专题11 解三角形—三年高考20152017数学理真题分项版解析解析版

专题11 解三角形—三年高考20152017数学理真题分项版解析解析版

‎1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ 所以，选A.‎ ‎【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.‎ ‎【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.‎ ‎2.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ 考点：余弦定理．‎ ‎3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理得,选A.‎ 考点：余弦定理 ‎【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．‎ ‎2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．‎ ‎4.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：，‎ ‎△ABE中，，，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎【考点】解三角形 ‎5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.‎ ‎【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.‎ ‎6.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是.‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】，因此 ‎，即最小值为8.‎ 考点：三角恒等变换，切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 ‎7.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是. ‎ ‎【答案】（，）‎ ‎【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB 交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.‎ ‎【考点定位】正余弦定理；数形结合思想 ‎8.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，且为三角形内角，所以，，又因为，‎ 所以.‎ 考点：三角函数和差公式，正弦定理.‎ 能用到。‎ ‎9.【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.‎ ‎【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）‎ ‎【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．‎ ‎10.【2015高考天津，理13】在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 又，解方程组得，由余弦定理得 ‎，所以.‎ ‎【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角的正弦值，再由三角形面积公式求出，解方程组求出的值，用余弦定理可求边有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.‎ ‎11.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎12.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为，且，则等于________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以 ‎，，所以．由余弦定理得，．‎ ‎【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理．‎ ‎【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．‎ ‎13.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎【解析】‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ ‎【考点】三角函数及其变换.‎ ‎【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎14.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎【答案】(1)；‎ ‎(2)。‎ ‎【解析】‎ 解得(舍去)，。‎ ‎（2）由得，故。‎ 又，则。‎ 由余弦定理及得：‎ 所以b=2。‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式。‎ ‎【名师点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎。‎ ‎15.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎【答案】(1)；‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得；‎ ‎(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD 的面积为.‎ 试题解析：（1）由已知得，所以.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，即.‎ 解得： (舍去)，.‎ ‎(2)由题设可得，所以.‎ 故△ABD面积与△ACD面积的比值为.‎ 又△ABC的面积为，所以△ABD的面积为.‎ ‎【考点】余弦定理解三角形；三角形的面积公式 行判断。‎ ‎16.【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理求的值；（Ⅱ）根据条件可知根据（Ⅰ）的结果求，再利用求解，最后利用三角形的面积.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，‎ 所以由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 由余弦定理得，‎ 解得或（舍）.‎ 所以△ABC的面积.‎ ‎【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.‎ ‎17.【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，‎ 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.‎ 由正弦定理,得.‎ 所以，的值为，的值为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，‎ ‎.故.‎ 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 ‎18.【2016年高考北京理数】（本小题13分）‎ 在ABC中，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据余弦定理公式求出的值，进而根据的取值范围求的大小；‎ ‎（2）由辅助角公式对进行化简变形，而根据的取值范围求其最大值.‎ 试题解析：（1）由余弦定理及题设得，‎ 又∵，∴；（2）由（1）知，‎ ‎，因为，所以当时，取得最大值.‎ 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.‎ ‎19.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）‎ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为,求的周长．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得,故；（II）根据．及得．再利用余弦定理得．再根据可得的周长为．‎ 试题解析：（I）由已知及正弦定理得,,‎ 即．‎ 故．‎ 可得,所以．‎ ‎（II）由已知,．‎ 又,所以．‎ 由已知及余弦定理得,．‎ 故,从而．‎ 所以的周长为．‎ 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 ‎【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”‎ ‎20.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得.‎ 由知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 的最小值为.‎ 考点：1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理、余弦定理；3.基本不等式.‎ ‎【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.9.‎ ‎21【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）‎ 在中，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）由余弦定理知，，‎ 所以．‎ ‎（2）由正弦定理知，，所以．‎ 因为，所以为锐角，则．‎ 因此．‎ ‎【考点定位】余弦定理，二倍角公式 ‎【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，本题解是唯一的，注意开方时舍去负根.‎ ‎22.【2016高考江苏卷】（本小题满分14分）‎ 在中，AC=6，‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用同角三角函数关系求 再利用正弦定理求 (2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求，最后根据两角差余弦公式求，注意开方时正负取舍.‎ 试题解析：解（1）因为所以 由正弦定理知，所以 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.‎ ‎23.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acosB.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）或．‎ 试题分析：（I）先由正弦定理可得，进而由两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先由三角形的面积公式可得，进而由二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．‎ 试题解析：（I）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．‎ 又，，故，所以 或，‎ 因此（舍去）或，‎ 所以，．‎ 综上，或．‎ 考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式．‎ ‎【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的内角和可得角的大小．‎ ‎24.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为角），结合诱导公式进行证明；（Ⅱ）从已知式可以看出首先利用余弦定理解出cosA=，再根据平方关系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，解出tanB的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．‎ 则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．‎ ‎（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有 cosA==．‎ 所以sin A==．‎ 由（Ⅰ），sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，‎ 所以sin B=cosB+sin B，‎ 故．‎ 考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.‎ ‎【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．‎ ‎25.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．‎ ‎(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ‎，．‎ ‎．由(Ⅰ)知，所以．‎ ‎【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．‎ ‎【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中和互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求．‎ ‎26.【2015湖南理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为，再结合条件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.‎ 试题解析：（1）由及正弦定理，得，∴，即，‎ 又为钝角，因此，故，即；（2）由（1）知，‎ ‎，∴，于是 ‎，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.‎ ‎【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.‎ ‎27.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．‎ ‎(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ‎，．‎ ‎．由(Ⅰ)知，所以．‎ ‎【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．‎ ‎28.【2015高考四川，理19】如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）.‎ ‎（2）由，得.‎ 由（1），有 连结BD，‎ 在中，有，‎ 在中，有，‎ 所以，‎ 则，‎ 于是.‎ 连结AC，同理可得 ‎，‎ 于是.‎ 所以 ‎.‎ ‎【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.‎ ‎29.【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为7，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.‎ 试题解析：（1）由及正弦定理得，‎ ‎∴，又由，即，得，‎ 解得；（2）由，得，，‎ 又∵，∴，由正弦定理得，‎ 又∵，，∴，故.‎ ‎【考点定位】1.三角恒等变形；2.正弦定理.‎