高考复习专题 变换的不变量与特征向量

高考复习专题 变换的不变量与特征向量

第五讲 变换的不变量与特征向量 一. 特征值与特征向量 ‎【探究】‎ 1. 计算下列结果：‎ 以上的计算结果与，的关系是怎样的？‎ 2. 计算下列结果：‎ 以上的计算结果与，的关系是怎样的？‎ ‎【定义】‎ 设矩阵A＝，如果存在实数及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值。‎ 是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。‎ ‎（结合探究1、2说明，特征值与特征向量）‎ ‎【定理1】‎ 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。‎ 其几何意义是什么？‎ ‎【定理2】‎ 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。‎ ‎【应用】‎ 从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量。‎ 二、特征值与特征向量的计算 ‎1. 设A＝，求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。 ‎ ‎【总结规律】‎ 一般的，矩阵A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。‎ ‎【应用】‎ 求A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。‎ ‎【练习：P70】‎ ‎【第五讲.作业】‎ ‎1.设反射变换对应的矩阵为A，则下列不是A的特征向量的是 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.下列说法错误的是 （ ）‎ A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线 D. 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。‎ ‎3.设，分别是恒等变换与零变换的特征值，则－＝ ‎ ‎4.投影变换的所有特征值组成的集合为 ‎ ‎5.矩阵的特征多项式为 ‎ ‎6.已知A是二阶矩阵，且A2＝0，则A的特征值为 ‎ ‎7.若0是矩阵A＝的一个特征值，则A的属于0的特征向量为 ‎ ‎8.已知1、2是矩阵A＝的特征值，则＝ ‎ ‎9.若向量是矩阵的一个特征向量，则m＝ ‎ ‎10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①‎ ‎11.已知向量是矩阵的一个特征向量，求m的值。‎ ‎12.设A＝，分别求满足下列条件的所有矩阵A：①是A的属于2的一个特征向量。②是A的一个特征向量。‎ ‎13.对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围。‎ ‎14设A是可逆的二阶矩阵，求证：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，则1/是A－1的特征值。‎ ‎1.Ｄ　　2.Ｂ　　3.１　　4.｛0，1｝　　5.　　6.0　　7.　　8. 　　9.１　　10.① 或；②或③或　　11.ｍ＝0‎ ‎12.①②　　13.－3≤ｍ≤2　　14.①有特征多项式证明；② ， 　　得征。‎