湖北省荆州中学 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题 理

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湖北省荆州中学 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题 理

湖北省荆州中学 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题 理 本试题卷共 4 页,三大题 22 小题.全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.某单位员工按年龄分为 A、B、C 三个等级,其人数之比为5: 4:1,现用分层抽样的方法从总体中 抽取一个容量为 20 的样本,则从 C 等级组中应抽取的样本数为 A.2 B.4 C.8 D.10 2.下列有关命题的说法错误的是 A.若“ p q ”为假命题,则 ,p q 均为假命题 B.“ 1x  ”是“ 1x  ”的充分不必要条件 C.“ 1sin 2x  ”的必要不充分条件是“ 6x  ” D.若命题 p : 2 0 0, 0x R x   ,则命题 p : 2, 0x R x   3.若向量  1,2,0a  ,  2,0,1b   ,则 A. cos , 120a b   B. a b  C. a b  ∥ D. a b  4.如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲 得分的中位数与乙得分的中位数之和为 A.56 分 B.57 分 C.58 分 D.59 分 5.已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据计算得样本平均数 4, 6.5x y  ,则由该观测数据算得的 线性回归方程可能是 A. 2 1.5y x  B. 0.8 3.3y x  C. 2 14.5y x   D. 0.6 9.1y x   6.执行如图所示的程序框图,输出的T 等于 A.10 B.15 C. 20 D.30 D1 A B CD A1 C1 B1 P 7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示,则其表面积为 A.30 B. 48 C. 66 D. 78 8.函数 5( ) 2f x x x   图象上的动点 P 到直线 2y x 的距离为 1d ,点 P 到 y 轴的距离为 2d ,则 1 2d d  A.5 B. 5 C. 5 5 D. 不确定的正数 9. 如果实数 ,x y 满足条件 1 0 2 2 0 1 0 x y x y x           ,则 21 2 3z x y    的最大值为( ) A.1 B. 3 4 C. 0 D. 4 7 10.椭圆 2 2 116 12 x y  的长轴为 1A 2A ,短轴为 1B 2B ,将椭圆沿 y 轴折成一个二面角,使得 1A 点在 平面 1B 2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为 A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 11.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点, 若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的 曲线是 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 12. 过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一个焦点 F 作平行于渐近线的两条直线,与双曲线分别 交于 A 、 B 两点,若| | 2AB a ,则双曲线离心率 e 的值所在区间是 A. (1, 2) B. ( 2, 3) C. ( 3,2) D. (2, 5) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上.答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13.已知椭圆 x2 10-m + y2 m-2 =1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m=________. 14.下列各数 )6(210 、 )4(1000 、 )2(111111 中最小的数是___________. 15.已知函数 ( ) 1f x kx  ,其中实数 k 随机选自区间[ 2,1] ,对 [0,1], ( ) 0x f x   的概率是 _________. 16.已知 ABC 的三边长分别为 5AB , 4BC , 3AC ,M 是 AB 边上的点,P 是平面 ABC 外一点.给出下列四个命题: ①若 PM 平面 ABC ,且 M 是 AB 边中点,则有 PCPBPA  ; ②若 5PC , PC 平面 ABC ,则 PCM 面积的最小值为 2 15 ; ③若 5PB , PB 平面 ABC ,则三棱锥 ABCP  的外接球体积为  6 2125 ; ④若 5PC , P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 内切圆的圆心,则三棱锥 ABCP  的体积为 232 ; 其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)设 a 是实数,有下列两个命题: :p 空间两点 ( 2, 2 , 7)A a  与 ( 1, 4, 2)B a a  的距离| | 3 10AB  . :q 抛物线 2 4y x 上的点 2 ( , )4 aM a 到其焦点 F 的距离| | 2MF  . 已知“ p ”和“ p q ”都为假命题,求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点  1,4 ,  3,2 ,且圆心在直线 3 0x y   上. (1)求圆 C 的方程; (2)若点  ,x y 在圆 C 上,求 z x y  的最大值. 19.(本题满分 12 分)某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为 整数,满分 100 分)分成六段[40,50),[50,60)…,[80,90),[90,100],然后画出如图所示 部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高; (2)估计这次考试的及格率(60 分及 60 分以上为及格)和平均分; (3)把从[80,90)分数段选取的最高分的两人组成 B 组,[90,100] 分数段的学生组成 C 组,现从 B,C 两组中选两人参加科普知识竞赛, 求这两个学生都来自 C 组的概率. 20.(本题满分 12 分)在直角梯形 PBCD 中,∠D=∠C= 2  ,BC=CD=2,PD=4,A 为 PD 的中点,如图 1.将 △PAB 沿 AB 折到△SAB 的位置,使 SB⊥BC,点 E 在 SD 上,且 1 3SE SD  ,如图 2. (1)求证:SA⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E-AC-D 的正切值; (3)在线段 BC 上是否存在点 F,使 SF∥平面 EAC?若存在,确定 F 的位置,若不存在,请说明理由. 21 .( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 直 线 1 0x y   经 过 椭 圆 S : 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     的一个焦点和一个顶点. (1)求椭圆 S 的方程; (2)如图, ,M N 分别是椭圆 S 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 ,P A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为C ,连接 AC , 并延长交椭圆于点 B ,设直线 PA 的斜率为 k . 1 若直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; ② 对任意 0k  ,求证: PA PB . 22.(本题满分 10 分) 已 知平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 1C 方程为 2sin  ; 2C 的参数方程为 11 2 3 2 x t y t       (t 为参数). (Ⅰ)写出曲线 1C 的直角坐标方程和 2C 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 1C 上的任意一点,求点 P 到曲线 2C 距离的取值范围. 荆州中学 2016~2017 学年度上学期 期 末 考 试 卷 年级:高二 科目:数学(理科) 参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B C C D B B B D C 12【解析】选 C 设 F 为左焦点,由双曲线的对称性,不妨设点 A 的纵坐标为 a ,则 由 2 2 2 2 1 y a x y a b    得 ( , )acA ab  , 又∵直线 AF 的方程为 ( )by x ca   , ∴ ( )b aca ca b    ,即 2a ac bc  , 又∵ 2 2b c a  , ∴ 2 2 2 2 2( ) ( )a ac c a c   , 两边同除以 4a ,得 2 2 2(1 ) ( 1)e e e   , 即 4 22 2 1 0e e e    , 令 4 2( ) 2 2 1f x x x x    , ∵ ( 3) 9 6 2 3 1 2(1 3) 0f        , (2) 16 8 4 1 3 0f       , ∴双曲线离心率 e 的值所在区间是 ( 3,2) . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 8 14. )2(111111 15. 2 3 16. ①④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解答: p 和 p q 都是假命题, p 为真命题, q 为假命题. ………………2 分 ( 3,3 4, 5)AB a a     , 2 2 2| | 3 10 ( 3) (3 4) ( 5) 90AB a a         2 3 4 0 4 1a a a        ; …………………………………………6 分 又抛物线 2 4y x 的准线为 1x   , q 为假命题, 2 | | 1 24 aMF    , 2 2a   . …………………………………10 分 故所求 a 的取值范围为[ 2,1) . ………………………………12 分 18.解答:(1)设圆心坐标为(a,b),则 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 3) ( 3) ( 2) 3 0 a b r a b r a b               解得: 1, 2, 2a b r   ,故圆的方程为: 4)2()1( 22  yx …………… 6 分 (2)因为 z=x+y,即 y x z   , 当这条直线与圆相切时,它在 y 轴上的截距最大或最小,即可求出 x y 的最大和最小值. 将 y x z   代入圆的方程,令 0  ,或者利用圆心到直线的距离等于半径 可求得最大值为: 223  ……………………………………12 分 19.解答:(1)第四小组分数在[70,80)内的频率为: 1-(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025)10=0.30 第四个小矩形的高为=0.03 ……4 分 (2)由题意 60 分以上的各组频率和为:(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75, 故这次考试的及格率约为 75%, ………………6 分 由 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71, 得本次考试中的平均分约为 71: ………………8 分 (3)由已知可得 C 组共有学生 60×10×0.005=3 人,则从 B,C 两组共 5 人中选两人参加科普知识 竞赛,设 5 人分别为 1 2 1 2 3, , , ,B B C C C ,共有 1 2 1 1 1 2( , ),( , ),( , ),B B B C B C 1 3( , ),B C 2 1( , ),B C 2 2 2 3( , ),( , ),B C B C 1 2 1 3 2 3( , ),( , ),( , )C C C C C C 等 10 种不同情况,其中这两个学生都来自 C 组有 3 种不同情况, ∴这两个学生都来自 C 组的概率 3 10P  . ……………………………………12 分 20.解法一:(1)证明:在题图 1 中,由题意可知,BA⊥PD, ABCD 为正方形, 所以在题图 2 中,SA⊥AB,SA=2, 四边 形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB⊥BC,AB⊥BC, 所以 BC⊥ 平 面 SAB , 又 SA ⊂ 平 面 SAB , 所 以 BC⊥SA , 又 SA⊥AB , 所 以 SA⊥ 平 面 ABCD, ……………………4 分 (2)在 AD 上取一点 O,使 1 3AO AD  ,连接 EO.因为 1 3SE SD  ,所以 EO∥SA 所以 EO⊥平面 ABCD, 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H,连接 EH, 则 AC⊥平面 EOH, 所以 AC⊥EH. 所以∠EHO 为二面角 E-AC-D 的平面角,. 在 Rt△AHO 中, 45HAO   , 2sin 45 3HO AO  , tan 2 2EOEHO OH    即二面角 E-AC-D 的正切值为 2 2 .……………………8 分 (3)当 F 为 BC 中点时,SF∥平面 EAC 理由如下:取 BC 的中点 F,连接 DF 交 AC 于 M, 连接 EM,AD∥FC, 所以 1 2 FM FC MD AD   ,又由题 意 1 2 SE ED  ,即 SF∥EM, 所以 SF∥平面 EAC, 即当 F 为 BC 的中点时, SF∥平面 EAC ……………12 分 解法二:(1)同方法一 ………………………………4 分 (2)如图,以 A 为原点建立直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E 2 4(0, , )3 3 易知平面 ACD 的法向为 (0,0,2)AS  设平面 EAC 的法向量为 ( , , )n x y z , 2 4(2,2,0), (0, , )3 3AC AE   由 0 0 n AC n AE          所以 0 2 0 x y y z      ,可取 (2, 2,1)n   所以 1cos , 3| || | n ASn AS n AS         所以 tan , 2 2n AS   即二面角 E-AC-D 的正切值为 2 2 . ………………………………8 分 (3)设存在 F∈BC, 所以 SF∥平面 EAC, 设 F(2,a,0) 所以 (2, , 2)SF a  , 由 SF∥平面 EAC, 所以 0n SF   ,所以 4-2a-2=0, 即 a=1, 即 F(2,1,0)为 BC 的中点. ……………………………………12 分 21.解:(1)在直线 1 0x y   中令 x=0 得 y=1;令 y=0 得 x=-1, 由题意得 c=b=1, ∴ 2 2a  ,则椭圆方程为 2 2 12 x y  . …………………………3 分 (2)①由 ( 2,0)M  , (0, 1)N  , ,M N 的中点坐标为 2 1( , )2 2   , 所以 2 2k  . ……………………………………………6 分 ②解法一:将直线 PA 方程 y kx 代入 2 2 12 x y  ,解得 2 2 1 2 x k    , 记 2 2 1 2 m k   ,则 ( , ), ( , )P m mk A m mk  ,于是 ( ,0)C m , 故直线 AB 的方程为 0 ( ) ( )2 mk ky x m x mm m     , 代入椭圆方程得 2 2 2 2 2( 2) 2 8 0k x k mx k m     ,由 2 2 2 2A B k mx x k    , 因此 2 3 2 2 (3 2)( , )2 2 m k mkB k k    , ………………………………………………9 分 ∴ (2 ,2 )AP m mk , 2 3 2 2 2 2 2 (3 2) 2 2( , ) ( , )2 2 2 2 m k mk mk mkPB m mkk k k k          , ∴ 2 2 2 2 22 2 02 2 mk mkAP PB m mkk k          ,∴ AP PB  ,故 PA PB .…………12 分 解法二:由题意设 0 0( , )P x y , 0 0( , )A x y  , 1 1( , )B x y ,则 0( ,0)C x , ∵ , ,A C B 三点共线, ∴ 0 1 01 1 0 0 1 02 y y yy x x x x x    ,……………………………………8 分 又因为点 ,P B 在椭圆上, ∴ 2 2 2 20 1 0 11, 12 2 x xy y    , 两式相减得: 0 1 0 1 0 1 0 12( )PB y y x xk x x y y      ,……………………………………………10 分 ∴ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2( ) 12( ) 2( )PA PB y x x y y x xk k x y y x x y y                      , ∴ PA PB . ……………………………………………………12 分 22.解:(I)曲线 1C 方程为 2sin  ,可得 2 2 sin   ,可得 2 2 2x y y  ∴ 1C 的直角坐标方程: 2 2( 1) 1x y   , 2C 的参数方程为 11 2 3 2 x t y t       , 消去参数t 可得: 2C 的普通方程: 3 3 0x y   .………………………………5 分 (II)由(I)知, 1C 为以(0,1)为圆心, 1r  为半径的圆, 1C 的圆心(0,1)到 2C 的距离为 | 1 3 | 3 1 123 1 d       , 则 1C 与 2C 相 交 , P 到 曲 线 2C 距 离 最 小 值 为 0 , 最 大 值 为 3 1 2d r   ,则点 P 到曲线 2C 距离的取值范围为 3 1[0, ]2  .…………………10 分
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