全国高考理课数学试题及答案重庆卷

全国高考理课数学试题及答案重庆卷

绝密　*　启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷（理工农医类） 数学试题（理工农医类）共 5 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使 0.5 毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。 　　4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。　 　　5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 　　参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）－P(A)+P(B) . 　　　　　　 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)－P(A)·P(B) 　　　　　　　 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立事件重复试验中恰好发生 k 次 的概率 Pn(k)=CknPk(1-P)n-k 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. (1)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( uA)∪( uB)= (A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} (2)在等差数列｛an｝中，若 aa+ab=12,SN 是数列｛an｝的前 n 项和，则 SN 的值为 （A）48 (B)54 (C)60 (D)66 (3)过坐标原点且与 x2｜y2 4x｜2y+ =0 相切的直线的方程为 （A）y=-3x 或 y= x (B) y=-3x 或 y=- x （C）y=-3x 或 y=- x (B) y=3x 或 y= x (4)对于任意的直线 l 与平同 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l (A)平行　　　　　　　　　　　　　　（B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 （5）若 　 n 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 (A)-540 (B) (c)162 (D)540 (6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁－１８岁 的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下： 2 5 3 1 3 1 3 1 3 1 ( x3 ) x 1 根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 (A)20 (B)30 (C)40 （D）50 (7)与向量 a= 的夹解相等，且模为 1 的向量是 (A) (B) 或 （C） （D） 或 （８）将 5 名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同 的分配方案有 （A）３０种　　　　　　　　　　　　（B）９０种 （C）１８０种　　　　　　　　　　　（D）２７０种 （９）如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数 y=f(x)的图象是 　　　 题　（９）图 　　　　　 −     b,2 1,2 7      2 7,2 1   −   5 3,5 4   −   5 3,5 4     − 5 3,5 4   −   3 1,3 22   −   3 1,3 22      − 3 1,3 22 （１０）若 a,b,c＞0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 ,则 2a+b+c 的最小值为 （A） -1 (B) +1 (C) 2 +2 (D) 2 -2 一、填空题：本大题共 6 小题，共 24 分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）复数复数 的值是_________. (12) _________. (13)已知 ，sin( )=－ sin 则 os =________. (14)在数列｛an｝中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. (15) 设 a＞0,n 1, 函 数 f(x)=alg(x2-2n+1) 有 最 大 值 . 则 不 等 式 logn(x2-5x+7) ＞0 的 解 集 为 _______. (16)已知变量 x,y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数 z=ax+y(其中 a＞0)仅在点 (3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为___________. 二、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)= cos2cos+sin rcos x+a(其中 ＞0,a R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一 个高点的横坐标为 . （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果 f(x)在区间 上的最小值为 ，求 a 的值. （１８）（本小题满分 13 分） 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠.若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用ξ表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数.求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望. （１９）（本小题满分１３分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA 底面 ABCD, DAB 为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、 3 3 3 3 3 2i3 21 + + i ∝−n lim =−− −+++ 12 )12(31 2 nn n βα,     ∈ ππ ,4 3 βα + ,5 3 ,13 12 4 =     − πβ      + 4 πα ≠ 3 ω ω ω ∈ 6 x    − 6 5,3 ππ 3 3 1 ⊥ ∠ F 分别为 PC、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD 平面 BEF; （Ⅱ）设 PA＝k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 ,求 k 的取值范围. （20）(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=(x2+bx+c)cx,其中 b,c R 为常数.　　　　　　　　图(19)图 （Ⅰ）若 b2＞4(a-1),讨论函数 f(x)的单调性； （Ⅱ）若 b2＜4(c-1),且 =4,试证：－6≤b≤2. (21)(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); （Ⅱ）设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式. (22)(本小题满分 12 分) 已知一列椭圆 Cn:x2+ =1. 0＜bn＜1,n=1,2. .若椭圆 C 上有一点 Pn 使 Pn 到右准线 ln 的距 离 d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右焦点. （Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1); （Ⅱ）取 bn＝ ，并用 SA 表示 PnFnGn 的面积，试 证：S1＜S1 且 Sn＜Sn+3 (n≥3). 图(２２)图 （20）(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=(x2+bx+c)cx,其中 b,c R 为常数. （Ⅰ）若 b2＞4(a-1),讨论函数 f(x)的单调性； （Ⅱ）若 b2＜4(c-1),且 =4,试证：－6≤b≤2. (21)(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); （Ⅱ）设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式. ⊥ °30 ∈ ∞→n lim x cxf −)( 2 2 nb y  2 3 2 32 + + n n ∆ ∈ ∞→n lim x cxf −)( (22)(本小题满分 12 分) 已知一列椭圆 Cn:x2+ =1. 0＜bn＜1,n=1,2. .若椭圆 C 上有一点 Pn 使 Pn 到右准线 ln 的距 离 d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右焦点. （Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1); （Ⅱ）取 bn＝ ，并用 SA 表示 PnFnGn 的面积，试证：S1＜S1 且 Sn＜Sn+3 (n≥3). 图(２２)图 2 2 nb y  2 3 2 32 + + n n ∆ 部分参考答案 (18)(本小题 13 分) 解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５. 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)= = , P(ξ=1)= P(ξ=2)= = , P(ξ=3)= P(ξ=4)= = , P(ξ=5)= 从而ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P （Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 Eξ=0× +１× +2× +3× +4× +5× = = . 解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，这是 5 次独立重复试验. 故ξ－B ,即有 P(ξ=k)=C ,k=0,1,2,3,4,5. 由此计算ξ的分布列如解法一. 解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二. （Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相 等. 即 3Eξ=5,从而 Eξ= . （19）（本小题 13 分） 解法一： （Ⅰ）证：由已知 DF∥AB 且 DAD 为直角，故 ABFD 是矩 2 5 3 2 243 32 =• 5 41 5 3 2C .243 80 =• 5 32 5 3 2C 243 80 =• 5 42 5 3 2C .243 40 =• 5 4 3 3 2C 243 10 = 53 1 .243 1 243 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 405 3 5      3 1,5 2 5 b      3 1 k−      5 3 2 3 5 ∠ 形，从而 CD BF. 又 PA 底面 ABCD,CD AD，故由三垂线定理知 CD PD.在△PDC 中，E、F 分别 PC、CD 的中点，故 EF∥PD,从而 CD EF,由此得 CD 面 BEF. 　　　第（19）图１ （Ⅱ）连结 AC 交 BF 于 G.易知 G 为 AC 的中点.连接 EG,则在△PAC 中易知 EC∥PA.又因 PA 底面 ABCD,故 BC 底面 ABCD.在底面 ABCD 中，过 C 作 GH BD,垂足为 H,连接 EH.由三垂线定理知 EH BD.从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 设 AB=a,则在△PAC 中，有 BG= PA= ka. 以下计算 GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结 GD. 因 S△CBD= BD·GH= GB·OF. 故 GH= . 在 △ ABD 中 ， 因 为 AB ＝ a,AD=2A, 得 BD= a　　　　　　　　　　 第（19）图２ 而 GB= FB= AD-a.DF-AB,从而得 GH= = ＝ 因此 tanEHG= = 由 k＞0 知 是锐角，故要使 ＞ ，必须 ＞tan = 解之得，k 的取值范围为 k＞ 解法二： （Ⅰ）如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为：轴 建立空间直角坐标系，设 AB=a,则易知点 A,B,C,D,F 的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ∠ 2 1 2 1 2 1 2 1 BD DFGB • 5 2 1 2 1 BD DFGB • a aa 5 • .5 5 a GH EG .2 5 5 5 2 1 k a ka = EHG∠ EHG∠ °30 k2 5 °30 ,3 3 .15 152 F(a,2a,0). 从而 =(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　 · =0,故 . 设 PA=b,则 P(0,0,b),而 E 为 PC 中点.故 第（19）３ E .从而 = . · =0,故 . 由此得 CD 面 BEF. （Ⅱ）设 E 在 xOy 平面上的投影为 G，过 G 作 GH BD 垂足为 H,由三垂线定理知 EH BD. 从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PA＝k·AB 得 P(0,0,ka),E ,G(a,a,0). 设 H(x,y,0)，则 =(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0), 由 · =0 得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ① 又因 =(x,a,y,0),且 与 的方向相同，故 ＝ ，即 2x+y=2a ② 由①②解得 x= a,y= a,从而 ＝ ，｜ ｜＝ a. tanEHG= = = . 由 k＞0 知，EHC 是锐角，由 EHC＞ 得 tanEHG＞tan 即 ＞ 故 k 的取值范围为 k＞ . (20)（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）求导得 f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex.. 因 b2＞4(c-1),故方程 f2(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+c=0 有两根； DC BF DC BF DC ⊥ BF      2,, baa BE      2,,0 ba DC BE DC ⊥ BE ⊥ ⊥ ⊥ ∠      2,, kaaa GH BD GH BD BH BH BD a ax − a y 2 5 3 5 4 GH      −− 0,5 1,5 2 aa GH 5 5 GH EC a Ka 5 5 2 k2 5 ∠ ,30° ,30° k2 5 .3 3 15 152 x1=－ ＜x2=－ 令 f′（x）＞0，解得 x＜x1 或 x＞x1； 又令 f′（x）＞0，解得 x1＜x＜x2. 故当 xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当 xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数. （Ⅱ）易知 f(0)=c,f(u)=b+c,因此 . 所以，由已知条件得 b+e=4 b2≤4(e-1), 因此 b2+4b-12≤0. 解得-6≤b≤2. (21)（本小题 12 分） 解：（Ⅰ）因为对任意 xεR，有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3，得 f(3-22+2)-3-22+2，即 f(1)=1. 若 f(0)=a，则 f(a-02+0)=a-02+0，即 f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意 xεR，有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 xεR，有 f(x)- x2 +x= x0. 在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x + x0= x0, 又因为 f(x0)- x0，所以 x0- x =0，故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0，则 f(x)- x2 +x=0，即 f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故 x2≠0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1，即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为 f(x)= x2 –x+1（x R）. （22）（本小题 12 分） 证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 　　　　 设 2 )1(4 2 2 −−−+ cbcb 2 2+b .2 )1(42 −−+ cb ebfx fxf x exf +==−=− →→ )0()0()(lim)(lim 00 2 0 2 0 ∈ .1,2||||2 ==+= nnnnnn dGPFPd 故 则右准线方程为,1 2 nn bt −= 因此，由题意 应满足 即 即 , 从而对任意 （Ⅱ）设点 得两极 ，从而易知 f(c)在（ ， ）内是增函 数，而在（ ， 1）内是减函数. 　　　现在由题设取 是增数列. 又易知 　　　 故由前已证，知 .1 x n exl = nd .1111 +≤≤− x n x ede ，＜，解之得： ＜＜ 12 1 10 111 n n x e e e ≤    ≤− 12 1 ＜ne≤ .2 3,1 ≤≥ nbn 及椭圆方程易知则出）的坐标为（ 1,, −nnnn dfxP ,11 −= n n ex ))11(1)(1()1( 22222 −−−=−= n nnnn ccxby 6 131± 2 1 6 131± 6 131± ,,2 112 11,2 32 2 cnn nbcn nb nnn +−−+ +=−=+ += 则 ＜ 4 3 2 =c .5 4 6 131 nc=± ＜ ).3(121 ≥+ nSSSS nn＜，且＜