高考数学专题复习练习:13-1-2 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:13-1-2 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:50分钟)‎ ‎1.(2017·吉林实验中学)已知椭圆C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等,求点P的坐标.‎ ‎【解析】 (1)椭圆C的参数方程为:(θ为参数),‎ 直线l的普通方程为x-y+9=0.‎ ‎(2)设P(2cos θ,sin θ),‎ 则|AP|==2-cos θ,‎ P到直线l的距离 d==.‎ 由|AP|=d,得3sin θ-4cos θ=5,又sin2θ+cos2θ=1,‎ 得sin θ=,cos θ=-.‎ 故P.‎ ‎2.(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程;‎ ‎(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.‎ ‎【解析】 (1)由ρ=2sin θ,‎ 得ρ2=2ρsin θ,‎ 从而有x2+y2=2y,‎ 所以x2+(y-)2=3.‎ ‎(2)设P,又C(0,),‎ 则|PC|= ‎=,‎ 故当t=0时,|PC|取得最小值,‎ 此时,点P的直角坐标为(3,0).‎ ‎3.(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8,2),直线l和曲线C:(θ为参数)交于不同的两点M1,M2.‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围.‎ ‎【解析】 (1)曲线C的普通方程为+=1,‎ 直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得:‎ ‎(8+tcos α)2+8(2+tsin α)2=32,‎ 整理得(8sin2α+cos2α)t2+(16cos α+32sin α)t+64=0,‎ 由Δ=(16cos α+32sin α)2-4×64(8sin2α+cos2α)>0,‎ 得cos α>sin α,故α∈,‎ ‎∴|PM1||PM2|=|t1t2|‎ ‎=∈.‎ ‎4.(2017·山西模拟)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=4sin.现以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l和曲线C交于A,B两点,定点P(-2,-3),求|PA|·|PB|的值.‎ ‎【解析】 (1)ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,‎ 所以ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,‎ 所以x2+y2-4x-4y=0,‎ 即(x-2)2+(y-2)2=8;‎ 直线l的普通方程为x-y+2-3=0.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入到圆C:‎ x2+y2-4x-4y=0中,‎ 得t2-(4+5)t+33=0,‎ 设A,B对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1t2=33.‎ 点P(-2,-3)显然在直线l上,‎ 由直线标准参数方程下t的几何意义知 ‎|PA|·|PB|=|t1t2|=33,‎ 所以|PA|·|PB|=33.‎ ‎5.(2017·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C的半径为4.‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)试判断直线l与圆C的位置关系.‎ ‎【解析】 (1)直线l的参数方程为(t为参数),‎ 即(t为参数).‎ 由题知C点的直角坐标为(0,4),圆C的半径为4,‎ ‎∴圆C的方程为x2+(y-4)2=16,‎ 将代入得,‎ 圆C的极坐标方程为ρ=8sin θ.‎ ‎(2)由题意得,直线l的普通方程为x-y-5-=0,‎ 圆心C到l的距离为d==>4,‎ ‎∴直线l与圆C相离.‎ ‎6.(2017·沈阳模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos 2θ=8,曲线C2的极坐标方程为θ=,曲线C1,C2相交于A,B两点.‎ ‎(1)求A,B两点的极坐标;‎ ‎(2)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.‎ ‎【解析】 (1)由得ρ2cos =8,‎ 所以ρ2=16,即ρ=±4.‎ 所以A,B两点的极坐标为:A,B或B.‎ ‎(2)由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2-y2=8,‎ 将直线代入x2-y2=8,‎ 整理得t2+2t-14=0,‎ 即t1+t2=-2,t1·t2=-14,‎ 所以|MN|==2.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:40分钟)‎ ‎7.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ ‎【解析】 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|.‎ 则|PA|= ‎=|5sin(θ+α)-6|,‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎8.(2017·洛阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,与x轴的交点为F,求+的值.‎ ‎【解析】 (1)由ρsin2θ=8cos θ得,ρ2sin2θ=8ρcos θ,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0),‎ 将直线l的方程代入y2=8x,‎ 得(tsin α)2=8(2+tcos α),‎ 整理得sin2α·t2-8cos α·t-16=0.‎ 由已知sin α≠0,‎ Δ=(-8cos α)2-4×(-16)sin2α=64>0,‎ ‎∴t1+t2=,t1t2=-<0,‎ 故+== ‎===.‎ ‎9.(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.‎ ‎【解析】 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|==.‎ 由|AB|=得cos2α=,tan α=±.‎ 所以l的斜率为或-.‎ ‎10.(2016·课标全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎【解析】 (1)C1的普通方程为+y2=1.‎ C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,‎ d(α)= ‎=.‎ 当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.‎
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