高考数学复习练习第1部分 专题二 第二讲 预测演练提能
一、选择题
1．(2013·郑州模拟)若α是第四象限角，tan＝－，则cos＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由于α＋∈(k∈Z)，且tan<0，故α＋是第四象限角，∴sin＝－，∴cos＝sin＝sin＝－.
2．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D sin＋sin α＝－⇒sin α＋cos α＝－⇒cos＝－⇒cos＝.
3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
解析：选B 由正弦定理知＝，结合条件得c＝＝2.又sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝＋1.
4．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A＝5sin B化为3a＝5b，所以a＝b，代入b＋c＝2a，可得c＝b，然后结合余弦定理，可得cos C＝＝－，所以角C＝.
5．(2013·东城模拟)在△ABC中，已知tan＝sin C，给出以下四个论断：
①＝1; ②1
0，
∴2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋π<2α<4kπ＋(k∈Z)，∴2α为第三象限角，
∴cos 2α＝－＝－.
法二：sin α＋cos α＝两边平方，得
1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝ ＝＝.
由得
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝mc2(m为常数)，若tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，则m的值为( )
A．2 B．4
C．7 D．8
解析：选A 由tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，得·＝，即·＝·＝，
所以＝2sin Asin B，因此cos C＝，综合运用正弦、余弦定理，得＝，所以a2＋b2＝2c2，故m＝2.
二、填空题
11．(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
解析：△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.
答案：
12．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.
法二：将tan＝利用两角和的正切公式展开，得＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，所以sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
13．在△ABC中，角A满足sin A＋cos A＝1，AB＝2，AC＝3，则边BC的长为________．
解析：由题意可得sin＝，又A为三角形的一个内角，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋9－2×2×3×＝19，所以BC＝.
答案：
14．(2013·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝10，cos C＝，则△ABC的面积的最大值为________．
解析：∵在△ABC中cos C＝，∴sin C＝，又由c＝10－a－b，可得c2＝(10－a－b)2，则a2＋b2－2abcos C＝100＋a2＋b2－20(a＋b)＋2ab，整理可得4(a＋b)＝20＋ab，∴20＋ab≥8，整理可得3ab－32＋80≥0，解得≥或≤4.当≥时，仅当a＝b＝时取等号，此时a＋b＝>10，与a＋b＋c＝10矛盾；当≤4时，S△ABC＝absin C＝ab≤×16＝，当且仅当a＝b＝4时取等号．
答案：
15．在某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶A上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B处，到11时10分又测得该轮船在岛的北偏西60°，俯角60°的C处，则轮船的航行速度是________千米/小时．
解析：如图所示，设海岛的底部为点D.在Rt△ABD中，BD＝＝；
在Rt△ACD中，CD＝＝.
故在Rt△BCD中，BC＝ ＝.
所以轮船的速度为＝2(千米/小时)．
答案：2
16．(2013·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
①cos C<1－cos B；
②△ABC的面积为S△ABC＝··tan A；
③若acos A＝ccos C，则△ABC一定为等腰三角形；
④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是－1
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