2019年广东省广州市中考数学试卷

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2019年广东省广州市中考数学试卷

‎2019年广东省广州市中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)|﹣6|=(  )‎ A.﹣6 B.6 C.﹣ D.‎ ‎2.(3分)广州正稳步推进碧道建设,营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道,使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为(单位:千米):5,5.2,5,5,5,6.4,6,5,6.68,48.4,6.3,这组数据的众数是(  )‎ A.5 B.5.2 C.6 D.6.4‎ ‎3.(3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC为(  )‎ A.75m B.50m C.30m D.12m ‎4.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.﹣3﹣2=﹣1 B.3×(﹣)2=﹣ ‎ C.x3•x5=x15 D.•=a ‎5.(3分)平面内,⊙O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作⊙O的切线条数为(  )‎ A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 ‎6.(3分)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是(  )‎ A.= B.= ‎ C.= D.=‎ ‎7.(3分)如图,▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.EH=HG ‎ B.四边形EFGH是平行四边形 ‎ C.AC⊥BD ‎ D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 ‎8.(3分)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )‎ A.y3<y2<y1 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y1<y2<y3‎ ‎9.(3分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为(  )‎ A.4 B.4 C.10 D.8‎ ‎10.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2=﹣3,则k的值(  )‎ A.0或2 B.﹣2或2 C.﹣2 D.2‎ 二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎11.(3分)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l的距离是   cm.‎ ‎12.(3分)代数式有意义时,x应满足的条件是   .‎ ‎13.(3分)分解因式:x2y+2xy+y=   .‎ ‎14.(3分)一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°‎ 第27页(共27页)‎ ‎),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为   .‎ ‎15.(3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥侧面展开扇形的弧长为   .(结果保留π)‎ ‎16.(3分)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:‎ ‎①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值a2.‎ 其中正确的结论是   .(填写所有正确结论的序号)‎ 三、解答题(共9小题,满分102分)‎ ‎17.(9分)解方程组:.‎ ‎18.(9分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证:△ADE≌CFE.‎ 第27页(共27页)‎ ‎19.(10分)已知P=﹣(a≠±b)‎ ‎(1)化简P;‎ ‎(2)若点(a,b)在一次函数y=x﹣的图象上,求P的值.‎ ‎20.(10分)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.‎ 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A组 ‎0≤t<1‎ ‎2‎ B组 ‎1≤t<2‎ m C组 ‎2≤t<3‎ ‎10‎ D组 ‎3≤t<4‎ ‎12‎ E组 ‎4≤t<5‎ ‎7‎ F组 t≥5‎ ‎4‎ 请根据图表中的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求频数分布表中m的值;‎ ‎(2)求B组,C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数,并补全扇形统计图;‎ ‎(3)已知F组的学生中,只有1名男生,其余都是女生,用列举法求以下事件的概率:从F组中随机选取2名学生,恰好都是女生.‎ ‎21.(12分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G 第27页(共27页)‎ 基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.‎ ‎(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?‎ ‎(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.‎ ‎22.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(﹣1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点.‎ ‎(1)求m,n的值与点A的坐标;‎ ‎(2)求证:△CPD∽△AEO;‎ ‎(3)求sin∠CDB的值.‎ ‎23.(12分)如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.‎ ‎(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.‎ ‎24.(14分)如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.‎ ‎(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB;‎ ‎(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1﹣S2,S 第27页(共27页)‎ 是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)当B,F,E三点共线时.求AE的长.‎ ‎25.(14分)已知抛物线G:y=mx2﹣2mx﹣3有最低点.‎ ‎(1)求二次函数y=mx2﹣2mx﹣3的最小值(用含m的式子表示);‎ ‎(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.‎ 第27页(共27页)‎ ‎2019年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)|﹣6|=(  )‎ A.﹣6 B.6 C.﹣ D.‎ ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.‎ ‎【解答】解:﹣6的绝对值是|﹣6|=6.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的性质,绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.‎ ‎2.(3分)广州正稳步推进碧道建设,营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道,使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为(单位:千米):5,5.2,5,5,5,6.4,6,5,6.68,48.4,6.3,这组数据的众数是(  )‎ A.5 B.5.2 C.6 D.6.4‎ ‎【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.‎ ‎【解答】解:5出现的次数最多,是5次,所以这组数据的众数为5‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查众数的定义,是需要熟练掌握的概念.‎ ‎3.(3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC为(  )‎ A.75m B.50m C.30m D.12m ‎【分析】根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数即可求得AC的长,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:∵∠BCA=90°,tan∠BAC=,BC=30m,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴tan∠BAC=,‎ 解得,AC=75,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.‎ ‎4.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.﹣3﹣2=﹣1 B.3×(﹣)2=﹣ ‎ C.x3•x5=x15 D.•=a ‎【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案.‎ ‎【解答】解:A、﹣3﹣2=﹣5,故此选项错误;‎ B、3×(﹣)2=,故此选项错误;‎ C、x3•x5=x8,故此选项错误;‎ D、•=a,正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.‎ ‎5.(3分)平面内,⊙O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作⊙O的切线条数为(  )‎ A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 ‎【分析】先确定点与圆的位置关系,再根据切线的定义即可直接得出答案.‎ ‎【解答】解:∵⊙O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,‎ ‎∴d>r,‎ ‎∴点P与⊙O的位置关系是:P在⊙O外,‎ ‎∵过圆外一点可以作圆的2条切线,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系,切线的定义,切线就是与圆有且只有1个公共点的直线,理解定义是关键.‎ ‎6.(3分)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.= B.= ‎ C.= D.=‎ ‎【分析】设甲每小时做x个零件,根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可.‎ ‎【解答】解:设甲每小时做x个零件,可得:,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.‎ ‎7.(3分)如图,▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是(  )‎ A.EH=HG ‎ B.四边形EFGH是平行四边形 ‎ C.AC⊥BD ‎ D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 ‎【分析】根据题意和图形,可以判断各个选项中的结论是否成立,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,在▱ABCD中,AB=2,AD=4,‎ ‎∴EH=AD=2,HG=AB=1,‎ ‎∴EH≠HG,故选项A错误;‎ ‎∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,‎ ‎∴EH=,‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形,故选项B正确;‎ 由题目中的条件,无法判断AC和BD是否垂直,故选项C错误;‎ ‎∵点E、F分别为OA和OB的中点,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴EF=,EF∥AB,‎ ‎∴△OEF∽△OAB,‎ ‎∴,‎ 即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,故选项D错误,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.‎ ‎8.(3分)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )‎ A.y3<y2<y1 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y1<y2<y3‎ ‎【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值,比较后即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=的图象上,‎ ‎∴y1==﹣6,y2==3,y3==2,‎ 又∵﹣6<2<3,‎ ‎∴y1<y3<y2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键.‎ ‎9.(3分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为(  )‎ A.4 B.4 C.10 D.8‎ ‎【分析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明△AOF≌△COE 第27页(共27页)‎ 得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB==4,再由勾股定理求出AC即可.‎ ‎【解答】解:连接AE,如图:‎ ‎∵EF是AC的垂直平分线,‎ ‎∴OA=OC,AE=CE,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠B=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠OAF=∠OCE,‎ 在△AOF和△COE中,,‎ ‎∴△AOF≌△COE(ASA),‎ ‎∴AF=CE=5,‎ ‎∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,‎ ‎∴AB===4,‎ ‎∴AC===4;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解题的关键.‎ ‎10.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2=﹣3,则k的值(  )‎ A.0或2 B.﹣2或2 C.﹣2 D.2‎ ‎【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2=k﹣1,x1x2=﹣k+2,结合(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2=﹣3可求出k的值,根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,进而可确定k的值,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2=0的两个实数根为x1,x2,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴x1+x2=k﹣1,x1x2=﹣k+2.‎ ‎∵(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2=﹣3,即(x1+x2)2﹣2x1x2﹣4=﹣3,‎ ‎∴(k﹣1)2+2k﹣4﹣4=﹣3,‎ 解得:k=±2.‎ ‎∵关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2=0有实数根,‎ ‎∴△=[﹣(k﹣1)]2﹣4×1×(﹣k+2)≥0,‎ 解得:k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1,‎ ‎∴k=2.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,利用根与系数的关系结合(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2=﹣3,求出k的值是解题的关键.‎ 二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎11.(3分)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l的距离是 5 cm.‎ ‎【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵PB⊥l,PB=5cm,‎ ‎∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm,‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】本题考查了点到直线的距离,点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度.‎ ‎12.(3分)代数式有意义时,x应满足的条件是 x>8 .‎ ‎【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围.‎ ‎【解答】解:代数式有意义时,‎ x﹣8>0,‎ 解得:x>8.‎ 故答案为:x>8.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.‎ ‎13.(3分)分解因式:x2y+2xy+y= y(x+1)2 .‎ ‎【分析】首先提取公因式y,再利用完全平方进行二次分解即可.‎ ‎【解答】解:原式=y(x2+2x+1)=y(x+1)2,‎ 故答案为:y(x+1)2.‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎14.(3分)一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为 15°或45° .‎ ‎【分析】分情况讨论:①DE⊥BC;②AD⊥BC.‎ ‎【解答】解:分情况讨论:‎ ‎①当DE⊥BC时,∠BAD=75°,∴α=90°﹣∠BAD=15°;‎ ‎②当AD⊥BC时,∠BAD=45°,即α=45°.‎ 故答案为:15°或45°‎ ‎【点评】本题主要考查了垂直的定义,旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数,理清定义是解答本题的关键.‎ ‎15.(3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥侧面展开扇形的弧长为  .(结果保留π)‎ ‎【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长=底面圆的周长即可解决问题.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【解答】解:∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形,‎ ‎∴斜边长为2,‎ 则底面圆的周长为2π,‎ ‎∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π,‎ 故答案为2π.‎ ‎【点评】本题考查三视图,圆锥等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.‎ ‎16.(3分)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:‎ ‎①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值a2.‎ 其中正确的结论是 ①④ .(填写所有正确结论的序号)‎ ‎【分析】①正确.如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS),即可解决问题.‎ ‎②③错误.如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),再证明△GCE≌△GCH(SAS),即可解决问题.‎ ‎④正确.设BE=x,则AE=a﹣x,AF=x,构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.‎ ‎【解答】解:如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.‎ ‎∵BE=BH,∠EBH=90°,‎ ‎∴EH=BE,∵AF=BE,‎ ‎∴AF=EH,‎ ‎∵∠DAM=∠EHB=45°,∠BAD=90°,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴∠FAE=∠EHC=135°,‎ ‎∵BA=BC,BE=BH,‎ ‎∴AE=HC,‎ ‎∴△FAE≌△EHC(SAS),‎ ‎∴EF=EC,∠AEF=∠ECH,‎ ‎∵∠ECH+∠CEB=90°,‎ ‎∴∠AEF+∠CEB=90°,‎ ‎∴∠FEC=90°,‎ ‎∴∠ECF=∠EFC=45°,故①正确,‎ 如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),‎ ‎∴∠ECB=∠DCH,‎ ‎∴∠ECH=∠BCD=90°,‎ ‎∴∠ECG=∠GCH=45°,‎ ‎∵CG=CG,CE=CH,‎ ‎∴△GCE≌△GCH(SAS),‎ ‎∴EG=GH,‎ ‎∵GH=DG+DH,DH=BE,‎ ‎∴EG=BE+DG,故③错误,‎ ‎∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,‎ 设BE=x,则AE=a﹣x,AF=x,‎ ‎∴S△AEF=•(a﹣x)×x=﹣x2+ax=﹣(x2﹣ax+a2﹣a2)=﹣(x﹣a)2+a2,‎ ‎∵﹣<0,‎ ‎∴x=a时,△AEF的面积的最大值为a2.故④正确,‎ 故答案为①④.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,二次函数的应用等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.‎ 三、解答题(共9小题,满分102分)‎ ‎17.(9分)解方程组:.‎ ‎【分析】运用加减消元解答即可.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎②﹣①得,4y=2,解得y=2,‎ 把y=2代入①得,x﹣2=1,解得x=3,‎ 故原方程组的解为.‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎18.(9分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证:△ADE≌CFE.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【分析】利用AAS证明:△ADE≌CFE.‎ ‎【解答】证明:∵FC∥AB,‎ ‎∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,‎ 在△ADE与△CFE中:‎ ‎∵,‎ ‎∴△ADE≌△CFE(AAS).‎ ‎【点评】本题考查了三角形全等的判定,熟练掌握三角形全等的判定方法是关键,三角形全等的判定方法有:AAS,SSS,SAS.‎ ‎19.(10分)已知P=﹣(a≠±b)‎ ‎(1)化简P;‎ ‎(2)若点(a,b)在一次函数y=x﹣的图象上,求P的值.‎ ‎【分析】(1)P=﹣===;‎ ‎(2)将点(a,b)代入y=x﹣得到a﹣b=,再将a﹣b=代入化简后的P,即可求解;‎ ‎【解答】解:(1)P=﹣===;‎ ‎(2)∵点(a,b)在一次函数y=x﹣的图象上,‎ ‎∴b=a﹣,‎ ‎∴a﹣b=,‎ ‎∴P=;‎ ‎【点评】本题考查分式的化简,一次函数图象上点的特征;熟练掌握分式的化简,理解点与函数解析式的关系是解题的关键.‎ ‎20.(10分)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.‎ 第27页(共27页)‎ 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A组 ‎0≤t<1‎ ‎2‎ B组 ‎1≤t<2‎ m C组 ‎2≤t<3‎ ‎10‎ D组 ‎3≤t<4‎ ‎12‎ E组 ‎4≤t<5‎ ‎7‎ F组 t≥5‎ ‎4‎ 请根据图表中的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求频数分布表中m的值;‎ ‎(2)求B组,C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数,并补全扇形统计图;‎ ‎(3)已知F组的学生中,只有1名男生,其余都是女生,用列举法求以下事件的概率:从F组中随机选取2名学生,恰好都是女生.‎ ‎【分析】(1)用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值;‎ ‎(2)分别用360°乘以B组,C组的人数所占的比例即可;补全扇形统计图;‎ ‎(3)画出树状图,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:(1)m=40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4=5;‎ ‎(2)B组的圆心角=360°×=45°,‎ C组的圆心角=360°或=90°.‎ 补全扇形统计图如图1所示:‎ ‎(3)画树状图如图2:‎ 第27页(共27页)‎ 共有12个等可能的结果,‎ 恰好都是女生的结果有6个,‎ ‎∴恰好都是女生的概率为=.‎ ‎【点评】此题主要考查了列表法与树状图法,以及扇形统计图、频数分布表的应用,要熟练掌握.‎ ‎21.(12分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.‎ ‎(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?‎ ‎(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.‎ ‎【分析】(1)2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4,即可求出结论;‎ ‎(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,根据2020年底及2022年底全省5G基站数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)1.5×4=6(万座).‎ 答:计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.‎ ‎(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,‎ 依题意,得:6(1+x)2=17.34,‎ 解得:x1=0.7=70%,x2=﹣2.7(舍去).‎ 答:2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.‎ ‎【点评】‎ 第27页(共27页)‎ 本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎22.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(﹣1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点.‎ ‎(1)求m,n的值与点A的坐标;‎ ‎(2)求证:△CPD∽△AEO;‎ ‎(3)求sin∠CDB的值.‎ ‎【分析】(1)根据点P的坐标,利用待定系数法可求出m,n的值,联立正、反比例函数解析式成方程组,通过解方程组可求出点A的坐标(利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可);‎ ‎(2)由菱形的性质可得出AC⊥BD,AB∥CD,利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE,结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°,进而即可证出△CPD∽△AEO;‎ ‎(3)由点A的坐标可得出AE,OE,AO的长,由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE,再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值.‎ ‎【解答】(1)解:将点P(﹣1,2)代入y=mx,得:2=﹣m,‎ 解得:m=﹣2,‎ ‎∴正比例函数解析式为y=﹣2x;‎ 将点P(﹣1,2)代入y=,得:2=﹣(n﹣3),‎ 解得:n=1,‎ ‎∴反比例函数解析式为y=﹣.‎ 第27页(共27页)‎ 联立正、反比例函数解析式成方程组,得:,‎ 解得:,,‎ ‎∴点A的坐标为(1,﹣2).‎ ‎(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,AB∥CD,‎ ‎∴∠DCP=∠BAP,即∠DCP=∠OAE.‎ ‎∵AB⊥x轴,‎ ‎∴∠AEO=∠CPD=90°,‎ ‎∴△CPD∽△AEO.‎ ‎(3)解:∵点A的坐标为(1,﹣2),‎ ‎∴AE=2,OE=1,AO==.‎ ‎∵△CPD∽△AEO,‎ ‎∴∠CDP=∠AOE,‎ ‎∴sin∠CDB=sin∠AOE===.‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出m,n的值;(2)利用菱形的性质,找出∠DCP=∠OAE,∠AEO=∠CPD=90°;(3)利用相似三角形的性质,找出∠CDP=∠AOE.‎ ‎23.(12分)如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.‎ 第27页(共27页)‎ ‎(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.‎ ‎【分析】(1)以C为圆心,CB为半径画弧,交⊙O于D,线段CD即为所求.‎ ‎(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x,构建方程求出x即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)如图,线段CD即为所求.‎ ‎(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x.‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴BC===6,‎ ‎∵BC=CD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴OC⊥BD于E.‎ ‎∴BE=DE,‎ ‎∵BE2=BC2﹣EC2=OB2﹣OE2,‎ ‎∴62﹣(5﹣x)2=52﹣x2,‎ 解得x=,‎ ‎∵BE=DE,BO=OA,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴AD=2OE=,‎ ‎∴四边形ABCD的周长=6+6+10+=.‎ ‎【点评】本题考查作图﹣复杂作图,圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用参数,构建方程解决问题.‎ ‎24.(14分)如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.‎ ‎(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB;‎ ‎(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1﹣S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)当B,F,E三点共线时.求AE的长.‎ ‎【分析】(1)由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A,可证DF∥AB;‎ ‎(2)过点D作DM⊥AB交AB于点M,由题意可得点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,由△ACD的面积为S1的值是定值,则当点F在DM上时,S△ABF最小时,S最大;‎ ‎(3)过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明△BGD∽△BHE,可求EC的长,即可求AE的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形 ‎∴∠A=∠B=∠C=60°‎ 由折叠可知:DF=DC,且点F在AC上 ‎∴∠DFC=∠C=60°‎ ‎∴∠DFC=∠A ‎∴DF∥AB;‎ ‎(2)存在,‎ 第27页(共27页)‎ 过点D作DM⊥AB交AB于点M,‎ ‎∵AB=BC=6,BD=4,‎ ‎∴CD=2‎ ‎∴DF=2,‎ ‎∴点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,‎ ‎∴当点F在DM上时,S△ABF最小,‎ ‎∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°‎ ‎∴MD=2‎ ‎∴S△ABF的最小值=×6×(2﹣2)=6﹣6‎ ‎∴S最大值=﹣(6﹣6)=3+6‎ ‎(3)如图,过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,‎ ‎∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ‎∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°‎ ‎∵GD⊥EF,∠EFD=60°‎ ‎∴FG=1,DG=FG=‎ ‎∵BD2=BG2+DG2,‎ ‎∴16=3+(BF+1)2,‎ ‎∴BF=﹣1‎ ‎∴BG=‎ ‎∵EH⊥BC,∠C=60°‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴CH=,EH=HC=EC ‎∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°‎ ‎∴△BGD∽△BHE ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴EC=﹣1‎ ‎∴AE=AC﹣EC=7﹣‎ ‎【点评】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,折叠的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键.‎ ‎25.(14分)已知抛物线G:y=mx2﹣2mx﹣3有最低点.‎ ‎(1)求二次函数y=mx2﹣2mx﹣3的最小值(用含m的式子表示);‎ ‎(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.‎ ‎【分析】(1)抛物线有最低点即开口向上,m>0,用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值.‎ ‎(2)写出抛物线G的顶点式,根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式,进而得到抛物线G1顶点坐标(m+1,﹣m﹣3),即x=m+1,y=﹣m﹣3,x+y=﹣2即消去m,得到y与x的函数关系式.再由m>0,即求得x的取值范围.‎ ‎(3)法一:求出抛物线恒过点B(2,﹣4),函数H图象恒过点A(2,﹣3),由图象可知两图象交点P应在点A、B之间,即点P纵坐标在A、B纵坐标之间.‎ 法二:联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组,整理得到用x表示m的式子.由x与m的范围讨论x的具体范围,即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵y=mx2﹣2mx﹣3=m(x﹣1)2﹣m﹣3,抛物线有最低点 ‎∴二次函数y=mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3‎ 第27页(共27页)‎ ‎(2)∵抛物线G:y=m(x﹣1)2﹣m﹣3‎ ‎∴平移后的抛物线G1:y=m(x﹣1﹣m)2﹣m﹣3‎ ‎∴抛物线G1顶点坐标为(m+1,﹣m﹣3)‎ ‎∴x=m+1,y=﹣m﹣3‎ ‎∴x+y=m+1﹣m﹣3=﹣2‎ 即x+y=﹣2,变形得y=﹣x﹣2‎ ‎∵m>0,m=x﹣1‎ ‎∴x﹣1>0‎ ‎∴x>1‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=﹣x﹣2(x>1)‎ ‎(3)法一:如图,函数H:y=﹣x﹣2(x>1)图象为射线 x=1时,y=﹣1﹣2=﹣3;x=2时,y=﹣2﹣2=﹣4‎ ‎∴函数H的图象恒过点B(2,﹣4)‎ ‎∵抛物线G:y=m(x﹣1)2﹣m﹣3‎ x=1时,y=﹣m﹣3;x=2时,y=m﹣m﹣3=﹣3‎ ‎∴抛物线G恒过点A(2,﹣3)‎ 由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则yB<yP<yA ‎∴点P纵坐标的取值范围为﹣4<yP<﹣3‎ 法二:‎ 整理的:m(x2﹣2x)=1﹣x ‎∵x>1,且x=2时,方程为0=﹣1不成立 ‎∴x≠2,即x2﹣2x=x(x﹣2)≠0‎ ‎∴m=>0‎ ‎∵x>1‎ ‎∴1﹣x<0‎ ‎∴x(x﹣2)<0‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴x﹣2<0‎ ‎∴x<2即1<x<2‎ ‎∵yP=﹣x﹣2‎ ‎∴﹣4<yP<﹣3‎ ‎【点评】本题考查了求二次函数的最值,二次函数的平移,二次函数与一次函数的关系.解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题,第(3)题结合图象解题体现数形结合的运用.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/1 7:50:11;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557‎ 第27页(共27页)‎
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