高二数学同步辅导教材(第9讲)
高二数学同步辅导教材（第 9 讲）
一、本讲进度
7.4 简单的线性规划
7.5 研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
课本第 57 页至 67 页
二、本讲主要内容
1、二元一次不等式的几何意义；
2、图解法解决两个变量的线性规划问题的一般步骤；
3、线性规划在实际生活中的运用
三、学习指导
1、在直线（形）与二元一次方程（数）对应的基础上，本节进一步研究区域（形）与二元一次不等
式（数）之间的对应关系。
利用函数值的大小关系，可得到如下结论：
（1）从形到数
①当直线用斜截式表示时，设点 P（x0，y0），直线：y=kx+b
上方y0>kx0+b
P 在直线上 y0=kx0+b
下方 y0
0）
上方 Ax0+By0+C>0
P 在直线 上 Ax0+By0+C=0
下方 Ax0+By0+C<0
（2）从数到形
> 直线上方区域
①y=kx+b 直线上的点
< 直线下方区域
②设 B>0，则
> 直线上方区域
Ax+By+C=0 直线上的点
< 直线下方区域
当 B<0 时，可用转化思想化简。其规律是当 B 的符号与不等号同向时，以不等式的解为坐标的点在
直线上方区域；当 B 的符号与不等号异向时，以不等式的解为坐标的点在直线下方区域。
2、平面区域的画法：第一步，画出边界线，Ax+By+C=0，注意，若二元一次不等式是严格不等号，
则边界线画成虚线；否则画成实线。第二步，取特殊点判断，当 C≠0 时，取原点（0，0）。第三步，用
斜线表示满足不等式的区域。
3、二元一次不等式组的几何意义是不等式组中每个不等式表示的平面区域的公共部分。
当直线的方程 Ax+By+C=0 中出现 A 或 B 为零时，作出边界线，直线利用实数大小关系判断。例如在
不等式 Ax+By+C>0 中：
当 A=0 时：若 B>0，则不等式 By+C>0 表示直线 By+C=0 上方区域；若 B<0，则不等式 By+C>0 表示直
线 By+C=0 下方区域；
当 B=0 时，若 A>0，则不等式 Ax+C>0 表示直线 Ax+C=0 右侧区域；若 A<0，则不等式 Ax+C>0 表示直
线 Ax+C=0 左侧区域。
4、所谓线性规划就是研究线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。
（1）二元线性规划的图解法实质上就是数形结合思想中的以形助数的体现。因为线性约束条件是不
等式组，故通过函数单调性及基本不等式等数的方法无法解决此二元函数的最值问题。而线性约束条件
（二元一次不等式组）及目标函数（借助于函数与方程的思想，可看成方程）均有明显的几何意义，所
以考虑用形的方法解决这个代数问题。
（2）图解法的一般步骤是：①在正确理解题设中量与量的关系基础上，设二元变量，列约束条件，
这个约束条件既包括显性的，又包括隐性的（如实际问题特征等）；②作出可行域，注意边界的虚实线情
况，可行域可能是封闭的，又可能是开放的；③建立目标函数，转化为方程，该方程的几何意义是平行
直线系，目标函数通常与直线系在纵轴上的截距有关；④平移直线找最优解，最优解通常在区域的顶点
处取到。当自变量要求是整数时，一般应慎重考虑；⑤得到实际问题的结论。
（3）图解法只能解决二元函数的问题。
（4）图解法中在平移直线的过程中，直线的斜率是个非常重要的参数，其倾斜角程度直接影响到问
题的最后结论。
四、典型例题
x-y+3≥0
x+y-5≤0
例1、 已知线性约束条件 2x-y-4≤0
x≥0
y≥0
求目标函数 z=x+2y 的最大值
解题思路分析：
第一步，作出可行域，它应该是每个二元一次不等式所表示区域的公共
部分。如图为五边形 OABCD，边界均为实线。
第二步，利用函数与方程的思想，将 z=x+2y 看成是关于 x、y 的二元一
次方程（对原来目标函数 z 而言，这是一种间接法的思想，先将 z 看成是已
知量），其几何意义表示一条直线。因直线方程中最具有几何意义的是斜截式，
故整理方程为 y= z2
1x2
1 ，具体来说，它表示的是与直线 y= x2
1 平行的
直线系， z2
1 表示直线系在纵轴上的截距。
第三步，平移此直线系，注意到此直线斜率比直线 BC 斜率大，故直线的倾斜角大于直线 BC 的倾斜
角，所以当直线通过顶点 C 时，y 轴上截得的截距最大。
由
05yx
03yx 得
4y
1x
∴ C（1，4）
将 C（1，4）代入 y=
2
zx2
1 得 z=9
第四步得到原问题的结论，目标函数 z=x+2y 的最大值为 9。
例 2、在直角坐标系中画出不等式|x|+|y|>|x+y|表示的区域。
解题思路分析：
因|x|+|y|≥|x+y|对一切实数 x、y 恒成立，故去掉等号成立的条件即可。
等号成立的条件为 x 与 y 同号或 x、y 中至少有一个为零。
当 x 与 y 同号时，点（x，y）分布在第一或第三象限；当 x·y=0 时，点(x，y)
在（第二或四象限）坐标轴上。故满足题设不等式的点在第二或四象限。
例 3、求设下列两个不等式同时成立的点（x，y）存在的区域的面积：（1）|y|
≤2；（ 2）4x2+4xy+y2+4x+2y-3≤0
解题思路分析：
本题关键是第（2）个条件的几何意义。考虑用转化的思想，将二次问题降幂
为一次问题，转化的手段是因式分解。
4x2+4xy+y2+4x+2y-3=(2x+y)2+2(2x+y)-3=(2x+y-1)(2x+y+3)
∴ （2x+y-1）(2x+y+3)≤0
∴ -3≤2x+y≤1
y≤-2
∴ y≥2
2x+y+3≥0
2x+y-1≤0
作出可行域，如图平行四边形 ABCD
其面积 S=2×4=8
例 4、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9g，咖啡 4g，糖 3g；乙种饮料每杯含奶粉 4g，
咖啡 5g，糖 10g，已知每天原料的使用限额为奶粉 3600g，咖啡 2000g，糖 3000g，如果甲种饮料每杯能
获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，若每天原料的使用限额内饮料能全部售完，应配制两种饮料
各多少杯获利最大？
解题思路分析：
第一步，通过列表方法理清各种量之间的关系：
消耗量、原料
成品 奶粉（g） 咖啡（g） 糖（g） 利润（元）
甲种饮料（杯） 9 4 3 0.7
乙种饮料（杯） 4 5 10 1.2
限 额 3600 2000 3000
第二步，设二元变量，列线性约束条件
设每天配制甲种饮料 x 杯，乙种饮料 y 杯，则线性约束条件为：
9x+4y≤3600
4x+5y≤2000
3x+10y≤3000
x、y∈N
第三步，作出可行域为阴影部分五边形 OABCD
第四步，列出目标函数，设利润为 z（元）
则 z=0.7x+1.2y
∴ z5
6x12
7y
这是与直线 y= x12
7 平行的直线系， z5
6 表示该直线在 y 轴上的截距
第五步，平移此直线，得到最优解
∵
10
3
12
7
5
4
∴ 当直线 z5
6x12
7y 过点 C（200，240）时， z5
6 最大，即 z 最大。
∴ zmax=0.7×200+1.2×240=428（元）
第六步，回到实际问题中去
∴ 每天应配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯，获利最大。
例 5、某运输公司有 7 辆载重 6t 的 A 型卡车，4 辆载重 10t 的 B 型卡车，有 9 名驾驶员。在建造某
段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青 360t 的任务。已知每辆卡车每天往返次数为 A 型 8 次，B
型 6 次，每次运输成本为 A 型 160 元，B 型 252 元，每天应派出 A 型、B 型车各多少辆，能使公司总成本
最低？
解题思路分析：
设派 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，则 A 型车共运沥青 6xt，B 型车共运沥青 10yt
x+y≤9
∴ 8·6x+6·10y≥360
0≤x≤7
0≤y≤4，x、y∈N
作出可行域如图阴影部分四边形 ABCD
设总成本为 z 元
则 z=160x+252y
∴ z252
1x63
40y
∵
5
4
63
40
∴ 若 x、y∈R，当直线
252
1x63
40y ，过 A（7，0.4）时最小，
但 x、y∈N
∴ 作出与点 A 靠近的整点：（7，1），（6，2），平移直线可知首先过（7，1）
∴ 当 x=7，y=1 时，zmin=160×7+252×1=1372（元）
此时共运输沥青 8×6×7+6×10×1=396（吨）
∴ 每天应派出 A 型车 7 辆，B 型车 1 辆，总成本 1372 元最低，并能满足运输沥青的最低要求。
五、同步练习
（一）选择题
1、若不等式 x+4y-9≥0 表示直线 x+4y-9=0
A、 上方的平面区域 B、下方的平面区域
C、 上方的平面区域（包括直线本身） D、下方的平面区域（包括直线本身）
2、若θ ∈ )2
3,( ，则不等式 y0 表示直线 x+(a-1)y+3=0
A、 上方的平面区域 B、下方的平面区域
B、 当 a>1 时，上方的平面区域 D、当 a>1 时，下方的平面区域
4、若 x≥0，y≥0，x+y≤1，则 z=x-y 的最大值是
A、 -1 B、1 C、2 D、-2
5、若 x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0，则 z=3x+4y 的最大值是
A、9 B、10 C、11 D、12
6、设 R 为平面上以 A（4，1）， B（-1，-6）， C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则 z=4x-3y
的最大值与最小值分别为
A、最大值 14，最小值-18 B、最大值-14，最小值-18
C、最大值 18，最小值 14 D、最大值 18，最小值-14
6、设 a>0，点集 S 中的点（x，y）满足下列所有条件：
①
2
a ≤x≤2a ②
2
a ≤y≤2a ③x+y≥a ④x+a≥y ⑤y+a≥x
A、4 B、5 C、6 D、7
8、给出的平面区域如图，若使目标函数 z=ax+y（a>0）取得最小值的最
优解有无穷多个，则 a 的值为
A、
4
1 B、
5
3 C、
5
3 D、
3
5
（二）填空题
9、已知点（3，1），（-4，6）在直线 3x-2y+a=0 两侧，则实数 a 的取值
范围是______。
x-4y≤-3
10、已知目标函数 z=2x+y，变量 x、y 满足 3x+5y<25，则 z 的最小值是________。
x≥1
x-y+5≥0
11、不等式组 x+y≥0 表示的平面区域的面积是__________。
x≤3
12、若不等式 ax+(2a-1)y+1<0 表示直线 ax+(2a-1)y+1=0 的下方区域，则 a 的取值范围是
____________。
13、若 0≤x≤1，-1≤y≤2，则 z=x+4y 的最小值是__________。
14、若 x≥0，y≥0，2x+3y≤100，2x+y≤60，则 z=6x+4y 的最大值是__________。
15、由方程|x-1|+|y-1|=1 确定的曲线围成的几何图形面积是__________。
（三）解答题
16、某厂有一批长为 2.5 的条钢，要截成 60cm 长和 42cm 长的两种毛坯，怎样下料使损耗最小？
17、某家具厂有方木料 90cm3，五合板 600m2，准备加工成书桌和书橱出售。已知生产每张书桌需方
木料 0.1m3，五合板 2m2，生产每个书橱需方木料 0.2m3，五合板 1m2，出售一张书桌而获利 80 元，出售一
个书橱可获利 120 元，怎样安排生产可使获利最大？
18、求证：点 P0(x0，y0)在直线：Ax+By+C=0（B>0）上方的充要条件是 Ax0+By0+C>0。
19、求在约束条件：2x+5y≥10，2x-3y≥-6，2x+y≤10 下，z=x2+y2 的最大值。
20、已知函数 f(x)=ax2-c，满足-4≤f(1)≤-1 ,-1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围。
六、参考答案
（一）选择题
1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 6、A 7、C 8、B
（二）填空题
9、-70
∵ B>0
∴
B
CAxy 0
0
作 P0M⊥x 轴，交直线于 Q，则 Q(x0，
B
CAx0 )
∵ MP=y0> MQB
CAx0
∴ 点 P0 在直线的上方
（2）必要性
∵ 点 P0(x0，y0)在直线上方
∴ MP0>MQ
∴ y0>
B
CAx0
∴ Ax0+By0+C>0
由（1）（ 2）可知，原命题为真
19、解；约束条件表示的区域如图中△ABC 所围的区域（包括边界）
∵ z= 222 )yx(
此区域中与原点最远距离为|OA|=|OC|=5
∴ zmax=52=25
20、解：∵f(1)=a-c，f(2)=4a-c
∴ 问题即为在线性约束条件 -4≤a-c≤-1 下，目标函数 z=9a-c
的最优解。
-1≤4a-c≤5
如图，应在 A、C 两点取得最优解。
由
1ca4
1ca
5ca4
4ca
得 A（0，1）， C（3，7）
∴ zmax=9×3-7=20，zmin=9×0-1=-1
∴ -1≤f(3)≤20
