高中数学 必修4平面向量2.2 向量减法运算及其几何意义

高中数学 必修4平面向量2.2 向量减法运算及其几何意义

1 2．2.2 向量减法运算及其几何意义 学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减运算． 知识点一 相反向量 思考 实数 a 的相反数为－a，向量 a 与－a 的关系应叫做什么？ 答案 相反向量． 梳理 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ②若 a，b 互为相反向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 知识点二 向量的减法 思考 根据向量减法的定义，已知 a，b 如图，如何作出向量 a，b 的差向量 a－b? 答案 (1)利用平行四边形法则． 如图，在平面内任取一点 O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝－b，以OA→，OC→为邻边作平行四边形 OAEC， 则OE→＝a－b. (2)利用三角形法则． 如图，在平面内任取一点 O，作OA→＝a， OB→＝b，则BA→＝a－b. 知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系 思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、 减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？ 2 答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 梳理 当向量 a，b 不共线时，作OA→＝a，AB→＝b，则 a＋b＝OB→，如图(1)，根据三角形的三边 关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|. 当 a 与 b 共线且同向或 a，b 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝ |a|＋|b|.当 a 与 b 共线且反向或 a，b 中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同 上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||. 故对于任意向量 a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.① 因为|a－b|＝|a＋(－b)|， 所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|， 即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.② 将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1．相反向量就是方向相反的向量．( × ) 提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系． 2．向量AB→与BA→是相反向量．( √ ) 提示 AB→与BA→大小相等、方向相反． 3．－AB→＝BA→，－(－a)＝a.( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确． 4．两个相等向量之差等于 0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于 0. 类型一 向量减法的几何作图 例 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－c. 考点 向量的减法运算及其应用 题点 求作差向量 3 解 方法一 如图①，在平面内任取一点 O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则 CB→＝a＋b－c. 方法二 如图②，在平面内任取一点 O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接 OC，则OC→＝a＋b－c. 引申探究 若本例条件不变，则 a－b－c 如何作？ 解 如图，在平面内任取一点 O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b.再作CA→＝c，则BC→＝a－b－ c. 反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点， 并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们 的始点重合，再作出差向量． 跟踪训练 1 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.求作：b＋c－a. 考点 向量的减法运算及其应用 题点 求作差向量 解 方法一 以OB→，OC→为邻边作▱ OBDC，连接 OD，AD， 则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c， 4 AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a. 方法二 作CD→＝OB→＝b， 连接 AD，则AC→＝OC→－OA→＝c－a， AD→＝AC→＋CD→＝c－a＋b＝b＋c－a. 类型二 向量减法法则的应用 例 2 化简下列式子： (1)NQ→－PQ→－NM→－MP→； (2)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)． 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)原式＝NP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝NP→－NP→＝0. (2)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→ ＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0. 反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相 同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点． 跟踪训练 2 化简：(1)(BA→－BC→)－(ED→－EC→)； (2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)． 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)(BA→－BC→)－(ED→－EC→) ＝CA→－CD→＝DA→. (2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋(DO→＋OB→) 5 ＝AC→＋BA→－DC→＋DB→ ＝BC→－DC→＋DB→＝BC→＋CD→＋DB→ ＝BC→＋CB→＝0. 类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知|AB→|＝6，|AD→|＝9，求|AB→－AD→|的取值范围． 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 解 ∵||AB→|－|AD→||≤|AB→－AD→|≤|AB→|＋|AD→|，且|AD→|＝9，|AB→|＝6，∴3≤|AB→－AD→|≤15. 当AD→与AB→同向时，|AB→－AD→|＝3； 当AD→与AB→反向时，|AB→－AD→|＝15. ∴|AB→－AD→|的取值范围为[3,15]． 反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，若AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a －b. (2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当 a 与 b 方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b| ＝|a＋b|；当 a 与 b 方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当 a 与 b 方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b| ＝|a－b|；当 a 与 b 方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|. 跟踪训练 3 在四边形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→＝b，且AC→＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形 ABCD 的形状是( ) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 B 解析 ∵AC→＝a＋b，∴四边形 ABCD 为平行四边形， 又∵DB→＝a－b，|a＋b|＝|a－b|， ∴|AC→|＝|DB→|.∴四边形 ABCD 为矩形. 6 1.如图所示，在▱ ABCD 中，AB→＝a，AD→＝b，则用 a，b 表示向量AC→和BD→分别是( ) A．a＋b 和 a－b B．a＋b 和 b－a C．a－b 和 b－a D．b－a 和 b＋a 考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 向量减法的定义及其几何意义 答案 B 解析 由向量的加法、减法法则，得 AC→＝AB→＋AD→＝a＋b， BD→＝AD→－AB→＝b－a. 故选 B. 2.OP→－QP→＋PS→＋SP→等于( ) A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B 3．下列等式成立的个数是( ) ①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0. A．5B．4C．3D．2 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B 解析 由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确． 4.如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用 a，b，c 表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→. 7 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴CD→＝AE→＝c， BC→＝AC→－AB→＝b－a， BE→＝AE→－AB→＝c－a， CE→＝AE→－AC→＝c－b， ∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c. 1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB→＝BA→就可以把减法转化 为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如 a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向 量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB，AD 分别表示向量AB→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的 向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌 握. 一、选择题 1．化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是( ) A.MP→B.NP→C．0D.MN→ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法表示向量 答案 C 解析 PM→－PN→＋MN→＝NM→＋MN→＝0. 8 2．在平行四边形 ABCD 中，AB→＋CB→－DC→等于( ) A.BC→B.AC→C.DA→D.BD→ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 C 解析 在平行四边形 ABCD 中，AB→＝DC→，CB→＝DA→， 所以AB→＋CB→－DC→＝(AB→－DC→)＋CB→＝DA→. 3．在边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB→－BC→|的值为( ) A．1B．2C. 3 2 D. 3 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 D 解析 如图，作菱形 ABCD， 则|AB→－BC→|＝|AB→－AD→| ＝|DB→|＝ 3. 4．(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB→的是( ) ①AC→＋CD→－BD→；②AC→－CB→；③OA→＋OB→；④OB→－OA→. A．①④B．①②C．②③D．③④ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A 解析 因为AC→＋CD→－BD→＝AD→－BD→＝AD→＋DB→＝AB→， 所以①正确，排除 C，D；因为OB→－OA→＝AB→，所以④正确，排除 B，故选 A. 5.如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( ) 9 A.AD→＋BE→＋CF→＝0 B.BD→－CF→＋DF→＝0 C.AD→＋CE→－CF→＝0 D.BD→－BE→－FC→＝0 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A 解析 AD→＋BE→＋CF→＝1 2 AB→＋1 2 BC→＋1 2 CA→＝1 2 (AB→＋BC→＋CA→)＝0. 6．若|AB→|＝5，|AC→|＝8，则|BC→|的取值范围是( ) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C 解析 ∵|BC→|＝|AC→－AB→|且 ||AC→|－|AB→||≤|AC→－AB→|≤|A C→|＋|AB→|， ∴3≤|AC→－AB→|≤13，∴3≤|BC→|≤13. 7.如图，在四边形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→等于( ) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 A 二、填空题 8．化简：(1)PB→＋OP→－OB→＝________；(2)OB→－OA→－OC→－CO→＝________. 10 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 (1)0 (2)AB→ 解析 (1)PB→＋OP→－OB→＝PB→＋BP→＝0； (2)OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)－(OC→＋CO→) ＝AB→－0＝AB→. 9．已知OA→＝a，OB→＝b，若|OA→|＝12，|OB→|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 13 解析 ∵|OA→|＝12，|OB→|＝5，∠AOB＝90°， ∴|OA→|2＋|OB→|2＝|AB→|2，∴|AB→|＝13. ∵OA→＝a，OB→＝b， ∴a－b＝OA→－OB→＝BA→， ∴|a－b|＝|BA→|＝13. 10.如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 交于点 O，则BA→－BC→－OA→＋OD→＋DA→＝________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 CA→ 11．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，且|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→| ＝________. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2 解析 以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ACDB，由向量加减法几何意义可知，AD→＝AB→＋AC→，CB→＝ AB→－AC→，∵|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，∴|AD→|＝|CB→|，又|BC→|＝4，M 是线段 BC 的中点，∴|AM→| 11 ＝1 2 |AD→|＝1 2 |BC→|＝2. 12.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则(1)|a＋b＋c|＝________； (2)|a－b＋c|＝______. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 (1)2 2 (2)2 解析 (1)由已知得 a＋b＝AB→＋BC→＝AC→， ∵AC→＝c，∴延长 AC 到 E， 使|CE→|＝|AC→|. 则 a＋b＋c＝AE→， 且|AE→|＝2 2. ∴|a＋b＋c|＝2 2. (2)作BF→＝AC→，连接 CF， 则DB→＋BF→＝DF→， 而DB→＝AB→－AD→＝AB→－BC→＝a－b， ∴a－b＋c＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 13.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，与OA→－OC→＋CD→相等的向量有________．(填序号) 12 ①CF→；②AD→；③DA→；④BE→；⑤CE→＋BC→；⑥CA→－CD→；⑦AB→＋AE→. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 ① 解析 ∵OA→－OC→＋CD→＝CA→＋CD→＝CF→， CE→＋BC→＝BC→＋CE→＝BE→≠CF→， CA→－CD→＝DA→≠CF→，AB→＋AE→＝AD→≠CF→， ∴填①. 三、解答题 14．如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，AB→＝a，AD→＝b. (1)当 a，b 满足什么条件时，a＋b 与 a－b 垂直； (2)当 a，b 满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 解 (1)若 a＋b 与 a－b 垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形 ABCD 为菱形， 所以 a，b 应该满足|a|＝|b|. (2)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故 a， b 应互相垂直．