递减
C.y＝f(x)的最小正周期为，且在上单调递增
D.y＝f(x)的最小正周期为，且在上单调递减
答案 B
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，因为其图象关于x＝0对称，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2cos 2x.
其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减.
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A.f(2)0，∴φmin＝，
故f(x)＝Asin.于是f(0)＝Asin ，
f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，
f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin＝Asin.
又∵－<－4<4－<<，y＝Asin x在上单调递增，
∴f(2)0，所以ω＝2k＋1(k∈N)，
又因为f(x)在上单调，
所以－＝≤＝，即ω≤12，
若ω＝11，又|φ|≤，则φ＝－，
此时，f(x)＝sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件.
若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，
此时，f(x)＝sin，满足f(x)在上单调的条件.
由此得ω的最大值为9，故选B.
9.(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______.
答案 3
解析 由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.
∵x∈[0，π]，
∴3x＋∈，
∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3.
10.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为__________.
答案 (k∈Z)
解析 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
11.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f ＝____.
答案
解析 如题干图所示，可知＝－＝，
所以T＝，所以＝，所以ω＝2.因为图象过点，
所以Atan＝0，即tan＝0.又|φ|＜，
所以φ＝.又图象过点(0，1)，即Atan＝1，
所以A＝1，所以f(x)＝tan.
所以f ＝tan＝tan ＝.
12.已知函数f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则f(x)在区间上的最小值为________.
答案 －
解析 f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)＝－2sin，
将其图象向右平移个单位长度后，
得y＝－2sin＝－2sin.
由其图象关于y轴对称，得－－φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝－－kπ，k∈Z.
由|φ|＜，得φ＝.
即f(x)＝－2sin.
∵－≤x≤0，∴－≤2x－≤－，
∴－≤f(x)≤2，则f(x)在区间上的最小值为－.
