高中数学人教a版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评6word版含答案
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆
x2
16
＋
y2
25
＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在 y轴上，所
以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选 D.
【答案】 D
2．如果方程
x2
a2
＋
y2
a＋6
＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 a的
取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或 a<－2 D．a>3或－6
a＋6>0，得
a2－a－6>0，
a＋6>0，
所以
a<－2或 a>3，
a>－6，
所以 a>3或－6b>0)，
且可知左焦点为 F′(－2,0)．
从而有
c＝2，
2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得
c＝2，
a＝4.
又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12，故椭圆 C的标准方程为
x2
16
＋
y2
12
＝1.
法二：依题意，可设椭圆 C的方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，
则
4
a2
＋
9
b2
＝1，
a2－b2＝4，
解得 b2＝12或 b2＝－3(舍去)，从而 a2＝16，所
以椭圆 C的标准方程为
x2
16
＋
y2
12
＝1.
【答案】
x2
16
＋
y2
12
＝1
8．椭圆
x2
9
＋
y2
2
＝1的焦点为 F1，F2，点 P在椭圆上．若|PF1|＝4，
则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
【解析】 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.
在△PF1F2中，
cos ∠F1PF2＝
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1||PF2|
＝－
1
2
.
∴∠F1PF2＝120°.
【答案】 2 120°
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8；
(2)椭圆两焦点间的距离为 16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分
别等于 9或 15.
【解】 (1)①若焦点在 x轴上，可设椭圆的标准方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝
1(a>b>0)．
由题意知 2a＝8，∴a＝4，
又点 P(3,2)在椭圆上，
∴
9
16
＋
4
b2
＝1，得 b2＝64
7
.
∴椭圆的标准方程为
x2
16
＋
y2
64
7
＝1.
②若焦点在 y轴上，设椭圆标准方程为
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，
又点 P(3,2)在椭圆上，
∴
4
16
＋
9
b2
＝1，得 b2＝12.
∴椭圆的标准方程为
y2
16
＋
x2
12
＝1.
由①②知椭圆的标准方程为
x2
16
＋
y2
64
7
＝1或y2
16
＋
x2
12
＝1.
(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，
∴a＝12，c＝8，b2＝80.
又焦点可能在 x轴上，也可能在 y轴上，
∴所求方程为
x2
144
＋
y2
80
＝1或 y2
144
＋
x2
80
＝1.
10．已知 B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为 18，求
这个三角形顶点 A的轨迹方程．
【解】 以过 B，C两点的直线为 x轴，线段 BC的中点为原点，
建立平面直角坐标系．
由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.
因此，点 A的轨迹是以 B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与
两个焦点的距离之和为 2a＝10，即 a＝5，且点 A不能在 x轴上．
由 a＝5，c＝4，得 b2＝9.
所以点 A的轨迹方程为
x2
25
＋
y2
9
＝1(y≠0)．
[能力提升]
1．已知 P为椭圆 C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2 3，
若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆 C的标准方程为( )
A.x
2
12
＋
y2
9
＝1
B.x
2
12
＋
y2
9
＝1或x2
9
＋
y2
12
＝1
C.x
2
9
＋
y2
12
＝1
D.x
2
48
＋
y2
45
＝1或x2
45
＋
y2
48
＝1
【解析】 由已知 2c＝|F1F2|＝2 3，
∴c＝ 3.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4 3，
∴a＝2 3，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆 C的标准方程是
x2
12
＋
y2
9
＝1或x2
9
＋
y2
12
＝1.
故选 B.
【答案】 B
2．(2016·银川高二检测)已知△ABC的顶点 B，C在椭圆
x2
4
＋y2＝1
上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，
则△ABC的周长是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 设 A为椭圆的左焦点，而 BC边过右焦点 F，如图．可
知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|
＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为
x2
4
＋y2＝1，因此 a＝2，故 4a
＝8，故选 C.
【答案】 C
3．(2016·苏州高二检测)P为椭圆
x2
100
＋
y2
64
＝1上一点，左、右焦点
分别为 F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得 r1＋r2＝20.①
由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°，
即 r21＋r22－r1r2＝144，②
由①2－②，得 3r1r2＝256，
∴S△PF1F2＝1
2
r1r2sin 60°＝1
2
×
256
3
×
3
2
＝
64 3
3
.
【答案】
64 3
3
4．(2016·南京高二检测)设 F1，F2分别是椭圆
x2
4
＋y2＝1的两焦点，
B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若 P是该椭圆上的一个动点，求|PF1→ |·|PF2→ |的最大值；
(2)若 C为椭圆上异于 B的一点，且BF1→ ＝λCF1→ ，求λ的值；
(3)设 P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
【导学号：26160033】
【解】 (1)因为椭圆的方程为
x2
4
＋y2＝1，
所以 a＝2，b＝1，c＝ 3，
即|F1F2|＝2 3，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤
|PF1|＋|PF2|
2 2＝
4
2 2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4，即|PF1→ |·|PF2→ |的最大值为 4.
(2)设 C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－ 3，0)，由BF1→ ＝λCF1→ 得 x0＝
31－λ
λ
，y0＝－
1
λ
.
又
x20
4
＋y20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7 或λ＝1，又BF1→ 与CF1→ 方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝
－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当 P点位于直线 BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，
最大值为 8.
