高考数学一轮复习精品学案：第9讲 空间几何体的表面积和体积

高考数学一轮复习精品学案：第9讲 空间几何体的表面积和体积

‎2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第9讲 空间几何体的表面积和体积 一．课标要求：‎ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。‎ 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。‎ 由于本讲公式多反映在考题上，预测2013年高考有以下特色：‎ ‎（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；‎ ‎（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；‎ 三．要点精讲 ‎1．多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(S侧)‎ 全面积(S全)‎ 体 积(V)‎ 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h 直棱柱 ch S底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h 正棱锥 ch′‎ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底+)‎ 正棱台 ‎ (c+c′)h′‎ 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。‎ ‎2．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 ‎2πrl πrl π(r1+r2)l S全 ‎2πr(l+r)‎ πr(l+r)‎ π(r1+r2)l+π(r21+r22)‎ ‎4πR2‎ V πr2h(即πr2l)‎ πr2h πh(r21+r1r2+r22)‎ πR3‎ 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。‎ 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.‎ 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： ‎ 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）‎ 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16‎ 即l2=16‎ 所以l=4(cm)。‎ 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。‎ 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。‎ ‎（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；‎ ‎（2）求这个平行六面体的体积。‎ 图1 图2‎ 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，‎ ‎∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，‎ 从而OM=ON。‎ ‎∴点O在∠BAD的平分线上。‎ ‎（2）∵AM=AA1cos=3×=‎ ‎∴AO==。‎ 又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=，‎ ‎∴A1O=，平行六面体的体积为。‎ 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）‎ A．2 B．‎3‎ C．6 D．‎ 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。‎ 点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。‎ 例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。‎ 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。‎ ‎∵E、F分别为AB、AC的中点，‎ ‎∴S△AEF=S,‎ V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh，‎ ‎∴V1∶V2=7∶5。‎ 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。‎ 题型3：锥体的体积和表面积 P A B C D O E 例5．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？‎ 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。‎ 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO，‎ 于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面积为2。‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的体积V=×2×=2。‎ 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。‎ 例6．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）‎ ‎（Ⅰ）证明：SC⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。‎ 解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，‎ ‎∴SA⊥AB，SA⊥AC。‎ 又AB∩AC=A，‎ ‎∴SA⊥平面ABC。‎ 由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。‎ ‎（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。‎ ‎∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。‎ 在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。‎ 在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，‎ ‎∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。‎ ‎（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，‎ ‎∵SA=，‎ S△ABC=·AC·BC=×5×5=，‎ ‎∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。‎ 点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。‎ 题型4：锥体体积、表面积综合问题 例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？‎ 解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。‎ 设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。‎ ‎ 。‎ 而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。‎ 由，得·‎ 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。‎ 例8．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）‎ A．S1S2‎ C．S1=S2 D．S1，S2的大小关系不能确定 解：连OA、OB、OC、OD，‎ 则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，‎ 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C 点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。‎ 题型5：棱台的体积、面积及其综合问题 例9．如图9—24，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。‎ ‎（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；‎ ‎（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；‎ ‎（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。‎ ‎（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）‎ 图 ‎（Ⅰ）解：过B‎1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B‎1G⊥PQ，垂足为G。‎ 如图所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，‎ ‎∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.‎ ‎∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。‎ ‎∴PG=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），‎ ‎∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.‎ ‎（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，‎ 又CD是面ABCD与面CDEF的交线，‎ ‎∴AB∥面CDEF。‎ ‎∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，‎ ‎∴AB∥EF。‎ ‎∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，‎ ‎∴EF∥面ABCD。‎ ‎（Ⅲ）V估＜V。‎ 证明：∵a＞c，b＞d，‎ ‎∴V－V估=‎ ‎=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］‎ ‎=（a－c）（b－d）＞0。‎ ‎∴V估＜V。‎ 点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。‎ 例10．（1）如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（ ）‎ A． B． C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2S′S ‎（2）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）‎ A．32 B．‎28‎ C．24 D．20‎ 解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；‎ ‎（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V台＝，答案B。‎ 点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。‎ 题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题 例11．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.‎ ‎∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2，‎ ‎∴。答案为A。‎ 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。‎ 例12．如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。‎ 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。‎ 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。‎ 题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题 例13．（1）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）‎ A．π B．π C．π D．π ‎（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ）‎ A．3π B．3π C．6π D．9π 解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。‎ ‎∴，答案D。‎ ‎（2）∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，‎ ‎∴a2＝4，a＝2，a=2r，‎ ‎∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。‎ 点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。‎ 例14．如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：如图所示，由题意知，πr2h＝πR2h，‎ ‎∴r＝． 又△ABO∽△CAO，‎ ‎∴，∴OA2＝r·R＝，‎ ‎∴cosθ＝，答案为D。‎ 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。‎ 题型8：球的体积、表面积 例15．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。‎ 解：设截面圆心为，连结，设球半径为，‎ 则，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。‎ 例16．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。‎ 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。‎ 在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,‎ ‎∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。‎ 由正弦定理，得 =2r,∴r=a。‎ 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，‎ ‎∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，‎ ‎∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a,‎ ‎∴S球=4πR2=3πa2。‎ 点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。‎ 题型9：球的面积、体积综合问题 例17．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。‎ 解析：（1）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面积是，选D。‎ ‎（2）作轴截面如图所示，‎ ‎，，‎ 设球半径为，‎ 则 ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴，。‎ 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。‎ 例18．（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。‎ ‎（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。‎ 解：（1）设球半径为，正四棱柱底面边长为，‎ 则作轴截面如图，，，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H ‎ 由题设 ‎∵　△AOF∽△AEG ∴　，得 ‎∵　△AO1H∽△AOF ∴ ，得 ‎∴　‎ 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。‎ 题型10：球的经纬度、球面距离问题 例19．（1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）‎ ‎（2）在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离。‎ 解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，‎ ‎∴，‎ 设是北纬的纬线长，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 答：北纬纬线长约等于．‎ ‎（2）解：设经过三点的截面为⊙，‎ 设球心为，连结，则平面，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 所以，球心到截面距离为．‎ 例20．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。‎ 解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴中，，‎ 所以，两点的球面距离等于．‎ 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。‎ 五．思维总结 ‎1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 ‎(1)全面积：S全=a2；‎ ‎(2)体积：V=a3；‎ ‎(3)对棱中点连线段的长：d=a；‎ ‎(4)内切球半径：r=a；‎ ‎(5)外接球半径 R=a；‎ ‎(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。‎ ‎2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：‎ 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。‎ 则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；‎ ‎②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；‎ ‎③体积 V=abc；‎ ‎④底面△ABC=；‎ ‎⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；‎ ‎⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ‎⑦=++; ‎ ‎⑧外切球半径 R=；‎ ‎⑨内切球半径 r=‎ ‎3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.‎ ‎①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则 ‎ sinα=cos = ，‎ α+=90° ‎ ‎ cosα=sin = .‎ ‎②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。‎ ‎③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.‎ ‎(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；‎ ‎(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；‎ ‎(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：‎ r=.‎ ‎4．经度、纬度：‎ 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；‎ 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；‎ 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。‎ 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。‎ ‎5. 两点的球面距离：‎ 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）‎