2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (浙江卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (浙江卷)

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合P=，Q=，则P=（ ）‎ ‎ A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.‎ ‎2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（ ）‎ ‎ A. B.4 C. D.6‎ ‎4.命题“使得”的否定形式是（ ）‎ ‎ A.使得 B.使得 ‎ C.使得 D.使得 ‎5.设函数，则的最小正周期（ ）‎ ‎ A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关 ‎ C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关 ‎6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎，.（表示点P与Q不重合）‎ ‎ 若，为的面积，则（ ）‎ ‎ A.是等差数列B.是等差数列 C.是等差数列D.是等差数列 ‎7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（ ）‎ ‎ A.且 B.且 ‎ C.且 D.且 ‎8.已知实数. （ ）‎ ‎ A.若则 ‎ B.若则 ‎ C.若则 ‎ D.若则 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .‎ ‎10.已知，则A= ，b= .‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.‎ ‎12.已知，若，则a= ，b= .‎ ‎13.设数列的前n项和为，若 ‎，则= ，= .‎ ‎14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .‎ ‎15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是 .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知 ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若的面积，求角A的大小.‎ ‎17.（本题满分15分）如图，在三棱台中，已知平面BCFE平面ABC，，，，，‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎18. （本题满分15分）设，函数,‎ 其中 ‎（Ⅰ）求使得等式成立的x的取值范围 ‎（Ⅱ）（i）求的最小值 ‎（ii）求在上的最大值 ‎ ‎19.（本题满分15分）如图，设椭圆 ‎（Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）‎ ‎（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎20、（本题满分15分）设数列满足，‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若，，证明：，.‎ 浙江数学（理科）试题 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分.‎ ‎1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分.‎ ‎9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14. 15. ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。‎ ‎16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（I）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．‎ 又，，故，所以 或，‎ 因此（舍去）或，‎ 所以，．‎ ‎（II）由得，故有 ‎，‎ 因，得．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ ‎17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ ‎（I）延长，，相交于一点，如图所示．‎ 因为平面平面，且，所以，‎ 平面，因此，‎ ‎．‎ 又因为，，，所以 为等边三角形，且为的中点，则 ‎．‎ 所以平面．‎ ‎（II）方法一：‎ 过点作，连结．‎ 因为平面，所以，则平面，所以．‎ 所以，是二面角的平面角．‎ 在中，，，得．‎ 在中，，，得．‎ 所以，二面角的平面角的余弦值为．‎ 方法二：‎ 如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．‎ 取的中点，则，又平面平面，所以，平面．‎ 以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，‎ 建立空间直角坐标系．‎ 由题意得 ‎，，，‎ ‎，，．‎ 因此，‎ ‎，，．‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为．‎ 由，得，取；‎ 由，得，取．‎ 于是，．‎ 所以，二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎ 18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎（I）由于，故 当时，，‎ 当时，．‎ 所以，使得等式成立的的取值范围为 ‎．‎ ‎（II）（i）设函数，，则 ‎，，‎ 所以，由的定义知，即 ‎．‎ ‎（ii）当时，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得 ‎，‎ 故 ‎，．‎ 因此 ‎．‎ ‎（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ‎．‎ 记直线，的斜率分别为，，且，，．‎ 由（I）知，‎ ‎，，‎ 故 ‎，‎ 所以．‎ 由于，，得 ‎，‎ 因此 ‎， ①‎ 因为①式关于，的方程有解的充要条件是 ‎，‎ 所以 ‎．‎ 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为 ‎，‎ 由得，所求离心率的取值范围为．‎ ‎20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎（I）由得，故 ‎，，‎ 所以 ‎，‎ 因此 ‎．‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 ‎．‎ 从而对于任意，均有 ‎．‎ 由的任意性得． ①‎ 否则，存在，有，取正整数且，则 ‎，‎ 与①式矛盾．‎ 综上，对于任意，均有．‎